单样本和双样本假设检验

第五章假设检验导论：单样本的z检验A基本概念零假设检验统计决定一类错误和二类错误单侧检验和双侧检验在前四章中，我们对描述性统计做了介绍。特别是通过z分数我们可以计算个体在总体分布中的位置和样本在抽样分布中的位置。换句话说，我们可以描述个体或者样本的特殊性。那么处于怎样的位置才算是特殊呢？这种特殊性有怎么来验证呢？这些问题是假设检验所要解决的问题。最简单的假设检验是将一组被试与总体进行比较，且总体均数和标准差已知。举个例子，硕士研究生考试包含笔试和面试，面试在最终录取中起到了很大的作用，因为导师更看重素质而不是分数。有个导师声称，他的眼光很准，他可以看一下学生的眼睛，就能找到好的学生。我们要对他的说话进行验证。如果我们用智商来代表一个学生的素质（尽管可能并不合适），那么刚才的问题就变成了那个导师可以通过看学生的眼睛来判断他的智商。我们可以通过如下方式进行检验：让他通过自己的方式挑出25个学生，然后比较这些学生的智商是否真的较高。被试组选择要验证该导师的说法，我们要让他选25个他认为高智商的同学，但是这种选择需要加以限制。如果该导师直接奔向基地班，那这种选择显然是无效的。可选择的办法是，把学校所有学生的照片都找来，让其通过相貌来确定。这样学校的每一个学生都有相同的机会被选到，而且每一次选取独立于其他的选取。也就是遵循随机取样的原则。如果该导师选出的学生的平均智商确实高于总体平均，我们能否确认他确实眼光很准呢？答案是不能。原因在于，我们随便找一个人去选，选出的学生的平均智商都不太可能等于总体平均数。从均数的抽样分布，我们可以得知，高于总体平均数的可能占50%。也就是说该导师选出的学生平均智商高于总体均数的原因可能是随机因素。这时，我们可以先做出一个假设，对其进行验证：选取学生的平均智商并不显著高于总体均数，其差异是随机抽样产生的，并不涉及一个特别的选择过程。这就是零假设检验。接下来，我们要做的就是随机选取25个学生测其智商，重复n次，看有多少次能选到比那个导师选取的学生平均智商更高。也就是确定其概率。上述的做法会得到智商均数的一个分布，由于这个分布显示的是零假设（没有特殊操作，随机选取）为真时发生的情况，因此被称为零假设分布。在单样本检验且总体标准差已知的情况下，这个零假设分布就是均数的抽样分布。通过这个零假设分布，我们可以算出选出比那个导师选择的学生组平均智商更高的概率是多少。通过z分数来计算，比如该导师选取的25个学生平均智商为104，总体均数为100，标准差为15.那么查表可知，对应的概率为0.0918。这个概率是通过随机选择而得到该分数的概率，被称为p值。统计决定算出其概率率之后，我我们要做的的是做出个个统计推断。。因为推断的的做出是基基于概率的的，如果要要得到该导导师的选择择是无效的的，也就是是说该组学学生的平均均智商高于于总体是随随机抽样造造成的，我我们需要冒冒一定的风风险。小概概率事件也也时有发生生。我们需要承承担的这个个风险量被被称为α水平。α是是我们愿意意承担的零零假设成立立的概率。。如果实际际算出的概概率要低于于α，那么么我将会拒拒绝零假设设。心理学中，，每20次次中有1次次机会能抽抽到的α水水平被认为为是能接受受的最大风风险值。也也就是0.05.如果采用0.05的的α水平，，且实验p值小于0.05，，那么我们们可以再0.05的的显著水平平上拒绝零零假设。也也就说，那那位导师的的眼光显著著好于一般般人。如果p大于于0.05，我们会会认为那位位导师的挑挑选完全无无效吗？一一般情况下下，我们会会说没能拒绝零零假设（证据不足足）。这是是数学家Fisher的观点点：认为我我们要么拒拒绝零假设设，要么保保留做出决决定的权利利。而Neyman和Pearson则认认为，应该该提出与零零假设互补补的备择假设，因此拒绝绝其中一个个就表明倾倾向于接受受另一个。。在上边的例例子中，我我们把智商商转换成了了z分数，，然后进行行统计检验验。这种情情况下，z分数被称称为检验统计量量。（后边我我们还会讲讲到t分布布）。检验统计量量的分布被被认为是零零假设分布布。Z分数越大大，p值越越小，差异异越显著。。一类错误和和二类错误误前面提到，，如果p值值远小于0.05，，我们拒绝绝了零假设设，但我们们还是要承承担一定的的风险。比如，我们们通过考试试来评估学学生能力，，90分对对应着p=0.05，那么我我们则会认认为90分分以上的学学生为好学学生。但是是如果一些些学生参加加了考试辅辅导，老师师帮他们赌赌到了一些些考试题，，使得他们们平均分高高于90。。在统计检检验中，我我们发现p小于0.05，那那我们会得得到结论，，这些同学学能力高于于一般水平平。这时，我们们显然犯了了一个错误误。也就是是我们拒绝绝了这些学学生水平的的一般的假假设（零假假设），而而零假设才才是真的，，这种错误误称为一类错误。虚报、存伪伪如果另一组组学生平时时学习很好好，但是由由于考试当当天集体食食物中毒，，拉肚子，，导致考试试成绩不高高，p大于于0.05，统计推推断结果接接受零假设设，这些学学生成绩一一般。这种情况下下，我们就就犯了二类错误，即零假设设为假而我我们却接受受了它。漏报、去真真研究者的决定实际情况零假设为真零假设非真接受零假设正确决定p=1-α二类错误p=β拒绝零假设一类错误p=α正确决定p=1-β一类错误会会产生误导导。比如你的实实验结果证证明你的某某种训练可可以提高注注意力，而而注意力的的集中有利利于学习成成绩的提高高。那么别别人就可能能认为你的的训练有利利于提高学学习成绩。。但是如果在在你的实验验中犯了一一类错误，，那么其他他人用你的的训练方法法时并不能能提高学生生的成绩。。降低一类错错误的方法就是是多次重复实实验或者测测量，反复证明明训练对注注意力提高高的有效性性。另一种降低一类错错误的方法就是是选取更低的α水水平。但是降低α水平平会导致更更多的二类类错误。α水平人为为地设为0.05实实际上在一一类错误和和二类错误误的可能负负性后果之之间寻求一一种妥协。。在某些特殊殊的研究中中，比如治治疗癌症的的药物研发发中，应选选取较大的的α值。因因为这种情情况下犯二二类错误的的后果是相相当严重的的。单侧检验和和双侧检验验如果前面提提到的那位位导师挑选选的学生平平均智商是是90，这这时我们不不会拒绝零零假设。那此时我们们是不是就就接受零假假设，认为为这个导师师眼光一般般呢？我们不能，，因为还有有另一种可可能，该导导师眼光很很差。这样问问题就就修正正为要要验证证该导导师眼眼光特特殊（（很好好或者者很差差）。。在之前前的检检验中中，我我们要要验证证该导导师的的眼光光很好好，用用的单侧（（单尾尾）检检验，也就就是在在Z大大于0的一一侧。。现在的的问题题就变变成了了双侧（（双尾尾）检检验，也就就是要要看分分布的的两端端。计算样样本z分数数，单单侧和和双侧侧无区区别，，差别别在于于p值值，双侧是是单侧侧的2倍。。在刚才才的例例子中中，我我们犯犯了一一个错错误，，那就就是我我们先先假设设那个个导师师眼光光好，，用了了单侧侧检验验，发发现不不能拒拒绝零零假设设；然然后我我们改改变主主意做做了双双侧检检验。。这样样做增增大了了一类类错误误的概概率。。单侧侧的0.05加加上双双侧中中另一一侧的的0.025。。正确的的做法法是在在做假假设检检验之之前确确定是是做单单侧（（操作作导致致更好好或者者更差差）检检验，，还是是双侧侧检验验（操操作会会引起起差异异，不不管好好坏））。B基本本统计计过程程提出假假设选择统统计检检验和和显著著性水水平选择样样本和和收集集数据据求拒绝绝区域域计算检检验统统计量量做出统统计推推断解释结结果单样本本z检检验的的前提提条件件提出假假设首先给给定一一个希希望推推翻的的零假假设。。以IQ作为为因变变量，，总人人口的的平均均IQ为100零假设设H0：μ=100备择假假设HA：双侧侧：μμ≠100，单单侧;μμ>100或者者μ<100选择统统计检检验和和显著著水平平如果我我们把把单一样样本的的均数数和总总体均均数比比较，，且已已知研研究变变量的的标准准差，则适适合的的统计计检验验是单样本本z检检验。α水平平如无无特殊殊要求求，设设为0.05选择样样本和和收集集数据据为了保保证检检验的的有效效性，，必须须从所所要研研究的的总体体中随机抽抽取一个样样本。。样本越越大，假设设检验验的结结果越越准确确。降低二二类错错误基于实实际操操作的的考虑虑，样样本大大小会会受到到必要要的限限制。。求拒绝绝区间间拒绝区区间可可依据据临界界z分分数确确定。。临界z分数数指z分分数之之外的的面积积正好好等于于α值值所对对应的的那个个z分分数。。双侧：：临界界z分分数为为1.96和-1.96，两两侧各各对应应0.025；；单侧侧：临临界z分数数分别别为1.65或或-1.65.单侧比比双侧侧更容容易拒拒绝零零假设设。计算假假设检检验量量做出统统计推推断单侧：：如果果z大大于或或小于于临界界z分分数，，则拒拒绝零零假设设；双侧：：如果果z的的绝对对值大大于正正的临临界z分数数，则则拒绝绝零假假设。。有时也也可给给出p值，，特别别是边缘显显著。单样本本z检检验的的前提提条件件因变量量以等距或或等比比量尺尺测量样本通通过随机抽抽样获得所测量量变量量在总总体中中为正态分布所抽样样总体体的标标准差差与所所比较较总体体的标标准差差相同同单样本本检验验的多多样性性检验一一个已已经存存在的的群体体完成一一个单单样本本实验验为什么么单样样本检检验很很少采采用单样本本检验验的主主要问问题在在于很很难从从研究究的总总体中中抽取取一个个真随随机的的样本本；实验处处理加加到某某一样样本上上，由由于没没有对对照组组很难难排除除混淆淆变量量。练习：：一个精精神分分析师师正在在检验验一种种新的的抗焦焦虑药药物，，这种种药物物有降降低心心率的的副作作用。。50个学学生服服药六六周后后的平平均心心率为为70,。。如果果总体体的平平均心心率为为72，标标准差差为12，，那么么这个个精神神分析析师可可以下下结论论说新新药物物会显显著降降低心心率吗吗？一个心心理学学家测测量了了一个个班级级25个孩孩子的的智商商，想想看其其是否否与同同龄人人有差差异，，已知知智商商平均均数为为100，，标准准差为为15.（1））如果果事先先对该该班孩孩子不不了解解，后后测得得其平平均智智商为为105，，这群群孩子子智商商特殊殊吗?（2））如果果事先先知道道这班班孩子子是快快班的的，后后测得得其平平均智智商为为105，，这群群孩子子智商商特殊殊吗?第六章章区区间估估计和和t分分布A基本本概念念总体标标准差差未知知的大大样本本z检检验t分布布单样本本t检检验估计总总体均均数上边我我们讲讲到，，如果果我们们把单一样样本的的均数数和总总体均均数比比较，，且已已知研研究变变量的的标准准差，则适适合的的统计计检验验是单样本本z检检验。但是如如果总总体标标准差差未知知呢？？举例，，已知知上个个世纪纪九十十年代代中国国人均均寿命命为70岁岁（这这样的的信息息从网网上很很容易易查到到，但但是标标准差差往往往查不不到）），现现在你你想调调查一一下目目前中中国人人是否否人均均寿命命增长长了。。随机机抽取取了100个今今年死死亡的的人，，发现现平均均寿命命为73，，标准准差为为15。那那么中中国人人比以以前长长寿了了吗？？如果总总体标标准差差已知知，我我们可可以轻轻松计计算现在σσ未知知，怎怎么办办？我们可可以用用样本的的无偏偏标准准差来来代替替σ这就是是大样本本z检检验，，前提条条件样样本要要足够够大。。对上边边提到到的问问题进进行运运算：：总体体均数数70，样样本数数目100，均均数73，，标准准差15，，z(0.05)=1.65,z(0.025)=1.96提出假假设选择统统计检检验和和显著著性水水平求拒绝绝区域域计算检检验统统计量量做出统统计推推断练习：：已知知去年年大学学教师师人均均收入入为50000元，，现在在随机机抽取取16名大大学教教师，，调查查得知知他们们今年年的平平均收收入为为60000元元，标标准差差为10000元，，问大大学教教师今今年比比去年年待遇遇提高高了吗吗？很显然然，上上边的的练习习中样本数数目不不够大大，其均均数的的抽样样分布布不符符合正正态分分布，，因此此不适适用大大样本本的z检验验。值得庆庆幸的的是，，当样本数数目较较少时，其其均数数的抽抽样也也满足足一个个比较较规律律的分分布，，即t分布布。t分布布类似似于标标准正正态分分布。。它也也是呈呈钟形形、对对称、、向两两端无无限延延伸，，且均均值为为零。。t分分布也也是一一个完完全遵遵从某某个数数学公公式的的抽象象数学学概念念。t分布布由于均均数的的抽样样分布布为t分布布，所所以假假设检检验量量不再再是z分数数，而而是t分数数。公式和和大样样本z检验验一样样，也也会得得到一一样的的数值值，那那么大大样本本z检检验和和t检检验的的不同同在哪哪里？？不同在在于，，服从不不同的的分布布，相相同的的α值值会得得到不不同的的拒绝绝区间间。与标准准正态态分布布不同同，t分布布依赖赖于其其所采采样本本的自自由度度，df=N-1随着df增增加，，t分分布越越来越越接近近正态态分布布。从图中中可以以看到到，对对于位位于尾尾端区区域的的任何何一个个z值值，t分布布的p都要要大于于正态态分布布，且且df越小小，p越大大。也也就是是，样样本较较小时时更难难达到到显著著性水水平。。前例中中，总总体均均数为为50000，，样本本量为为16，样样本均均数为为60000，，标准准差为为10000查表可可知df=16-1=15时时，单单侧t(0.05)=1.753,t>t(0.05)，，拒绝绝零假假设，，大学学教师师待遇遇确实实提高高了。。大样本本z检检验和和单样样本t检验验中的的样本本量在前边边讲到到的大大样本本z检检验和和单样样本t检验验中都都存在在的一一个问问题是是样本量量究竟要要取多多少？？我们通通过样样本来来估计计总体体，取取的样样本量量越大大，越越能代代表总总体，，而且且样本量量越大大，越越容易易得到到统计计显著著性结结果。第一，，对于于t检检验，，样本本量意意味着着自由由度，，自由由度越越大，，t的的临界界值越越小；；第二，，增加加样本本量会会增加加计算算所得得的t值或或z值值。但是也也要注意，太大的的样本本量会使得得即使使在实实验效效应本本身很很微小小或缺缺乏实实际意意义的的情况况下统统计结结果达达到显显著。。练习：：医院有有25名失失眠病病人，，测其其焦虑虑抑郁郁指数数平均均为70，，标准准差为为10，已已知一一般人人的焦焦虑抑抑郁指指数平平均为为65，问问失眠眠病人人比一一般人人更焦焦虑吗吗？估计总总体均均数前边我我们讲讲到了了几种种情况况：总总体均均数和和标准准差已已知；；或者者总体体均数数已知知，标标准差差未知知。这这些情情况下下，我我们可可以分分别运运用单单样本本z检检验以以及大大样本本z检检验或或者单单样本本t检检验来来解决决问题题。但在实实际的的心理理学研研究中中更多多的情情况是是，总体的的均数数和标标准差差都未未知。这个个时候候，我我们可可以用随机机样本本来估估计总总体的的均数数。样本量量越大大，样样本均均数就就越可可能接接近总总体均均数。。通过随随机样样本来来估计计总体体均数数，有有两种种估计计方法法：点估计计：用单单个数数字来来估计计总体体均数数，比比如样样本均均数；；区间估估计：通过过一个个区间间（数数值范范围））来估估计总总体均均数，，置信信区间间。以以均数数为中中心，，占据据面积积95%或或99%的的区间间。估计大大学生生一个个月的的生活活费，，点估估计——平均均生活活费700元，，区间间估计计—平平均生生活费费在600到800之间间。B基本本统计计过程程求总体体均数数的置置信区区间选择样样本量量：样本本量越越大，，置信信区间间越小小（越越精确确）；；选择置置信水水平：95%；；选择随随机样样本和和收集集数据据：置信信区间间的准准确度度依赖赖于样样本的的真随随机程程度；；计算区区间的的上下下限：大样本本：小样本本：练习：：在华师师随机机抽取取了100个学学生，，测得得平均均智商商为110，标标准差差为10，，计算算华师师学生生总体体的平平均智智商是是多少少？如随机机选取取的学学生是是25个，，那华华师学学生总总体的的平均均智商商是多多少？？区间估估计和和零假假设检检验很很相似似，主主要的的区别别在于于样本均均数和和总体体均数数的角角色互互换。单样本本t检检验和和针对对总体体均数数置信信区间间的前提假假设：独立随随机抽抽样正态分分布或或者t分布布抽样总总体和和对照照总体体的标标准差差相等等第七章章两两独立立样本本均数数t检检验前面我我们讲讲到了了几种种样本本均数数和总总体均均数比比较的的假设设检验验：当总体均均数和和标准准差已已知的情况况下，，用单样本本z检检验；当总体均均数已已知，，标准准差未未知的情况况下：：如果果样本数数目足足够大大，用大样本本z检验；；如果果样本本数目目较小，用单样本本t检验；；如果总体均均数和和标准准差均均未知知，就要要用样样本来来对总总体均均数进进行点估计计和区区间估估计。前面讲讲的都都是一个样本均均数与与总体体均数数的比比较，，在心心理学学的研研究中中，较较少会会碰到到这样样的情情况。。更多的的情况况是对对两组人（男男女、、聪明明人和和笨人人）或或实验验中变变量的的两个水平（（吃药药与否否、真真假字字）进进行比比较。。比如，，我们们想知知道男男性和和女性性在记记忆力力上是是否具具有显显著的的差别别。我们可可以随随机抽抽取男男性n1和女性性n2名，对对其进进行短短时记记忆广广度测测验，，来比比较他他们的的得分分均数数之间间是否否有显显著性性差异异，其其差值值是否否足够够大。。首先我我们要要提出出零假假设，，也就就是男男女记记忆力力无差差异，，即备择假假设即即为对该假假设进进行检检验，，我们们需要要构造造一个个差值的的零假假设分分布，也就就是说说随机机选男男女两两组进进行记记忆力力比较较m次次（趋趋近无无穷大大），，我们们就可可以得得到m个差差值，，这些些差值值的分分布就就构成成了零零假设设分布布。要看男男女在在记忆忆力是是否有有差别别，也也就是是要看看如果果随机机选取取两组组样本本有多多大的的概率率能够够选到到差值值为由于是是零假假设分分布，，所以以其平平均值值为零零。那么它它的标标准差差是多多少呢呢？这这个差差值分分布的的标准准差被被称为为差值的的标准准误我们知知道均均数抽抽样分分布的的标准准误为为如果两两个样样本的的标准准差均均已知知，那那么差差值的的标准准误也也具有有类似似的形形式总体标标准差差已知知的单单样本本统计计检验验公式式为两样本本的统统计检检验公公式也也相似似由于我我们的的零假假设是是，，因此此这部部分可可以省省略。。在很很多心心理学学研究究中的的零假假设都都是两两组均均数无无差异异。但是，，也存存在这这样的的状况况，比比如想想要了了解某某种增增高药药物的的效果果是否否具有有性别别差异异，男男女身身高及及其增增量本本来就就是有有差别别的，，这时时要考考察的的是这这个增增量有有没变变化，，那么么零假假设应应该是是如果男男女记记忆力力的总总体标标准差差未知知，这这样就就需要要通过过样本本来估估计总总体。。如果样本足足够大大，那么么可以以进行行针对两两个独独立均均数的的大样样本检检验。和前边边检验验的差差别在在于用用无偏偏估计计的样样本标标准差差来代代替总总体标标准差差如果样本数数量较较小，则采采用t检验验。上边的的公式式由于于每一一个样样本方方差被被它的的样本本数单单独相相除，，因此此被称称为单独方方差t检验验。不幸的的是，，这个公公式并并不简简单遵遵循t分布布。这种情情况下下，我我们可可对上上述公公式进进行修修正，，使之之适用用于t分布布。这这个修修正的的前提是假定定两个总总体方方差相相等，，也就就是方方差齐齐性。这个修修正涉涉及的的是估估计差差值的的标准准误由于这这一估估计的的修修正方方式涉涉及两两个样样本方方差的的联合合问题题，所所以称称之为为联合方方差t检验验。由于于修修正正的的前前提提是是两个个总总体体方方差差相相等等，这这样样对对两两个个总总体体方方差差的的估估计计就就变变成成了了对对一一个个总总体体方方差差的的估估计计。。修正正的的方方法法就就是是把把两两个个样样本本的的方方差差联联合合起起来来形形成成一一个个对对总总体体方方法法的的单单一一估估计计。。这个个联联合合产产生生的的方方差差称称为为联合合方方差差样本本方方差差的的无无偏偏估估计计是是平平方方和和除除以以自自由由度度联合合方方差差为为差值值的的标标准准误误为为用联联合合方方差差来来估估计计总总体体方方差差就就可可以以得得到到带入入针针对对两两样样本本均均数数的的t分分布布公公式式可得得这就就是是联合合方方差差t检检验验的公公式式，，它它服服从从t分分布布，，可可以以通通过过查查表表来来做做假假设设检检验验。。练习习：：研究究颜颜色色辨辨识识力力好好坏坏对对颜颜色色记记忆忆的的影影响响。。把把50名名被被试试按按颜颜色色辨辨识识力力排排序序后后平平均均分分配配到到两两组组，，要要求求被被试试从从短短暂暂呈呈现现的的画画面面中中回回忆忆物物体体是是由由哪哪些些颜颜色色组组成成的的。。高高辨辨识识力力组组被被试试回回忆忆颜颜色色均均数数为为12，，标标准准差差为为4；；低低辨辨识识力力组组被被试试回回忆忆颜颜色色均均数数为为9，，标标准准差差为为5.那那么么结结论论如如何何？？B基基本本统统计计过过程程两样样本本t检检验验：：提出出假假设设选择择统统计计检检验验和和显显著著水水平平选择择样样本本和和收收集集数数据据求拒拒绝绝区区域域计算算t值值统计计推推断断两独独立立样样本本t检检验验的的前前提提假假设设两独独立立随随机机抽抽样样t检检验验的的假设设前前提提：：独立立随随机机抽抽样样：“独独立立性性””针针对对每每一一个个样样本本而而选选出出的的任任一一个个体体应应该该独独立立于于另另一一个个样样本本的的所所有有个个体体；；““随随机机””真真随随机机几几乎乎不不可可能能，，可可将将选选定定的的被被试试随随机机分分到到两两个个实实验验组组。。正态态分分布布方差差齐齐性性：联合合方方差差t检检验验只只有有在在两两个个总总体体方方差差相相等等（（方方差差齐齐性性））时时才才严严格格有有效效。。以下下情情况况进进行行两两样样本本假假设设检检验验可不不考考虑虑方方差差齐齐性性：两个个样本本数数量量很很大大（大大于于100）），，可可用用z临界界值值来来检检验验；；当两两个个样本本数数量量相相等等时，，可可用用单独独方方差差t检验验；；当两两个个样本本方方差差很很相相近近（（小小于于2倍倍））时，，可可不不做做方方差差齐齐性性检检验验就就进