动力学之约束理论

清华大学航天航空学院王天舒（tswang@）分析动力学之

约束理论1/5/20231本节内容内容1：约束、广义坐标内容2：约束的几何意义内容3：约束对运动的影响（位移、速度）。虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限小位移，与时间t的变化无关(t0)。分析力学的基础概念：虚位移1/5/202321.1位形空间对于物体运动的客观空间，引入笛卡儿坐标系Oxyz。为描述一个质点的运动，需考虑在每一时刻t的向径r(t):对于由N个质点所构成的系统，则需要3N个数来表示质点系统的位置和形状（位形）：引入由这3N个数张成的抽象空间来表示位形c，令该空间是由这3N个数构成各维的正交欧氏空间C，称为位形空间。运动的多维空间描述1/5/20233系统每一时刻的位形唯一对应于C空间的一个表现点cC空间的一个点c对应于系统的一个位形当系统的位形随时间变化时，其位形表现点在C空间中画出了一超曲线，即一维的轨迹，称为系统的C轨迹。C轨迹的一般性质：1.

C轨迹是连续的；2.

C轨迹可以有重点；3.

C轨迹的拐点仅发生在如下情况；a.

静止点处；b.

在有打击作用的时刻；位形空间的特点1/5/202341.2约束约束：非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制约束方程：用数学方程表达各质点所受的限制条件在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。绝大多数的运动都是约束运动。刚性杆约束1/5/20235具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为完整约束：A1.3完整约束完整约束(homonomicconstraint)1/5/20236如约束表达式中不显含时间t，则称其为定常约束(scleronomicconstraint)；否则称为非定常约束(rheonomicconstraint)。定常约束和非定常约束1/5/20237对于定常约束：一个约束方程构成位形空间上的一个N-1维固定曲面。对于非定常约束？系统运动的c轨迹必须位于该曲面内。约束方程的几何解释1/5/202381.4广义坐标能够唯一地确定质点系可能位置的独立参数称为广义坐标。选定广义坐标后，系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定广义坐标数为：N

–质点总数r–完整约束的总数；广义坐标1/5/20239取一组新的坐标：两组坐标之间的变换关系：两组坐标均可以描述质点的位形考虑系统由一个质点构成约束方程为：x-y=0广义坐标1/5/202310注意到完完整约束束关系:则有：即可以用用两个坐坐标表示示系统的的位形：：广义坐标标在广义坐坐标下系系统的完完整约束束自然满满足，约约束方程程可不予予考虑。。广义坐标标12/29/202211设由N个质点组组成的系系统包含含独立的r个完整约约束引入一组组新的变变量q：令变换关关系中的的前r项为完整整约束，，其余部部分任选选，但要要求变换换式为无无关组。。则可以得得到从x到q的变换：：广义坐标标12/29/202212注意到完完整约束束关系:则有：即笛卡儿儿坐标可可利用另另一组坐坐标表示示当采用广广义坐标标时，完完整约束束自动满满足。广义坐标标12/29/202213假设约束曲曲面是光滑滑的，有：：在约束面上上的任一点点处的充分分小临域内内，约束方方程要求所所有的可能能轨迹必须须在其切平面内，而不是是约束曲面内。虚位移在约约束曲面的的切平面内内。约束对无穷穷小位移的的影响（局局部特性））12/29/202214在光滑球面面上运动的的质点，球球面方程为为：约束方程：：无穷小的位位移改变应应满足：约束对无穷穷小位移的的影响（例例）12/29/202215设在无穷小小位移上的的约束为：：其中g(z)为z的已知函数数，求加在在有限位移移上的约束束解：没有加在有限位位移上的约约束。若令加在有有限位移上上的约束为为：则有：加在无穷小位移移上的约束不不一定会限限制有限位移的运动。速度约束不不一定对位位移有限制。。约束与有限限位移和无无穷小位移移（例）12/29/202216不可化为完完整约束形形式的约束束为非完整约束束。大多数实际际遇到的非非完整约束束问题，其其约束方程程为质点速速度的一次代数方方程：OxyvC1.5非非完整约束束非完整约束束12/29/202217上述形式的的微分约束束称为Pfaff约束。将速度形式式的约束方方程写成微微分形式：：对于完整约约束：有：则系统的约约束方程可可以统一表表示为微分分形式：有关于Pfaff约约束的可积积性定理可可见参考文文献Pfaff形式12/29/202218完整整约约束束限限制制系系统统的的位位形形轨轨迹迹必必须须在在约约束束曲曲面面上上。。非完完整整约约束束？例：：对对于于非非完完整整约约束束：：可否否由由原原点点到到达达空空间间中中的的任一一点点(x1,y1,z1)？？在xy平面面内内作作函函数数y=f(x)：：解：：定义义质质点点的的轨轨迹迹为为：：非完完整整约约束束的的特特点点－－可可达达性性12/29/202219显然然质质点点的的轨轨迹迹满满足足：：1.过过原原点点2.过过(x1,y1,z1)点点3.满满足足约约束束方方程程：：完整整约约束束会减减小小可可达达的的位位形形空空间间的的维维数数，，而而非完完整整约约束束则不不会会。。完整整约约束束会减减小小广广义义坐坐标标数数，，而而非完完整整约约束束则不不会会。。滑冰冰！！非完完整整约约束束的的特特点点－－可可达达性性12/29/202220END！12/29/2022219、静夜四无无邻，荒居居旧业贫。。。12月-2212月-22Thursday,December29,202210、雨中黄黄叶树，，灯下白白头人。。。04:32:2104:32:2104:3212/29/20224:32:21AM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。12月月-2204:32:2104:32Dec-2229-Dec-2212、故人江江海别，，几度隔隔山川。。。04:32:2104:32:2104:32Thursday,December29,202213、乍见翻疑疑梦，相悲悲各问年。。。12月-2212月-2204:32:2104:32:21December29,202214、他他乡乡生生白白发发，，旧旧国国见见青青山山。。。。29十十二二月月20224:32:21上上午午04:32:2112月月-2215、比不不了得得就不不比，，得不不到的的就不不要。。。。十二月月224:32上上午午12月月-2204:32December29,202216、行动出出成果，，工作出出财富。。。2022/12/294:32:2104:32:2129December202217、做前，，能够环环视四周周；做时时，你只只能或者者最好沿沿着以脚脚为起点点的射线线向前。。。4:32:21上午午4:32上午午04:32:2112月-229、没有有失败败，只只有暂暂时停停止成成功！！。12月月-2212月月-22Thursday,December29,202210、很多多事情情努力力了未未必有有结果果，但但是不不努力力却什什么改改变也也没有有。。。04:32:2104:32:2104:3212/29/20224:32:21AM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。12月月-2204:32:2104:32Dec-2229-Dec-2212、世间成成事，不不求其绝绝对圆满满，留一一份不足足，可得得无限完完美。。。04:32:2104:32:2104:32Thursday,December29,202213、不不知知香香积积寺寺，，数数里里入入云云峰峰。。。。12月月-2212月月-2204:32:2104:32:21December29,202214、意志坚坚强的人人能把世世界放在在手中像像泥块一一样任意意揉捏。。29十十二月20224:32:21上午午04:32:2112月-2215、楚塞三三湘接，，荆门九九派通。。。。十二月224:32上午午12月-2204:32December29,202216、少年十五五二十时，，步行夺得得胡马骑。。。2022/12/294:32:2104:32:2129December202217、空山山新雨雨后，，天气气晚来来秋。。。4:32:21上上午4:32上上午午04:32:2112月月-229、杨柳散和和风，青山山澹吾虑。。。12月-2212月-22Thursday,December29,202210、阅读一切切好书如同同和过去最最杰出的人人谈话。04:32:2104:32:2104:3212/29/20224:32:21AM11、越是没有有本领的就就越加自命命不凡。12月-2204:32:2104:32Dec-2229-Dec-2212、越是是无能能的人人，越越喜欢欢挑剔剔别人人的错错儿。。04:32:2104:32:2104:32Thursday,December29,202213、知人人者智智，自自知者者明。。胜人人者有有力，，自胜胜者强强。12月月-2212月月-2204:32:2104:32:21December29,202214、意志坚强强的人能把把世界放在在手中像泥泥块一样任任意揉捏。。29十二二月20224:32:22上上午04:32:2212月-2215、最具具挑战战性的的挑战战莫过过于提提升自自我。。。十二月月224:32上上午午12月月-2204:32December29,202216、业业余余生生活活要要有有意意义义，，不不要要越越轨轨。。2022/12/294:32:2204:32:2229December202217、一一个个人人即即使使已已登登上上顶顶峰峰，，也也仍