案例1复变函数与实变函数定义的直观性对比解释

复变函数与积分变换直观性和应用性教学案例案例1.复变函数与实变函数定义的直观性对比解释复变函数的定义从文字叙述上看与实变函数的定义几乎是一样的。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则f有唯一的或若干个复数匹与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为攻=f(z)。而实变函数的定义为：设A是一个实数集，如果对A中的任一实数x，通过一个确定的规则f有唯一的实数y与之对应，就说在实数集A上定义了一个实变函数，记为y=f(x)。从定义上看，除了几个字母表示不一样外(对数学来说，采用什么记号表示不是本质区别)，还有就是复变函数对对应法则的要求相对宽松，产生了多值函数，但在实际处理问题中，往往都是把多值函数处理成单值函数来看(因此这也可以看成不是本质的区别)。如果只是把复变函数的定义用文字叙述的方法讲解，初学者往往会产生思维定势，把数学分析或高等数学中学习的实变函数的概念照搬过来理解，这就产生了错误，没有把握住二者的本质区别。但是如果从几何上利用对比教学法对这两个概念进行比较，就会生动形象，使差异性做到了可视化，两个概念的区别被直观放大，这对学生会产生视觉震撼，印象深刻。具体演示如下：学生通过图形演示对二者的区别会有充分把握：二者定义虽然从文字上看类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数可以看成是把一维实数区间映射成一维实数区间的函数，而复变函数则是把二维平面区域映射成二维平面区域的函数。而至于复变函数的定义域和值域分别画在两个不同的复平面上则纯粹是为了方便和避免混淆。这就把握住了二者的本质区别，同时也加强了学生对复数的理解。案例2.从几何上对复变函数和实变函数的极限过程进行对比正确理解了复变函数的定义后，接着复变函数的极限又是一个对初学者容易产生错误理解的重要概念。同样，复变函数的极限定义从文字叙述或符号表示上看也与实变函数的极限定义几乎是一模一样的。为了便于叙述和说明问题，仅就其中特定极限类型进行对比说明。设函数攻=f(z)在点z0的某一去心邻域U(z0)内有定义，A为一复常数，若任给£>0，总存在5>0，使得当0<|z—zJ<5(即zeU(z°))时，都有|f(z)-A|<£(即f(z)eU(A,£))成立，则称A为函数f(z)当z-z。时的极限，记作limf(z)=A，或z-z0f(z)TA(z-z0)。而实变函数的极限定义为：设函数y=f(x)在点x0的某一去心邻域U(x。)内有定义，A为一实常数，若任给£〉°，总存在8>°，使得当°<x-x。|<5(即xeU(x°))时，都有|/(x)-A|<£(即f(x)gU(A,£))成立，则称A为函数f(x)当x-xo时的极限，记作limf(x)=A，或f(x)TA(x-x°)。从定义的文字叙述上° xTx° °看，除了个别字母表示不同之外，二者完全一样(对数学来说，采用什么记号表示不是本质的)。如果只是把复变函数的极限定义用文字叙述的方法讲解，初学者往往会产生思维定势，把数学分析或高等数学中学习的实变函数的概念照搬过来理解，甚至有的学生在复变函数极限表述上出现了左右极限的说法，这就产生了错误，没有把握住二者的本质区别。但是如果从几何上利用对比教学法对这两个概念进行对比，就会使二者的差异性做到了可视化，生动形象，给学生的印象深刻，便于正确理解。具体演示如下：通过动画图形演示，学生对二者的区别会有充分把握：两个定义虽然从文字叙述上看完全类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数的极限过程是当自变量在实数范围内趋近于指定的x°时，其对应的函数值无限趋近于已知确定的某个实数，不管是自变量还是函数值，这个过程都是在一维直线上进行的。而复变函数的极限是当自变量在复数范围内趋近于指定的Z°时，其对应的函数值无限趋近于某个已知的确定复数，不管是自变量还是函数值，这个过程都是在二维平面上进行的。利用对比法对这些问题弄清楚后，学生就能顺其自然的理解并掌握复变函数极限存在的充要条件，而不会在复变函数极限里出现像左右极限这样的错误说法了。案例3复变函数和实变函数连续性概念的对比虽然复变函数和实变函数里对连续的定义形式上看完全类似，但是只要明确了复变函数和实变函数极限定义的本质区别，应该容易进行区分。复变函数在一点Z°连续是指limf(z)=f(z°)，如果在某个复数集上该极限式处处成立，就称该函数在该复数集上连zTZ°续。而实变函数在一点x连续是指limf(x)=f(x)，如果在某个实数集上该极限式处处° xtx °°成立，就称该函数在该实数集上连续。笔者在教学中发现，学生对复变函数在平面点集的边界上的连续性定义往往弄不清楚。这时仍然可以采取对比教学法说清楚这个问题。为了方便说明问题，仅就其中特殊类型进行对比。假设复变函数在闭区必上连续，边界用C表示，在D内部的连续性定义容易理解，但是对于边界C上的连续性定义则需要向学生利用对比教学法进行对比说明。下面把复变函数在闭区域的边界上的连续性与实变函数在闭区间端点处的连续性进行对比。实变函数在闭区间［〃力］的端点处的连续性定义，首先考虑到函数的定义域是［a,b］，因此在端点a处，只能求右极限，而在端点b处只能求左极限。由于在这两点处只能定义单侧极限，因此关于该两点处连续性的定义应该理解为，如果在这两点处的单侧极限值存在且等于该点处的函数值，则定义函数在该点连续。而对于复变函数f在C上的连续定义，对比实变函数的情形，把闭区域的边界和闭区间的端点对应，则由于复变函数的定义范围是闭区域。，因此对于C上的点，自变量Z只能沿着区域D的内部趋于C上的点，因此无法求极限。所以事实上f在C上某点连续指的是当Z沿着区域D内部任意路径趋于C上的该点时，极限都相同，如果这个共同的极限值(类似于实变函数里的单侧极限)等于该点处的函数值，则定义f在该点连续。案例4背景直观形式在调和函数概念的讲解中，如果按课本上直接给出定义，学生可能意识不到它的重要性，会提出好多“为什么”：“偏微分方程的形式千千万万，这只算一种，但是为什么单独对这种形式的方程讨论呢？”“这种方程有什么特别之处呢？”“似乎只是外形看上去很优美”。事实上它有很深的背景，是从众多物理现象中抽象出来的。先回顾一下调和函数的背景。在场论的研究中，我们知道对矢量场A当恒有divA=0与rotA=0时称A为调和场，也就是既无源又无旋的矢量场为调和场。对矢量场A，因为rotA=0，存在函数u，使得A=gradu，du.du.又divA=0，所以div(gradu)=0，在平面直角坐标系中，由于gradu=—i+—j，所dx dyd2ud2u„以有k+『二0，通常此微分方程称为拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数叫做调dx2dy2和函数。如此弥补了复变函数中由解析性得到调和函数的纯理论概念。简单的一举例，学生会直观感觉到这是一类特殊而且重要的微分方程，知道了调和函数来自于一种重要的场，有着深刻的物理背景，有一定的普遍性和应用性。案例5模式与类比直观形式拉普拉斯变换的定义为：f(t)为定义在［0,+s)上的实值函数，若对于参数s=B+j①，积分F(s)=Lf(t)e-stdt在复平面s的某一域内收敛，则称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。0刚接触定义，学生会摸不着头脑，好端端的一个形式简单的函数为什么要做拉普拉斯变换呢？这时可以举一个很简单的模式与类比的直观实例。现有一数系，考虑在该数系内做乘法运算，如果计算量大，不好处理，可以考虑一个过渡的办法来处理。现在把该数系里的元素都取对数(假设该数系内的元素可以取对数)，那么原来的乘法运算到了新的数系里后就变成了加法运算。用式子表示就是：在原来的数系中取a,b两个数，求ab。做个简单的变换，先来求lnab，由于lnab=lna+Inb，所以原来的相对复杂的乘法运算变成了现在相对简单的加法运算。但是通过加法运算求出的是lnab，而要求的是ab，这时只需再把求出的结果进行和取对数相反的逆运算(指数运算)即可。对数的发明使某些繁难的乘法计算成为可能，这也是对数发明的原因。类比于上述模式中把乘法运算转换成加法运算的过程，

拉氏变换相当于把某函数族中的某些运算变成另一种变量中容易运算的形式。而拉普拉斯逆变换就类似于上述把通过变换得到的结果进行逆运算的过程。这样，两个概念就都简明直观的展示给了学生，学生会有一种恍然大悟的感觉：原来看上去形式复杂的拉普拉斯变换，它的作用和把数字变成对数形式的道理是类似的。案例6经验与类比直观形式在讲解超越整函数的定义和增长性与增长级的时候可以作如下经验与类比直观解释。超越函数f(z)不是多项式，但可视为一种“无穷高次多项式”。因为超越函数可以表示成f(z)=。0+4z+a2z2++anzn+的级数形式，含有非零系数的z的任意高次幕的项，max因此类比于多项式，,可以看成是“无穷高次多项式”。超越函数的最大模11ax\f(z)|｝在r-8时比任何高次多项式的最大模都增长的快，但是却不能1=rmax把所有的超越整函数归为一类，这是因为它们中一些最大模的增长比另一些的最大模的增长快得不能比。例如比较超越函数e,ezk(k>2,keZ),ee的最大模。通过计算可知M(r,ez)=er，M(r,ezk)=er，M(r,ee)=eer。显然，当r-8时，M(r,ez)，M(r,ezk)，er er2八M(r,ee)都趋向于8，但是趋向8的速度显然不同。例如lim——=0,lim—=0,,r—8er2 r—8er3♦♦♦erklim=0,,对任意的自然数k都成立。由此可知在超越整函数的序列r—8erk+i♦♦♦ez,ez2,ez3,,ezk,ez+1,中，从第二项起每个函数的最大模都比它前一个增长的无限快，而M(r,eez)=ee比序列中的任何一个都增长得无限快。我们知道，若把M(r,e)=er作为增长的一个标准，就像一把尺子一样，这时可以用一个有限数来测量这些函数(除去函数eez)中每一个的最大模的增长。首先看增长较慢的函数，先取最大模的对数(取对数是为了让它跑的慢一点，标准好找)，得序列lnM(r,ez)=r,lnM(r,ez2)=r2,,lnM(r,ezk)=rk,.在这个序列中，从第二项起每个函数的最大模还是比它前面的增长得无限快，不好比较，可对它们再取一次对数。得到序列lnlnM(r,ezk)

lnlnM(r,ez)。易见任意两个函数的lnlnM(r,ez)=lnr,lnlnM(r,ezlnlnM(r,ezk)

lnlnM(r,ez)。易见任意两个函数的lnlnM(r,ez2) lnlnM(r,ez3) =2. =3.lnlnM(r,ez) lnlnM(r,ez)最大模比是有限数。并可看出在lnlnM(r,e)的标准下，(虽然都是趋于无穷大，但是趋于无穷大的速度或者快慢还是不一样的，虽然无穷大是不能比较大小，但是趋于无穷大的快慢可形象地看做有个“倍数关系”。)对函数eez的情况，有

InlnM(InlnM(r,ee-)InlneeInlnM(r,e-) InrrInr-g(r-8)，所以说函数lnlnM(r,ee)趋于无穷大的程度是lnlnM(r,e)趋于无穷大的“无穷倍”。一般来说，当rfg时，M(r,f)取两次对数与M(rze取两次对数的比的极限(如果存在)lnlnM(r,f) lnlnM(r,f) ”、P=lim =lim 叫做整函数f(z)的级。对一般的整函数，极限…lnlnM(r,e-)…lnr「lnlnM(r,f) ”、limi'‘不一定存在，但其上极限一定存在，因此定义函数f(z)的级:…lnrP=limrP=limrfglnlnM(r,f)lnr。［6］现在我们知道lnr就是一把尺子，如果极限P等于非零有限数，那么可以认为当r足够大时，lnlnM(r,f)近似是lnr的有限倍。那么标准为什么取为lnr呢？M(r,f)前面为什么要加两个ln呢？这是因为标准取为lnr对大多数常用函数的最大模与其作比取极限后都能得到一个有限数，能体现出增长的倍数关系。同时经验告诉我们，就像用标尺测量长度一样，要针对不同的物体和对结果的精度要求选用不同的测量工具，测量头发的直径一般用的是游标卡尺或者螺旋测微仪，如果用米尺的话显然不可能测量。但是如果测量一个国家的海岸线的长度用游标卡尺或者螺旋测微仪的话，不但工作量巨大，而且没有必要，事实上用米尺甚至更粗糙的测量工具就可以了。这里当标准取为lnr，M(r,f)前面加了两个ln是为了让M(r,f)变的小一点，因为每加一个ln，M(r,f)的下降速度是很大的，对大多数常用的函数M(r,f)如果加了一个ln或者不加ln，那么就会显的标准lnr太小了，作比取极限后都是无穷大，显示不出增长的倍数关系。适当的添加ln后，就可以体现出增长的倍数关系了。但对M(r,eez)来讲，上面取的标准就显的“太小”了，不能体现出对标准的增长倍数关系。此时可以调整标准，或通过调节ln的个数，然后作比来体现增长的倍数关系。案例7调和函数的背景及其应用在调和函数概念的讲解中，如果按课本上直接给出定义，学生可能意识不到它的重要性，会提出好多“为什么”：“偏微分方程的形式千千万万，这只算一种，但是为什么单独对这种形式的方程讨论呢？”“这种方程有什么特别之处呢？”“似乎只是外形看上去很优美。”事实上它有很鲜明的理论背景，是从众多现象中抽象出来的。现在逆着抽象的过程回望，看一个具体的例子：调和函数的来历。在场论的研究中，我们设矢量场A为调和场，按定义有rotA=0，则存在函数u满足A=gradu，又divA=0，所以div(gradu)=0，在直角Su. du .du d2u d2u d2u坐标系中，由于gradu=--1+—j+ k，所以有丁+ + =0，此微分方程称Sx SySz c.x2 Sy2 sz2为拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数，叫做调和函数。简单的一举例，学生会感觉到这是一类很特殊很重要的微分方程。这就知道了调和函数来自于