高中新教材数学（必修1）探究与设计案例某些复合函数周期性的教学设计与实践

高中新教材数学（必修1）探究与设计案例某些复合函数周期性的教学设计与实践

内容Summary：对普通高中2017版教科书中的“探究与设计”教学内容以“某些复合函数周期性”进行有益的教与学探究。学生在信息技术支持下，通过具体形象地观测、猜想某些复合函数的周期性与内、外函数性质的关系。同时，让学生亲自体验了发现数学、领悟数学的全过程。与此同时，教师在落实新教材的相关理念上作了一些有益的探讨。教学设计与实践：[教学目标]：运用信息技术观察并猜想某些复合函数的周期性与内外函数的单调性与奇偶性之间的关系.通过技术支持下的探究，培养学生观察、分析、类比、联想、推理、论证等解决问题的能力，提高学生的数学素养.[教学实践情况]：提出问题我们已经掌握了可转化为型的函数的最小正周期的求法，然而还有许多无法或不易转化为该类形式的函数，怎样判断这些函数的周期性呢？例如：的周期是，的周期是，的周期，你的猜测是___________.引导探索的周期为什么仅与的奇偶性有关？能否用已学内容进行分析？将分解为外函数和内函数，这两个函数的单调性与奇偶性我们已经掌握，在此基础下，我们进行如下猜想.猜想1：如果外函数在定义域内是增函数，那么的周期就是，例如函数的周期是.（如图1、2）图2图1图3图4猜想2：如果外函数在定义域内是减函数，那么的周期就是，例如函数的周期是.（如图3、4）猜想3：如果外函数在内单调，那么的周期就是，例如函数的周期是.（如图5、6）图5图6图7图8猜想4：如果外函数是定义域到值域的一一映射，那么的周期就是，例如函数的周期是.（如图7、8）猜想5：如果外函数在定义域内是奇函数，那么的周期就是，例如函数的周期是.（如图9、10）图9图10图11图12图13图14图15猜想6：如果外函数在定义域内是偶函数，且非常数函数，那么的周期就是，例如函数的周期是.（如图11、12）猜想7：如果外函数在定义域内是奇函数，内函数周期，那么的周期就是，例如函数的周期是.（如图13、14）猜想8：如果外函数在定义域内是偶函数，内函数周期为，那么的周期不一定就是，例如函数的周期仍然是.（如图15）3.进一步的研究（1）通过以上的科学猜想，你是否可以提出类似的猜想？（2）能否从理论上对以上猜想进行证明，或找出反例说明猜想是错误的？（3）如果外函数是周期函数，那么复合函数的周期有何规律?（4）两个周期函数的和、差、积、商函数的周期性有何规律？4、小结数学教学的基本任务之一是“将按逻辑演绎编写的教材还原为生动活波的思维活动”。教师的地位不仅要步步为营，言必有据，培养学生严谨的逻辑思维能力；也应通过直观归纳、类比猜想，培养学生探索创新的能力。在这样的活动中，学生可以学会用数学的眼光去审视客观世界，从具体的事例中发现一般规律。在教学实践过程中可以看出，学生在思考的过程中，信息技术可以随时准确地画出学生需要的图像，验证猜想，给出反例，发现规律。迅速准确地为学生的抽象思维提供强大的形象直观的支撑，为学生的探究活动插上“翅膀”，对信息技术而言，学生处于天然的主动地位，是利用已有的知识和经验，对问题所作的主动思考5、反思“探究”与“技术运用”的合理性（1）自主探究是新课程理念所主张的重要学习方式，该课题的探究过程中学生根据猜想的条件自己建立符合条件的具体复合函数进行研究，经过理解条件、建立函数、合情猜想、技术验证、理性推导五个过程，真正通过探究实现了为理解而学习。（2）与自主探究紧密相联的是合作交流的学习方式．在该探究过程中，其实学生是数学交流，数学交流的实质是信息沟通、思想共享和意义生成，其根本作用在于通过取长补短、博采众长，促进学生的数学认知与理解．（3）斯坦福大学的计算机系雄冠全球，学校教室的现代化教学设备应有尽有，但据称，这里很多学科的教学完全不用计算机，仍然坚持传统的教学方式．这样说，并非要否定现代教育技术的积极作用．其实，传统教学手段有其长处，现代教学技术也有其优势，两者不能互相替代，而只能取长补短、优势互补．既不能因其传统而否定，也不能因其现代而一哄而起．面对当下汹涌而至的信息化热潮，我们需要牢记的是，信息技术的使用并非上好优质课的必要手段，是否使用信息技术不应成为评判教学优劣的标准．教师要继承和坚守传统教学方法的优势和长处，谨防被现代教育技术所劫持和绑架．以该探究课为例，信息技术为画出函数图像提供了积极支持，但技术仅仅只是为了起到有限验证的作用，“有限”是指学生只能观察是否存在周期，但是究竟周期是否是“”或“”，机器画图无法体现，必须得进一步利用周期函数的定义进行证明，所以，技术并没有降低学生学习数学的思维量，我觉得反而开阔了学生想象的空间。（4）探究与技术运用从本质来说既非充分也非必要条件，探究能力的形成必要要求较好的数学基础，但是在探究过程中，数学基础相对薄弱的学生在技术的支持下起码看起来不那么“薄弱