演绎推理与合情推理解题技巧-高考理科数学热点专题学生版

专题19演绎推理与合情推理解题技巧【知识要点】.合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理.数学中常见的合情推理有：归纳和类比推理.(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳).简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理..演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)演绎推理的一般模式——“三段论”①大前提一已知的一般性的原理；②小前提一一所研究的特殊情况；③结论一根据一般原理，对特殊情况做出的判断..合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向..合情推理的过程从具体问题出发I-1观察、分析、比较、联想|-1归纳、类比|-1提出猜想.演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法.是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行..注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明..直接证明(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为直接证明.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法.（2）从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止.这种证明方法常称为综合法.推证过程如下：I尸nQ1|TIQ1nQ2I-IQ2nQ31f・iQnQ（3）从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.推论过程如下：QUP111|p产「21-|p2uP31-…l得到一个明显成立的条件•P—表示条件，Q一表示要证的结论..间接证明一反证法（1）假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.（2）反证法的特点：先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.推论过程如下：QUP11-1PlUP21-|P2UP31-…-得到一个明显成立的条件•P—表示条件，Q一表示要证的结论..间接证明一反证法（1）假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做.（2）反证法的特点：先假设原命题 成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等..关于反证法使用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式、事实矛盾等.反证法的步骤：（1）反设；（2）推出矛盾；（3）下结论.矛盾的主要类型：（1）与假设矛盾；（2）与数学公式、法则、公理、定理、定义或已被证明了的结论矛盾;（3）与公认的简单事实矛盾；（4）自相矛盾.

.数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法.它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善..证明代数恒等式的关键是第二步，将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式一凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式一一凑结论..用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，利用证明不等式的方法（如放缩）把式子化为n=k+1成立时的式子..用数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图形的性质，在求由“n=k到n=k+1”增加的元素个数时，可以先用不完全归纳法找其变化规律..由有限个特殊事例进行归纳、猜想，而得出一般性结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法,研究与正整数有关的数学问题，此方法尤为重要，如猜想数列的通项。或前n项和S，解决与自然数有关的探索性、开放性问题等.这里猜想必须准确，证明必须正确.既用到合情推理，又用到演绎推理.猜想的准确与否可用证明来检验，否则不妨再分析，再猜想，再证明，猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可靠性,二者相辅相成.题型典例分析1.归纳法f-药=~an+4=1例1f-药=~an+4=1例1已知数列Q/,也j满足 一 ,nn2017 2018A. B. 2018 2017，则b201r（）C.20152016D.20162015练习1.将正整数排成下表:1011121314151610111213141516则在表中数字2017出现在（ ）A.第44行第80列B.第45行第80列C.第44行第81列D.第45行第81列练习2.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有‘穿墙术”:

则按照以上规律具有“穿墙术则按照以上规律具有“穿墙术”，则n=A.35B.48C.63D.80练习3.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代n代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）A.nB.n2 C.n—1D,n+1练习4.九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：n=2及n=3时，如图：7n记S7n记S为每个序列中最后一列数之和，则s为（）A.1089B.680C.840D.2520故练习5.如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为1111111111111111练习6.（导学号：05856327）观察下列等式：1=77+7+7；1=77+；+：+—；1=大+[+：+772 3 6 2 4 6 12 2 5 6 121H；20111 1 1 11H；20以此类推，1=大+：+三+H二+=十二"，其中n£N*.则n=267 203042练习7.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.A.(-3,-1)U(1,2) B.(1,2)C.(-1,2)D.(-3,2)练习4.已知数歹也练习4.已知数歹也”｝为等差数列，若am=a,an=b(n-m>1,m,n£N*),则.类比上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n£N*),若bm=c,bn=d(n—m>2,m,n£N*),则可以得到bm+等于( )论,练习5.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是・，则1227用算筹表示为( )1IIiHiiiiiiiiiTTrirrnii僦—=^ = 增飞—RM-零IH—二灯一H一：FC― D1. .2SY- 练习6.nABC的三边长分别为a,b,c,JBC的面积为S,内切圆半径为r，则 二”一\类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为八I'f'，内切球的半径为R，四面体P-ABC的体积为V,R=()A. b.

W 4厂c；- -口S-工-士->-(^» ^^»3.数学归纳法例3.1.下面四个判断中，正确的是（）l+k+后+…+非伍wN]A.式子 ，当n=1时为11+A-+4*~\ Fk"I[W6X|B.式子 ，当n=1时为1从W.i-L=1.旌）1 111C.式子--，当n=1时为』+-+-123/rw/rw)= + +D.设 二一二-- ，则=•.'一=一不一不练习1.用数学归纳法证明一.：・・・・:・ ■■:':二 •时，从““到" 、'左边需增乘的代数式为（）二十3 二十］TOC\o"1-5"\h\zA.二1B.；1 1C.1D. 1练习2.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n>1,n£N）个点，相应的图案H F 口;口斗 口4口4口;口斗 口4口4中总的点数记为4n，则二一二2012 2013 2014 2014A. B. C. D. 2013 2012 2015 2013.分析法例4.淮北一中艺术节对摄影类的A,B,C,D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A,D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”

若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）.A.A作品B.B作品C.C作品D.D作品练习1.某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高。若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（）A.甲、乙、丙B.甲、丙、乙C.乙、甲、丙D.丙、甲、乙练习2.老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌，分别是红桃A，梅花A，方片A以及黑桃A,让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：小明说：第1个盒子里面放的是梅花A，第3个盒子里面放的是方片A；小红说：第2个盒子里面饭的是梅花A，第3个盒子里放的是黑桃A；小张说：第4个盒子里面放的是黑桃A，第2个盒子里面放的是方片A；小李说：第4个盒子里面放的是红桃A，第3个盒子里面放的是方片A；老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半.”则可以推测，第4个盒子里装的是（ ）A.红桃A或黑桃AB.红桃A或梅花AC.黑桃A或方片AD.黑桃A或梅花A.综合法例5,德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子.19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对1+2+3+…+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也被称为高斯算法.现有函数fx）=m+2017A. 法.现有函数fx）=m+2017A. 3x3m+6054

m+20166则f(1)+f(2)+^+f(mm+2017)等于()m+20176m+1008D. 3练习1.若a,b是常数，a>0,b>0,+s),则ab一当且仅当一=一时取xy34 1等号.利用以上结论，可以得到函数f（x）=-+--（0<x<;）的最小值为（）x1-3x 3A.5B.15C.25D.2练习2.在直角坐标平面xOy上的一列点, 7一二……二■…..…简记为｛A｝若由n；=:构成的数列U｛b｝满足•其中j为方向与y轴正方向相同的单位向量，则n称｛A｝为T点列.有下列说法n① •一••，. : 为T点列；②若｛A｝为T点列，且点A在点A的右上方.任取其中连续三点二":一"七一'则AAAA可以为锐n 2 1 kk+1k+2角三角形；③若｛A｝为T点列，正整数若士m：；.，满足’—‘二.则'「一.二一n④若｛A｝为T点列，正整数若，,：「：“：一：；.，满足二.则一'二；‘'"'1n其中，正确说法的个数为（）学_科网A.1B.2C.3D.46.反证法例6,（1）用分析法证明：当x>0，y>0时，GJ，\；一次；（2）证明：对任意xeR，3L」—x—1，x2+x，-2x+1这3个值至少有一个不小于0.TOC\o"1-5"\h\z4二9 16打田，匚w（o,+8） £T+t^+-jC+—练习1.已知 ，则下列三个数 - ;入（）A.都大于6B.至少有一个不大于6C,都小于6D,至少有一个不小于64二9 16打田，匚w（o,+8） £T+t^+-jC+—练习2.已知 ，则下列三个数 ■ : -（）A.都大于6B.至少有一个不大于6C,都小于6D,至少有一个不小于6练习3.①已知p3+q3=2，求证p+q<2，用反证法证明时，可假设p+q>2:②设a为实数，一二一，，求证|f。）|与|f（2）中至少有一个不小于1，有反证法证明时可假设|f（1）|>1，且1|f（2）>不，以下说法正确的是（ ）A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确C.①的假设正确，②的假设错误 D.①的假设错误，②的假设正确“ 上口一I4 4 4 …,练习4.设m、n、t都是正数，则m+—、n+、t+三个数()n t mA.都大于4B.都小于4 C.至少有一个大于4 D.至少有一个不小于4练习5.用反证法证明命题："a,beN，若ab可被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除.”时，假设的内容应该是A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除 D.a能被5整除二