2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

·············2013年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．=上海）计算：．分）（2013?．1（4数列的极限菁优网版权所专计算题．题：分由数列极限的意义即可求解．析：解解：==，答：故答案为：．点本题考查数列极限的求法，属基础题．评：222．（4分）（2013?上海）设m∈R，m+m﹣2+（m﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．考复数的基本概念．菁优网版权所有点：专计算题．题：22分根据纯虚数的定义可得m﹣1=0，m﹣1≠0，由此解得实析：数m的值．2解解：∵复数z=（m+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，22∴m+m﹣2=0，m﹣1≠0，解得答：m=﹣2，故答案为：﹣2．············．·············2﹣，m点本题主要考查复数的基本概念，得到m+m﹣2=00，是解题的关键，属于基础题．评：1≠x+y=上海）若=，0．3．（4分）（2013?菁优网版权所二阶行列式的定义常规题型利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论析：解=，解：∵答：22x∴2xy=﹣+y2）（x+y∴=0x+y=0∴0故答案为本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属点于基础题．评：所对的CB、、上海）已知△ABC的内角A（4．（4分）2013?222C的大小是﹣3c=0，则角3a边分别是a、b、c，若+2ab+3b．余弦定理．菁优网版权所有考：点解三角形．专：题222分，变形为﹣3c再利把式子3a=0+2ab+3b析：用余弦定理即可得出．222解，，3a解：∵+2ab+3b﹣3c=0∴答：············．·············．=∴=∴C=．故答案为．点熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键．评：的二项展，若a∈R5．（4分）（2013?上海）设常数7﹣2．开式中x项的系数为﹣10，则a=二项式系数的性质菁优网版权所计算题：r+1利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第分7列出方程求解即可．项，令x的指数为7求得x的系数，析：解10rrr10﹣2rxT=C）=Cx（解：的展开式的通项为5r+15答：r3r﹣a得r=1，3r=7令10﹣17x∴的系数是aC57x∵，的系数是﹣101aC∴=﹣10，5解得a=﹣2．．2故答案为：﹣本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项点评：公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．1x﹣=3上海）方程?+的实数解为2013分）（6．4（函数的零点．考菁优网版权所有············．·············．4log3函数的性质及应用：分x﹣1x﹣1x）43﹣化简方程+=3为=3，即（析：xxx的值．解1﹣﹣1xxx﹣1x=3，即8+3，即=3解：方程+=3=03+2），解得3=4，可得（答：x+1，﹣3）3（xx2xx）=0．﹣?38=0，即（3﹣4）（3+2化简可得3﹣2xx（舍去），解得3=4，或3=﹣2x=log∴，43．故答案为log43本题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元点二次方程的解法，属于基础题．评：与2013?上海）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1分）7．（4（．θ=1的公共点到极点的距离为ρcos菁考点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．优网版权所有：点计算题．专：题即为答案．ρ与θ+1ρcosθ=1消掉θ即可求得，ρ分联立=cos析：ρ（得θ=1ρρρ得，ρ解解：由=cosθ+1cosθ=﹣1，代入cos=1，）答：﹣1ρ解得ρ=或=（舍），的公共点到极点的距离θ=1cos与θρ所以曲线=cos+1ρ标的互化，点············．为，故答案为：．本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐·············属基础题．评：，5，4，1，2，?8．（4分）（2013上海）盒子中装有编号为3的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编98，6，7，．（结果用最简分数表示）号之积为偶数的概率是菁优网版权所古典概型及其概率计算公式概率与统计九利用组合知识求出个奇球中，任意取出两个球的取法种数，再求出析个奇数的取法种数，求出取出的两个球中任意取编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取两个球的编号之积为偶数的概率九个球中，任意解：答种出两个球的取法种数为种．取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为．则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．故答案为本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的点排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是评：明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．上，ΓC是椭圆?49．（分）（2013上海）设ABΓ的长轴，点在Γ，BC=则的两个焦点之间的距离为，若CBA=且∠，AB=4．考椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．菁优网版权所有点：············．·············圆锥曲线的定义、性质与方程题分，由条件由题意画出图形，设椭圆的标准方程为析：的坐标，再根据结合等腰直角三角形的边角关系解出C值，最后利用椭圆的几何性质计算在椭圆上求得b点C可得答案．解，解：如图，设椭圆的标准方程为答：2a=4，a=2．由题意知，），C点C的坐标为（﹣1，1CBA=∵∠，BC=，∴因点C在椭圆上，∴，2b∴=，222c∴=4﹣c=，=，﹣=abΓ的两个焦点之间的距离为．则故答案为：．本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质点评：的应用．，4（分）（2013，…x，是等差数列?上海）设非零常数dx．1021，则方差…，，xξ的公差，随机变量x等可能地取值x，x191912230d=Dξ．············．·············极差、方差与标准差菁优网版权所概率与统计项和公式可利用等差数列的前析：和数学期望的计算公式即可得…+x=x+x+1912，再利用方差的计算公式即可得出出Eξ即可得ξ=D+9d．解：由题意可得Eξ===x答：1x∴=（n﹣10）d，）=x﹣Eξ+（n﹣1d﹣（x+9d）1n1222）d+…+（﹣∴Dξ=+）+…2d+0+d+（2]9d）（=2=30d．2故答案为：30d．项和公式、数学期望和方差的n点熟练掌握等差数列的前出．解=计算公式是解题的关键．评：，2013（?上海）若cosxcosy+sinxsiny=（11．4分）．（sin2x+sin2y=，则sinx+y）=菁考三角函数的和差化积公式；两角和与差的余弦函数．点优网版权所有：专三角函数的求值．：题分，可得利用两角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny=析：﹣，再利用和差化积公式sin2x+sin2y=············．，cos（=）yx·············．sin（x+y））cos（x﹣y）=，即可得出得到2sin（x+y解：∵答：sin2x+sin2y=，∵yx+y）﹣（x﹣）]=，sin[∴（x+y）+（x﹣y）]+sin[（=，x﹣y）∴2sin（x+y）cos（，∴．=）x+y（sin∴．故答案为熟练掌握两角和差的正弦余弦公式解=．ycosxcosy+sinxsiny=，∴cos（x﹣）及和差化积公式是点解题的关键．评：）是定义在（xa．12（4分）（2013?上海）设为实常数，y=fa+1=9x+xR上的奇函数，当＜0时，f（x）+7．若f（x）≥．的取值范围为0成立，则a．≥对一切x菁优网版权所有考函数奇偶性的性质；基本不等式．：点专函数的性质及应用．题：时函数0≥是定义在y=f分先利用（x）R上的奇函数求出x成立转化为函数）≥a+1≥0对一切xx析：的解析式，将f（）的最小值，xa+1，利用基本不等式求出f（的最小值≥解不等式求出a的范围．上的奇函数，（解解：因为y=fx）是定义在R答：=0；（时，所以当x=0fx）+7﹣（﹣，所以＜x0fx）=9x﹣时，则﹣＞当x0）是定义在xR上的奇函数，（因为y=f（所以fx7；﹣=9x+）a+1）x（因为f≥0x对一切≥成立，············．·············成立a+所以x=时所a≥a+1成立，0时，9x+﹣7当x＞，﹣9x+7的最小值≥a+1只需要7，=6|a|﹣因为9x+﹣7≥2a+1，7所以6|a|﹣≥，解得所以．故答案为：．本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转点评：化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．x平面上，将两个半圆弧（2013?上海）在xOy．13（4分）（2222y=1，两条直线x）和（1x﹣3）+y=1（≥3）（1﹣）+y=1x≥绕y=和﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记DΩ）作（）|y|≤10y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（，y．试利用祖暅原理、π4+8π的水平截面，所得截面积为Ω的体积值为一个平放的圆柱和一个长方体，得出2π2π+16．进行简单的合情推理．菁优网版权所有考：点专计算题；压轴题；阅读型．：题可猜想水平放置的分Ω由题目给出的的水平截面的面积，圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体析：············．·············的体积作和即可的水平截面的截面积解：因为几何体答，该截面的截面积由两部分组成+8高为，看作是截一个底面积为8π一部分为定值8π，看作是把一个半径为4的长方体得到的，对于1，2π的圆柱平放得到的，如图所示，高为2，放在一起，根据祖暅原理，每个平行这两个几何体与Ω水平面的截面积相等，故它们的体积相等，22π=22π+2?8π?．1+16π即Ω的体积为π?2．故答案为2π+16πΩ本题考查了简单的合情推理，解答的关键是由几何体点的水平截面面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关评：量，是中档题．，g（x）上有定义的函数14．（4分）（2013?上海）对区间I的函数3][0，x={y|y=g（x），∈I}．已知定义域为（记gI）1﹣﹣1f），1））=[1，2，y=fy=f（x）有反函数（x），且f（[01﹣=x=0有解x，则xf4]2，）=[0，1）．若方程（x）﹣（（002．菁优网版权所有考反函数；函数的零点．：点压轴题；函数的性质及应用．专题：根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当分）的值域，进而可判2）时f（x∈，析：x∈[01）时，x[1，上存[0f无解；由（x）在定义域，3]=xxf断此时（））的取值集合，再根时，，∈在反函数可知：x[23]fx（············．·············的值=有解即可得据方=[[={y|y=I解：因4=[答所以对于函）4，所以方[）时无解=x=），所以方）时[[=无解x==无解x=所以[时方3，且定义域[）x=有又因为方）的取值应属于集合（[3时故2[，只==故故答案为2本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题点的能力，属中档题．评：分）每题有且只有204题，满分二、选择题（本大题共有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案分，否则一律得零分．的小方格涂黑，选对得5）﹣1，集合A={x|（x20135分）（?上海）设常数a∈R15．（的取值范围，则aA∪B=R，B={x|x≥a﹣1}，若a（x﹣）≥0}）为（∞）[2，++2，∞）D．，）﹣．A（∞，2B．（﹣∞2]C．（集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次考菁优网版权所有：不等式的解法．点不等式的解法及应用；集合．专：题，求出满时，代入解集中的不等式中，确定出A＞分当a1，A=R时，易得当R析：足两集合的并集为时的a的范围；a=1的，列出关于Aa时，同样求出集合＜符合题意；当a1的范围．综上，得到a不等式，求出不等式的解集得到············．·············范围满足题意[B=[解时A（1答B=，B=，此a=时，易A=B=[时A（a[，显然成立B=，2综上的取值范围是（故B此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒点成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．评：，她这句”“便宜没好货（2013?上海）钱大姐常说．16（5分））好货”的（是话的意思是：“不便宜”“必要条件B．A．充分条件非充分又非必要条件．D既．充分必要条件C菁优网版权所必要条件、充分条件与充要条件的判断．考有点：的逆否命题，根据互”“便宜没好货因为分“好货不便宜”是再是真命题．好货不便宜”析：为逆否命题的真假一致得到：“的好货”不便宜”是“据命题的真假与条件的关系判定出“必要条件．的逆否命题，“便宜没好货””解解：“好货不便宜是是真”“好货不便宜答：根据互为逆否命题的真假一致得到：命题．”，”?“不便宜所以“好货”的必要条件，好货不便宜所以“”是“B故选本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假点判定条件关系，属于基础题．评：············．·············n，若一﹣1）中，a=2分）（2013?上海）在数列（a17．（5nn+a+aac=a?12列的矩阵的第i行第j列的元素个7行jijjii，则该矩阵元素能取到的）…，127；j=1，2，（i=1，2，…，）不同数值的个数为（36D．C．48．A18B．28菁优网版权所数列的函数特性压轴题+=+由于该矩阵的行列的元ii+j=1+1=i=析+n=m==1，要mi1m+i+，由指数函数的，得i+j=m+1=则满，因此该矩阵元素m+时调性可得：i+mi的所有不同和，即可得出取到的不同数值i+++列的元=解：该矩阵的行ii+j=+1+1=i=答1，12）2，…，，；j，…，7a=a（i，m=1，2当且仅当：i+j=m+n时，mnij），…，12n=1，2，的所有不同因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j个不同数值．19，共182，3，…，和，其和为．故选A，，…2i，m=1，=a点由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a（mnij）是解题的关键．12，…，j7；，n=1，2评：中，ABCDEF1的正六边形分）（2013?上海）在边长为518．（、、、A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、记以、、D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以）的最小值、+（）+Mm、．若、分别为（+?+············．·············最大值，其中{i，j，k}?{1，2，3，4，5}，{r，s，t}?{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m=0，M＞0B．m＜0，M＞0C．m＜0，M=0D．m＜0，M＜0平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理菁优版权所压轴题；平面向量及应用利用向量的数量积公式，可知只，其余析：数量积均小于等于0，从而可结论．解解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别答：为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其∵m、M分别为（++）?（++）的最小值、最余数量积均小于等于0，大值，∴m＜0，M＜0故选D．点本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的评：能力，分析出向量数量积的正负是关键．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2013?上海）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．考点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．菁············．·············网版权所空间位置关系与距离再A为平行四边形可B解法一证AB平行于平用直线和平面平行的判定定理证得直B析A的距离，设所求的距离即到平A再利用等体积法求的值的一个A建立空间直角坐标系解法二求出平可再根向量（的′AC′BC′平行于平面DAC．求出点B到平面D可得直线的距离．d=的值，即为直线BC′到平面D′AC距离，为长方体，故AB∥C′D′′解解：解法一：因为ABCD﹣A′B′CD′答：AB=C′D′，不在平面′∥AD′，显然BC′故ABC′D′为平行四边形，故BCAC内，D′AC．′平行于平面D′于是直线BC的距离，′ACB到平面D直线BC′到平面D′AC的距离即为点，h设为为底面，可得三棱ABC﹣ABC的体积，以考虑三棱锥D′△CAD′的底边AD′′而△ADC中，AC=D′C=，的体积为锥D′﹣ABCV==上′，AD=，故，的高为=，?′故△CAD的面积S=?△′CAD的距离AC′V=D到平面′BC，即直线h=?=所以，．为所在的直线为C′D所在的直线为AD解法二：以′′x轴，以′′y轴，以DDz轴，所在的直线为建立空间直角坐标系．，B、（0（、121，，）C），，（则由题意可得，点A101，，（C），21、′020．），，0（D）、′00，，u=的一个法向量为ACD设平面′（⊥，）w，v则由············．·············．⊥，可得，，解得，2，1），∴0=（1，0，1），=（∵．2）．，v=1，可得u=2w=﹣2，可得=D′平行于平面′AC．D（2，1，﹣令﹣1），∴=﹣0，故有⊥．=由于（﹣1，0，再由BC′不在平面′AC内，可得直线BC的距离D′AC到平面1由于=（，0，0），可得点B，==d=′DAC的距离为．故直线BC′到平面本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，利用点向量法证明直线和平面平行，求直线到平面的距离的方评：法，体现了转化的数学思想，属于中档题．小时的速度匀速生（分）2013?上海）甲厂以千克/x．20（14，每小时可获得的利润）≤≤x10产某种产品（生产条件要求15x+1﹣）元．是100（元，求30001（）要使生产该产品2小时获得的利润不低于x的取值范围；千克该产品获得的利润最大，问：甲厂9002）要使生产（应该选取何种生产速度？并求此最大利润．菁优网版权所有考函数模型的选择与应用．点：专应用题．题：小时获得的利润，建立不等式，分（）求出生产该产品21即可求x的取值范围；析：千克该产品获得的利润函数，利用）确定生产（2900配方法，可求最大利润．解）100小时获得的利润为生产该产品）1解：（25x+1﹣（答：············．·············）2=200（5x+1﹣×20≥﹣3﹣）≥3000，即5x﹣14x根据题意，200（5x+1﹣x∴x≥3或≤；，∴3≤x≤10∵1≤x≤10千克该产品获得的利900（2）设利润为y元，则生产×5x+1（﹣）润为y=1004]=90000（）=9×10[+取得最大利润为=457500∵1≤x≤10，∴x=6时，元小时的速度生产，可获得最大利润故甲厂应以6/千克元．为457500本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的点最值，确定函数的模型是关键．评：，其）ω）=2sin（x上海）已知函数．21（14分）（2013?f（x0＞中常数ω的取值范ω]上单调递增，求[（1）若y=f（x）在﹣，围；个单位，）的图象向左平移y=f（2）令ω=2，将函数（x，y=g再向上平移1个单位，得到函数（x）的图象，区间[a上至少含有，b]y=g（x）在[abRab]（，b∈，且a＜）满足：的最中，求ab﹣[a30个零点．在所有满足上述条件的，b]小值．正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数考y=Asin点：（ωx+菁优网版权所有φ）的图象变换．专三角函数的图像与性质．题：分ω上单调递增，且xy=f1（）已知函数（）在，利用正弦函数的单调性可得，＞0且，············．，即可解出零点的坐标，=0g（x）=2．析：·············解出即可上加下即可得利用变换法左加右减，令b和最小，则aa可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣*个2m+1∈N）恰有[a，mπ+a]（m都是零点，此时在区间个零点，从而29π+a]是恰有零点，所以在区间[a，14满a，b+a在区间（14π，b]至少有一个零点，即可得到﹣a的最小值．足的条件．进一步即可得出b解上单调递增，且x）在）∵函数y=f）的图象向左平移x（x）个单位，得到1个单位，再向上平移，x=）令g（x）（k∈Z．=0，得，或或∴相邻两个零点之间（（解：1答：0，ω＞=2sin2x，∴把y=f（（2）f，（y=gx）=∴函数，∴，且解得．的距离为．，，π+a]此时在区间a最小，则和b都是零点，[a﹣若ba*，，5…）分别恰有（，，，[a2π+a]…，[amπ+a]m∈N3，2m+1个零点，个零点，从而在区间，所以在区间[a14π+a]是恰有29，b]至少有一个零点，+a14（π．∴恰有30个零点，另一方面，在区间ab因此﹣的最小值为．本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题评：的能力、推理能力和计算能力．············．·············：C，2013?上海）如图，已知双曲线22．（16分）（1曲线C：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线2与C，C都有公共点，则称P为“C﹣C型点”2121（1）在正确证明C的左焦点是“C﹣C型点“时，要使用一条211过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C有公共点，求证|k|＞1，进而证明原2点不是“C﹣C型点”；2122（3）求证：圆x+y=内的点都不是“C﹣C型点”21考直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线点：的简单性质．菁优网版权所有专压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），析：当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C﹣C21型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C有公共点联立方程组有实数解得2到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C和C有公共点；21（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C无公共点，内的点且斜率为k的直线与C有公共点，再由圆2心到直线的距离小于半径列当|k|＞1时，过圆2式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．············．·············，写出的直线方程的左焦点为）解：1答：以是以下形式：．或，其中C有公共点，y=kx（2）证明：因为直线与2，得|kx|=|x|+1所以方程组有实数解，因此．CC﹣C型点”，则存在过原点的直线与C、若原点是“2112都有公共点．）．（|k|＞1有公共点的直线考虑过原点与Cx=0或y=kx2C无公共点．显然直线x=0与1，得，则由方程组＞1）如果直线为y=kx（|k|原点不是“C﹣C型点”21，矛盾．也无公共点．＞所以直线y=kx（|k|1）与C1．因此，设有Q，取圆O内的一点（3）证明：记圆O：轴l不与x与lC，C都有公共点，显然经过Q的直线21垂直，．y=kx+b故可设l：1x与y=﹣±O若|k|≤1，由于圆夹在两组平行线y=x±1之间，±11之间，因此圆O也夹在直线y=kx±与y=﹣kx无公共点，矛盾，与C从而过Q且以k为斜率的直线l2．所以|k|＞1有实数解，Cl与由公共点，所以方程组因为1222．2=04kbxx﹣﹣2b﹣2k得（1﹣）2，≠02k，所以因为|k|＞11﹣2222﹣b2﹣）=8（+12b）﹣（﹣4kb=因此△（）412k（﹣2，≥2k）0222k≥b即﹣．1············．·············的距离，，0）到直线l0因为圆O的圆心（2|k|k所以，从而＜1，与，得＞1矛盾．．型点因此，圆”内的点不是“C﹣C21本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的点距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥评：曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题最值问题、主要涉及位置关系的判定，弦长问题、出现，对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．）（x?上海）给定常数c＞0，定义函数f23．（18分）（2013*．a），n∈N…﹣|x+c|．数列a，a，a，满足a=f（=2|x+c+4|n32n+112，求a及a