总体均数的估计与假设检验综述

本资料来源

第三章总体均数的估计和假设检验第一节均数的抽样误差与标准误

1.均数的抽样误差与样本均数的分布：（1）均数的抽样误差是指样本均数与总体均数之间的差异以及来自同一总体的样本均数之间的差异。

例3-1若某市1999年18岁男生身高服从均数为167.7cm，标准差为5.3cm的正态分布。从该正态分布N(167.7,5.32)cm总体中随机抽样100次即共抽取样本g=100个，，每次样本含量=10人，得到每个样本均数及标准差如图3-1和表3-1所示。167.412.74165.566.57168.205.36165.695.09……100个n＝10图3－11999年某市18岁男生身高X～N(167.7,5.32)抽样示意图－表3-1资料

组段频数频率（％）累计频数累计频率（％）

163～1111164～334416519193636167～22225858168～20207878169449696172～339999172/p>

合计100100————随机抽样所得100个样本均数的频数分布图3－2从正态分布总体X～N(167.7,5.32)

随机抽样所得样本均数分布平均身高（cm)16316416516616716816917017117217325–20–15–10–5–0样本数

（2）样本均数的分布：如果总体中的观察值的分布为正态分布，则样本均数的分布也是正态分布。如果总体中的观察值的分布为非正态分布，只要样本例数足够大（n>60），则均数的分布仍近似正态分布。2.均数的标准误（standarderrorofmean）:(1)意义:

均数的标准误简称标准误,是指样本均数的标准差，衡量样本均数的离散程度。

(2)标准误的计算：或

(3)标准误与标准差及n的关系:

n大小；S小小。

思考：如何降低均数的抽样误差？(4)标准误的应用：①衡量均数的抽样误差②衡量样本均数的可靠性③估计总体均数的可信区间④均数的假设检验。思考：如何区别标准差和标准误？3.标准误与标准差之间的区别与联系：标准误标准差说明的离散度，说明x

的离散度，衡量抽样误差，衡量个体差异，表示的可靠性，表示的代表性，

n大，小，n大，s趋于稳定，估计μ的可信区间，估计参考值范围，均数的假设检验。计算CV和。联系n不变时，s越大，越大。区别第二二节节t分布布一、、t分布布的的概概念念t值的的公公式式为为:从同同一一总总体体中中抽抽取取若若干干n相同同的的样样本本，，并并求求出出样本本均均数数，，再再代代入入t值公公式式求求得得若若干干个个t值,将t值看成成观观察察值值，，其其分分布布称称为为t分布布。。u分布布:t分布布：：t值为为样样本本均均数数与与总总体体均均数数之之差差与与样样本本标标准准误误的的比比值值重要要概概念念：：自由由度度用用υ表示示，，指指计计算算某某一一统统计计量量时时变变量量取值值不不受受限限制制的的个个数数。。一般般情情况况下下：：υ＝n–mn为计计算算某某一一统统计计量量时时用用到到的的数数据据个个数数，，m为计计算算该该统统计计量量时时用用到到的的其其他他独独立立统统计计量量个个数数，，或者者计计算算该该统统计计量量时时受受到到限限制制的的条条件件数数。。“υ””为小小写写希希腊腊字字母母读读作作［［nju:］自由由度度t分布布的的用用途途1.小样样本本时时总总体体均均数数的的估估计计，，2.均数数比比较较时时的的假假设设检检验验，，3.相关关系系数数的的假假设设检检验验。。二、、t分布布的的特特征征：(1)单峰峰；；(2)t值有有正正有有负负，，均均数数为为0；(3)以0为中中心心左左右右对对称称；；(4)一簇簇曲曲线线，，每每个个自自由由度度为为一一条条曲曲线线；；(5)自由由度度越越小小，，峰峰越越矮矮，，尾尾越越翘翘，，随随着着自自由由度度增增加加，，t分布布曲曲线线逐逐渐渐逼逼近近标标准准正正态态分分布布曲曲线线；；(6)当自自由由度度为为无无穷穷大大时时，，t分布布曲曲线线和和标标准准正正态态分分布布曲曲线线完完全全吻吻合合。。

f(t)

=∞(标准正态曲线)

=5

=10.10.2-4-3-2-1012340.3自由由度度分分别别为为1、5、∞∞时时的的t分布布三、、t分布布的的图图形形(四、、t分布布曲曲线线下下的的面面积积分分布布t界值值表表：：见见附附表表2（804页））。。左侧侧为为自自由由度度，，从从1～∞；；上方方为为概概率率，，指指曲曲线线下下尾尾部部面面积积，，分分为为单单侧侧和和双双侧侧（（单单尾尾和和双双尾尾））；；中间间为为t值的的绝绝对对值值，，即即图图形形中中横横坐坐标标的的位位置置。。单侧侧t界值值的的表表示示方方法法：：双侧侧t界值值的的表表示示方方法法：：－t0tt值表表示示意意图图同一一自自由由度度时时，，P值越越小小t值越越大大；；同一一P值时时，，自自由由度度越越大大t值越越小小；；自由由度度＝＝∞时，，t值＝＝u值；；当自自由由度度＝＝10，单单侧侧曲曲线线下下面面积积概概率率为为0.05时，，t值在在横横坐坐标标上上的的位位置置是是1.812。或者者理理解解为为：：在在上上述述条条件件下下进进行行抽抽样样研研究究，，95％的的t值应应小小于于1.812，大大于于和和等等于于1.812者仅仅有有5％。。的含含义义为为：：的含含义义？？01.8125％02.2282.5％－1.812－2.22812第三三节节总总体体均均数数(μ)的估估计计一、、可信信区区间间的的概概念念用样样本本指指标标估估计计总总体体指指标标称称为为参参数数估估计计，，方方法法有有点点值值估估计计和和区区间间估估计计两两种种。。μ的点点值值估估计计：：将样样本本均均数数作作为为μ的估估计计值值，，由由于于抽抽样样误误差差的的存存在在，，所所以以μ的点点值值估估计计准准确确度度较较低低。。μ的区间间估估计计：考虑虑抽抽样样误误差差并并按按一一定定的的可可信信度度计计算算包包含含μ在内内的的一一个个范范围围，，称称为为区间间估估计计，该该范范围围称称为为可信信区区间间，常常用用双双侧侧95％。。可信信限限是是指指两两个个界界值值二、、总总体体均均数数可可信信区区间间的的计计算算1.单一一总总体体均均数数的的可可信信区区间间（1）σ未知知，，n≤60，按按t分布布。。双侧侧1－α可信信区区间间(95%,)单侧侧1－α可信信区区间间或例3-2在例例3-1中抽抽得得第第15号样样本本的的均均数数(cm)，标标准准差差(cm)，试试求求其总总体体均均数数的的95%可信信区区间间。。故该该地地18岁男男生生身身高高均均数数的的95％可信信区区间间为为（（164.35，169.55）(cm)。例：：随随机机检检查查了了20名慢慢性性胃胃炎炎脾脾虚虚男男病病人人，，其其脉脉搏搏均均数数为为74.3次/分,标准准差差为为6.4次/分，，试试估估计计该该类类病病人人脉脉搏搏总总体体均均数数的的95％可可信信区区间间。。本例例n=20,ν=19,t0.05/2,19=2.093,95%可信信区区为为：：（74.3-2.093××6.4/，74.3＋2.093××6.4/）即(71.3次/分,77.3次/分)。(2)σ未知知，，n>60，按按u分布布。。双侧侧1－α可信信区区间间单侧侧1－α可信信区区间间或例:随机机检检查查140例成成年年男男子子的的红红细细胞胞数数得得：：试估估计计该该地地成成年年男男子子红红细细胞胞数数95％可可信信区区间间。。（4.79－1.96××0.42/,4.79+1.96××0.42/）=(4.72××,4.86××)例3-3某地地抽抽得得正正常常成成人人200名，，测测得得其其血血清清胆胆固固醇的的均均数数为为3.64mmol/L，标标准准差差为为1.20mmol/L，试估估计计该该地地正正常常成成人人血血清清胆胆固固醇醇均均数数的的95%可信信区间间。。故该该地地正正常常成成人人血血清清胆胆固固醇醇均均数数的的95%可信信区间间为为（（3.47，3.91）mmol/L。(3)σ已知知，，按按u分布布双侧侧1－α可信信区区间间单侧侧1－α可信信区区间间或2.两总总体体均均数数之之差差的的可可信信区区间间双侧侧1－α可信信区区间间单侧侧1－α可信信区区间间或为两均数之差差标准误，计计算公式：为合并方差当两样本含量量均大于60，可用u值代替t值进行估计，也也可可用以下公式式计算：例3-4为了解甲氨蝶蝶呤(MTX)对外周血IL-2水平的影响，某某医生将61名哮喘患者随随机分为两组组。其中对照组29例()，采用安慰剂剂；试验组32例()，采用小剂量量甲氨蝶呤(MTX)进行治疗。测得对照组治治疗前IL-2的均数为20.10IU/ml()，标准差为7.02IU/ml()；试验组治疗疗前IL-2的均数为16.89IU/ml()，标准差为8.46IU/ml()。问两组治疗疗前基线的IL-2总体均数相差差有多大？故两组治疗前前基线的IL-2总体均数之差差的95％可信区间为为（－0.79，7.21）IU/ml。三、可信区间间的确切含义义和两个要素素如果能够进行行重复抽样试试验，平均有有1－α的可信区间包包含了总体参参数，而不是是总体参数落落在该范围的可可能性为1－α。可信区间的两个要素：(1)准确度：包含含总体参数的的概率大小；；(2)精密度：可信信区间的长度度。注意准确度和和精密度的关关系增加样本含量量可提高精密密度四、总体均数数可信区间与与参考值范围围的区别；可信区间参参考值范围含义计算用途（双侧大样本本）（95％）估计总体均数数判断个体指标标正常与否是指包含μ在内的范围，或样本本均数的分布范围。。是指正常人某某指标（观察察值）的波动动范围。第四节假假设检验(hypothesistest)例3-5某医生测量了了36名从事铅作业业男性工人的血红蛋白含含量，算得其其均数为130.83g/L，标准差为25.74g/L。问从事铅作作业工人的血血红蛋白是否否不同于正常成成年男性平均均值140g/L？已知总体未知总体≠？图3－4例3－5示意图一、假设检验验的概念：先对总体参数数或分布作出出某种假设，，然后用适当的方法计计算检验统计计量，根据该该检验统计量量的分布理论，，推断假假设是否拒绝。二、假设检验验的种类：根据检验目的的分为：差别性检验、方差齐性检验验、拟合优度检验验、正态性检检验、均衡性性检验等。根据检验统计计量命名分为为：三、假设检验验的意义:通过对事物数量差异的比较分析，，判断事物间有无质量区别。四、假设检验验的基本思想想：小概率反证法法思想。五、假设设检验的一般般步骤以例3-5为例，说明假假设检验的一一般步骤：建立假设，确确定检验检验验水准：（1）检验假设H0：μ=μ0，（2）备择假设H1：μ≠μ0，双侧检验。。注意：①针对总体体；②相互联系、、相互对立，，缺一不可；；③情况不同假假设不同；④单、双侧检检验时H1不同。单、双侧检验验两个指标比较时,从专业角度考虑：如果甲指标大大于乙指标或或甲指标小于于乙指标都可能发生则则为双侧检验；如果甲指标不不可能大于（（或小于）乙乙指标,只需检验是否小小于（或大于于）乙指标则则为单侧检验。表3－3样本均数（代代表未知））与已已知总体均数数比比较的t检验目的双侧检验是是否单侧检验是否是否检验水准符号号为α，它是人为规规定的小概率率事件的判断标标准，即H0拒绝与否的概概率界限，或或犯第一类错误误的概率，一一般取0.05。2.选定检验方法法，计算检验验统计量：检验方法的选选择依据有：：资料类型、、设计方案、检验目的的、样本大小小、分布类型型、方差齐性性以及检验方法法的适用条件件等等。本例选择单样样本t检验：（为什么？）（3）检验水准3.确定P值，作出推断断和结论：P值的大小根据据检验统计量量的理论界值值表查得。本例自由度ν＝35，查t值表得t0.05/2,35=2.030，t0.02/2,35=2.438，2.030<2.138<2.438，故0.02<P<0.05。当P>α时，无统计学学意义，不拒拒绝H0；P≤α时，有统计学学意义，拒绝绝H0，接受H1。本例P<0.05,即P<α，故拒绝H0,接受H1。结论：可以认认为从事铅作作业的男性工工人平均血红红蛋白含量低低于正常男性性。第五节t检验一、单样本t检验（样本均数与与总体均数比比较）二、配对样本本t检验（配对设计比比较）三、两样本t检验（成组比较））四、几何均数比较较的t检验先将观察值进进行对数变换换，再用上述述均数比较的方法进行检检验。（52页）五、t检验的条件：1.小样本资料；；2.正态分布资料料；3.组间比较时要要求总体方差差相等。六、u检验（48页）：当n>60，t分布接近u分布，或者已知总体体标准差（σ）时均可采用用u检验。一、样本均数数与总体均数数比较1.总体标准差已已知：2.总体标准差未未知，样本较较大（n>60）：3.总体标准差未未知，样本较较小（例3－5）二、配对对设计资料的的t检验配对设计包括异体配对对和同体配对对两种。异体配对是将将两个条件相相近的对象配配成一对，然后随机化地地接受两种处处理；模式：甲组……乙组……随机同体配对是对同一观察察对象分别接接受两种处理理后的结果进进行比较，又又称自身配对对，包括：①在两个部位位用两种不同同方法处理后后进行比较；；②先后用两种种方法处理后后进行比较；；③同一对象的的检测标本用用两种方法检检测；④同一对象接受受一种处理前前后比较等。。关于一种处理理前后的比较较是一种特殊殊的同体配对对设计，又可称为前后后测量设计，，见第十二章章，262页。配对t检验步骤如下下:(设定d为正态分布)补充例子：1：H0:=0;H1:>0，单侧检验，，α=0.05，单侧。2：计算t值：三棱莪术液抑抑瘤实验的结结果对子数对对照组注注射药液液组差差值（（））13.63.00.60.3624.52.32.24.8434.22.41.83.2444.41.13.310.8953.74.0-0.30.0965.63.71.93.6177.02.74.318.4984.11.92.24.8495.02.62.45.75104.51.33.210.24合计------21.662.363.确定P值，作作出判判断和和结论论：计算自自由度度=10－1=9，查t值表得得单侧侧因5.167>1.833，故P<0.05。按=0.05水准，，拒绝绝H0，接受受H1。可以以认为为三棱莪莪术液液有抑抑瘤作作用。。例3-6为比较较两种种方法法对乳乳酸饮饮料中中脂肪肪含量量测定结结果是是否不不同，，随机机抽取取了10份乳酸酸饮料料制品，分分别用用脂肪肪酸水水解法法和哥哥特里里－罗罗紫法法测定定其结果果如表表3-5第(1)~(3)栏。问问两法法测定定结果果是否否不同？？编号哥哥特里里－罗罗紫法法脂脂肪酸酸水解解法差差值值d(1)(2)(3)(4)=(2)(3)10.8400.5800.26020.5910.5090.08230.6740.5000.17440.6320.3160.31650.6870.3370.35060.9780.5170.46170.7500.4540.29680.7300.5120.21891.2000.9970.203100.8700.5060.3642.724表3-5两种方方法对对乳酸酸饮料料中脂脂肪含含量测测定结结果（1）建立立检验验假设设，确确定检检验水水准H0:=0;H1:≠0，α=0.05，双侧侧检验验。（2）计算算检验验统计计量：：（3）确定P值，作作出判判断和和结论论：查t值表得得：：按α=0.05水准拒拒绝H0，接受H1，可以以认为为两种种方法法对脂脂肪含含量的的测定定结果果不同同，哥哥特里里-罗紫法法的测测定结结果高高于脂脂肪酸酸水解解法。。100例随机化化甲组乙组…………分为两两组的的简化化模式式完全随随机设设计：三、完完全随随机设设计两两小样样本均均数比比较本设计计是单单因素素两水水平或或多水水平的的实验验设计类型型。它它是将将受试试对象象完全全按随随机原原则分分配到到各处理理组，，试验验结束束后比比较各各组均均数（（或率率）之之间的差差别有有无统统计学学意义义，推推论处处理因因素的的效应应。因素视视为分分组，，水平平即为为组数数。1.总体方方差相相等（且呈正正态分分布）两小样样本均均数比比较表3－6试验组组和对对照组组空腹腹血糖糖下降降值（（mmol/L）试验组组X1－0.70－5.602.002.800.703.504.005.857.10－0.50n1=202.50－1.601.703.000.404.504.602.506.00－1.40对照组组X23.706.505.005.200.800.200.603.406.60－1.10n2=206.003.802.001.602.002.201.203.101.70－2.00例3-7为研究究国产产四类类新药药阿卡卡波糖糖胶囊囊的降降血糖糖效果果，某某医院院用40名2型糖尿尿病病病人进进行同同期随随机对对照试试验。。试验验者将将这些些病人人随机机等分分到试试验组组(用阿卡卡波糖糖胶囊囊)和对照照组(用拜糖糖平胶胶囊)，分别别测得得试验验开始始前和和8周后的的空腹腹血糖糖，算算得空空腹血血糖下下降值值见表表3-6，能否否认为为该国国产四四类新新药阿阿卡波波糖胶胶囊与与拜糖糖平胶胶囊对对空腹腹血糖糖的降降糖效效果不不同？？(1)H0:μ1=μ2;H1:μ1≠μ2,α=0.05，双侧侧检验验。(2)求t值：本例n1=20，，，S1=3.0601;n2=20,，S2=2.4205。代入公公式，，最终终求得得t=0.642(3)确定P值,判断结结论：：本例自自由度度为38，查t值表双双侧得得t0.5/2,38=0.681。0.642<0.681，P>0.50。按α=0.05水准不不拒绝绝H0，无统统计学学意义义，还还不能能认为为两组组降血血糖效效果不不同。。两大样样本均均数比比较：：当两样样本较较大，，如均均大于于60，可按按正态态分布布原理理采用用u检验。。2.方差不不齐时时的Cochran&Cox近似t检验统计量量界值说明：（1）检检验验是在方差差不齐时需需对t值的界值作校正的检检验方法，，（2）当n1=n2时，可用t检验代替检检验，但是是查t值表时自由由度应改用用（n-1）。（3）当n1=n2都较大时，，可直接用用t检验或u检验。当n1=n2时，公公式变为：当n1=n2时，例3-8在上述例3-7国产四类新新药阿卡波波糖胶囊的降血糖效效果研究中中，测得用用拜糖平胶胶囊的对照照组20例病人和用用阿卡波糖糖胶囊的试试验组20例病人，其其8周时糖化血血红蛋白HbA1c(%)下降值如表表3-7。问用两种不同同药物的病病人其HbA1c下降值是否否不同？分组n对照组201.461.36试验组201.130.70表3-7对照组和试试验组HbA1c下降值(%)（1）建立检验验假设，确确定检验水水准H0:μ1=μ2;H1:μ1≠μ2,α=0.05，双侧检验验。（2）计算检验验统计量：：(3)确定P值,判断结论：：本例n1=n2，故直接取取自由度为为19，查t值表双侧得得t0.05/2,19=2.093。0.965<2.093，P>0.05。按α=0.05水准不拒绝绝H0，无统计学学意义，还还不能认为为两组病人人的HbA1c下降值不同。3.方差不齐时时的Satterthwaite近似t检验（略））4.方差不齐时时的Welch近似t检验（略））以上两种方方法是对自由度进行行校正的近似t检验。第六节假假设设检验的注注意事项一、Ⅰ型错误和Ⅱ型错误由于假设检检验结果的的判断是采采用小概率率原理，在某个个α水准上作出出的，具有有概率性质质，因此结果的判判断不可能能绝对准确确。将拒绝假设设时所犯错错误称为Ⅰ型错误，用α表示；将接受假设设时所犯错错误称为Ⅱ型错误，用β表示。两类错误的的关系：α小β大；α大β小。两类错误的的控制：差别性检验验:减少α控制Ⅰ型错误。方差齐性检检验、拟合合优度检验验、正态性性检验、均衡性检验验等需要控控制Ⅱ型错误，应应加大α，一般取0.10或0.20。增大样本含含量可同时时减少两型型错误。（1－β）称为检验验效能，其其意义为，，如果两总总体确有差异，，按α水准所能发发现该差异异的能力。。αβ成立1－α1－β图3－6Ⅰ型错误和Ⅱ型错误示意意图(以单侧u检验为例)界值成立表3－8可能发生的的两类错误误假设检验的的结果拒绝““接受受”成立Ⅰ型错误（α）推断正确（1－α）成立推推断正正确（1－β）Ⅱ型错误（β）客观实际二、假假设检验中中应注意的的问题注意假设检检验的前提提：可比性性。注意正确选选择检验方方法检验方法的的选择依据据有：资料料类型、设设计方案、检验目目的、样本本大小、分分布类型、、方差齐性性以及检验方方法的适用用条件等等等。3.注意合理确确定单、双双侧检验：：单、双侧的的确定完全全取决于专专业知识，，用于两个指标标比较的t检验u检验。单侧侧检验更容容易拒绝H0。4.注意科学地地解释假设设检验的结结论：(1)假设检验的的结论并非非绝对正确确。(2)P值大小不代代表差别大大小。(3)注意差别大大小有无专专业上的实实际意义。。6.影响假设检检验结论的的因素：（1）差别大小小、（2）个体差异异大小、（（3）n大小、（4）单、双侧检检验、（5）检验水准准等。7.注意可信区区间与假设设检验的区区别和联系系（1）可信区间间是推断包包含总体均均数的范围围，假设检检验是推断断两总体均均数是否不不等。（2）可信区间间与假设检检验的结论论一致例3－5资料从事铅作业业工人血红红蛋白总体体均数的95％可信区间间为（122.12，139.54）不包括正正常成年男男性血红蛋蛋白总体均均数140g/L,故可认为，，从事铅作作业工人血血红蛋白平平均含量低于正常成成年男性血血红蛋白。。（3）可信区间间计算应预预先规定概概率，假设设检验则可可获得较为为确切的概概率。（4）可信区间间比与假设设检验能提提供更多的的信息H01图3－7可信区间在在统计推断断上提供的的信息有实际专业业意义的值65432第七节正正态性性检验检验验与方差齐齐性检验一、正态性性检验1.图示法（1）概率图（（P-P图）图3－8（1）分位数图图（Q-Q图）图3－92.计算法（1）矩法（2）W检验法（3）W’检验法（3）D检验法偏度系数（（coefficientofskewness）偏度是指分分布不对称称的程度和和方向。矩法检验峰度系数（（coefficientofkurtosis）峰度是指与与正态分布布相比峰的的冒尖或扁扁平程度。。在理想状态态下，对称分布，大于0为正偏态，小于0为负偏态；；对称分布，大于0为尖峭峰，小于0为平阔峰。。－u检验偏度系数标标准误峰度系数标标准误例3－9对模拟随机机抽样所得得100个样本均数数进行正态态性检验：：本例求得：：经查表，，两两者者u值均小于于0.684，故P大于0.50，不拒绝绝H0,还不能认认为该资资料不服服从正态态分布。。二、两组组方差齐齐性检验验采用F检验，F值计算公公式如下下：如果经检检验方差差齐性，，则可采采用t检验，否否则应采采用检检验、秩和检验验或采用用变量变变换的法法。F分布:（1）定义义公式：：、分分别为为两个相相互独立立的随机机变量，，、分分别为它它们的自自由度。。分母自由由度为10，分子自自由度(m)分别为4、10、50、时Ｆ分布布密度函函数图形形f(F)F（2）分布曲曲线：F分布为一一簇单峰峰正偏态态分布曲曲线，取取决于分分子和分分母两个个自由度度。分子自由由度为10，分母自自由度(n)分别为4、10、50、时Ｆ分布布密度函函数的图图形f(F)F（3）实际分分析时F值的计算算：（4）F分布与t分布、u分布的关关系为：：（5）F分布曲线线下的面面积分布布附表3F界值表（（806页）等。、MS为平均方方差例3－10对例3－7资料作方方差齐性性检验，，，查F界值表得得，，1.598<2.15,故P大于0.10，不拒绝绝H0,还不能认认为两组组总体方方差不等等。（故故该资料料可采用用t检验）注意：例3－11对例3－8资料作方方差齐性性检验查F界值表得得，，3.775>2.15,故P小于0.10，拒绝H0,接受H1可以认为为两组总总体方差不等等。（（故该资资料应采采用检检验），，，，,三、变量变换换1.变量变换换的意义义：变量变换换是指将将原变量量（原始始数据））变换成某种函函数值，，达到正正态分布布、方差差齐性、、曲线的直线化化等目的的，以满满足分析析方法对对资料的的要求。。常用的变变量变换换方法有有对数变变换、平平方根变换、倒倒数变换换、平方方根反正正弦变换等。2.变量变换换的方法法：（1）对数数变换：：用于：正态化变变换－对数正态态分布资资料。方差齐性性变换－标准差与与均数成成比例或或变异系系数接近近某常数数时的方方差不齐齐资料。。直线化变变换－曲线关系系资料。。（2）平方方根变换换：或用于：正态化变变换－泊松分布布资料、、轻度偏偏态资料料。方差齐性性变换－方差与均均数呈正正比关系系时的方差不齐齐资料。。（3）平方根根反正弦弦变换：：（1）用角度度表示：：（2）用弧度度表示：：用于观察察值为百百分数且且分布较较偏的资资料，特特别是百百分数离离散度大大的资料料，可使使资料接接近正态态分布，，并达到到方差齐齐性要求求。（3）倒数变变换：用于数据据两端波波动较大大的资料料，减少少极端值值的影响响。9、静静夜夜四四无无邻邻，，荒荒居居旧旧业业贫贫。。。。12月月-2212月月-22Wednesday,December28,202210、雨中黄叶树树，灯下白头头人。。21:10:3821:10:3821:1012/28/20229:10:38PM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。12月月-2221:10:3821:10Dec-2228-Dec-2212、故人江江海别，，几度隔隔山川。。。21:10:3821:10:3821:10Wednesday,December28,202213、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。12月月-2212月月-2221:10:3821:10:38December28,202214、他乡生生白发，，旧国见见青山。。。28十十二月20229:10:38下午午21:10:3812月-2215、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。十二月229:10下下午12月-2221:10December28,202216、行动动出成成果，，工作作出财财富。。。2022/12/2821:10:3821:10:3828December202217、做