安徽省宿州市高二数学上学期期末试卷文(含解析)

一、选择题（每题5分，共50分）1．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．2B．2C．4D．42．（5分）“x＞3”的一个必需不充分条件是（）A．x＞4B．x＜4C．x＞2D．x＜23．（5分）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A．B．C．D．4．（5分）设m为直线，α、β、γ为三个不一样的平面，以下说法正确的选项是（）A．若m∥α，α⊥β，则m⊥βB．若m?α，α∥β，则m∥βC．若m⊥α，α⊥β，则m∥βD．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ5．（5分）已知原命题：若a+b＞2，则a，b最少有一个大于1，那么原命题与其抗命题的真假状况是（）A．原命题真，抗命题假B．原命题假，抗命题真C．原命题与抗命题均为真命题D．原命题与抗命题均为假命题6．（5分）已知直线l：x+my+6=0与直线l：（m﹣2）x+3y+2m=0垂直，则实数m的值为（）12A．﹣1B．C．3D．27．（5分）抛物线y2=12x被直线x﹣y﹣3=0截得弦长的值为（）A．21B．16C．24D．308．（5分）曲线y=exlnx在x=1处的切线方程是（）A．y=2e（x﹣1）B．y=ex﹣1C．y=x﹣eD．y=e（x﹣1）9．（5分）函数f（x）=lnx﹣x的单调减区间为（）A．（﹣∞，0），（1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，1）10．（5分）定义在R上的函数f（x）=sinx+2xf′（），f′（x）为f（x）的导函数，令a=﹣，b=log32，则以下关系正确的选项是（）A．f（a）+f（b）＜0B．f（﹣a）+f（b）＞0C．f（a）+f（﹣b）＜0D．f（﹣a）+f（﹣b）＜0二、填空题（每题5分，共25分）11．（5分）已知命题p：存在n∈N，使得2n＞1000，则p的否定为．12．（5分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．13．（5分）椭圆=1的离心率为，则实数k的值为．14．（5分）函数y=﹣在x=1处的导数为．15．（5分）已知曲线C：（t2﹣1）x2+t2y2=t4﹣t2（t≠0，t≠±1）以下结论正确的选项是（写出全部正确结论的序号）①曲线C有可能是圆；②曲线C有可能是抛物线；③当t＜﹣1或t＞1，曲线C是椭圆；④若曲线C是双曲线，则0＜t＜1；⑤无论t为什么值，曲线C有同样的焦点．三、解答题16．（12分）已知p：a∈{a|对任意x∈R，不等式x2+ax+a＞0恒成立}，q：a∈{a|方程x2+ay2=a表示的是焦点在x轴上的椭圆}，假如命题“p且q”为假命题，命题“p或q”为真命题，务实数a的取值范围．17．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y=0，若过点P的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=4，求直线l的方程．222（Ⅰ）求抛物线C的方程（Ⅱ）过抛物线C的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=7，求线段到y轴的距离．

AB的中点

M19．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（Ⅰ）求a，b的值和函数f（x）的单调区间；220．（13分）已知多面体ABDEC中，底面△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，且EC，DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE=CA=2DB=2（Ⅰ）求证：DM∥平面ABC；（Ⅱ）求证：平面DEA⊥平面ECA；（Ⅲ）求此多面体ABDEC的体积．21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过点（1，）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆C的右焦点和上极点（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）点P为椭圆C上任意一点，求△PAB面积的最大值．安徽省宿州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题（每题5分，共50分）1．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化简双曲线方程为标准方程，求出a即可．解答：解：双曲线2x2﹣y2=8的标准方程为：，可得a=2，双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是：4．应选：D．评论：本题观察双曲线的简单性质的应用，基本知识的观察．2．（5分）“x＞3”的一个必需不充分条件是（）A．x＞4B．x＜4C．x＞2D．x＜2考点：必需条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简单逻辑．分析：依据充分条件和必需条件的定义进行判断即可．解答：解：x＞4是x＞3的充分不用要条件，x＜4是x＞3的既不充分也不用要条件，x＞2是x＞3的必需不充分条件，x＜2是x＜2的既不充分也不用要条件，应选：C评论：本题主要观察充分条件和必需条件的判断，比较基础．3．（5分）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：立体几何．分析：从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的地点应当在的方向，而后判断俯视图的正确图形．解答：解：由正视图可知去掉的长方体在正视野的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左边，由以上各视图的描述可知其俯视图吻合C选项．应选：C．评论：本题观察几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、等”的含义．4．（5分）设m为直线，α、β、γ为三个不一样的平面，以下说法正确的选项是（）

高平齐、宽相A．若m∥α，α⊥β，则m⊥βB．若m?α，α∥β，则m∥βC．若m⊥α，α⊥β，则m∥βD．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ考点：空间中直线与平面之间的地点关系；空间中直线与直线之间的地点关系．专题：空间地点关系与距离．分析：依据线面平行、面面平行、面面垂直等性质定理和判判定理对选项分别分析选择．解答：解：对于A，若m∥α，α⊥β，则m与β的地点关系不确立；故A错误；对于B，若m?α，α∥β，依据面面平行的性质定理可得m∥β；故B正确；对于C，若m⊥α，α⊥β，则m∥β也许m?β；故C错误；对于D，若α⊥β，α⊥γ，则β与γ可能订交；故D错误；应选B．评论：本题观察了线面平行、面面平行、面面垂直等性质定理和判判定理的运用．5．（5分）已知原命题：若a+b＞2，则a，b最少有一个大于1，那么原命题与其抗命题的真假状况是（）A．原命题真，抗命题假B．原命题假，抗命题真C．原命题与抗命题均为真命题D．原命题与抗命题均为假命题考点：四种命题间的逆否关系．专题：简单逻辑．分析：依据题意，写出逆否命题，据不等式的性质判断出逆否命题是真命题，因此原命题是真命题；写出抗命题，经过举反例，说明抗命题是假命题．解答：解：逆否命题为：a，b都不大于1，则a+b≤2是真命题因此原命题是真命题抗命题为：若a，b最少有一个大于1，则a+b＞2，比方，当a=2，b=﹣2时，满足条件，当a+b=2+（﹣2）=0，这与a+b＞2矛盾，故为假命题应选A评论：判断一个命题的真假问题，若原命题不好判断，据原命题与其逆否命题的真假一致，常转变成判断其逆否命题的真假12垂直，则实数m的值为（）6．（5分）已知直线l：x+my+6=0与直线l：（m﹣2）x+3y+2m=0A．﹣1B．C．3D．2考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：直接利用直线垂直的充要条件列出方程求解即可．解答：解：直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0垂直，又知直线l：（m﹣2）x+3y+2m=0的斜率存在，因此，2解得m=．应选：B．评论：本题观察直线的垂直的充要条件的应用，判断直线的斜率能否存在是解题的要点．7．（5分）抛物线y2=12x被直线x﹣y﹣3=0截得弦长的值为（）A．21B．16C．24D．30考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：函数的性质及应用．分析：直接把直线方程和抛物线方程联立，利用弦长公式求解．解答：解：直线方程为：x﹣y﹣3=0，假设两个交点（x1，y1）（x2，y2）由，得x2﹣18x+9=0，∴x1+x2=18，x1?x2=9，∴弦长等于?=×=24．应选：C．评论：本题观察了直线与圆锥曲线的关系，观察了弦长公式的应用，是中档题．8．（5分）曲线y=exlnx在x=1处的切线方程是（）A．y=2e（x﹣1）B．y=ex﹣1C．y=x﹣eD．y=e（x﹣1）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求导函数，切点切线的斜率，求出切点的坐标．，即可获得切线方程．解答：解：求曲线y=exlnx导函数，可得f′（x）=exlnx+f′（1）=e，∵f（1）=0，∴切点（1，0）．∴函数f（x）=exlnx在点（1，f（1））处的切线方程是：y﹣0=e（x﹣1），即y=e（x﹣1）应选：D．评论：本题观察导数的几何意义，观察学生的计算能力，属于基本知识的观察．9．（5分）函数f（x）=lnx﹣x的单调减区间为（）A．（﹣∞，0），（1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，0）D．0，1）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出函数f（x）的定义域与导函数，令导函数小于0，求出x的范围，即为f（x）的单调递减区间．解答：解：函数f（x）=lnx﹣x的定义域为x＞0，可得f′（x）=﹣1=令f′（x）＜0，得x＞1．∴函数f（x）=lnx﹣x的单调减区间是（1，+∞）应选：B．评论：求函数的单调区间，应当先求出函数的导函数，令导函数大于0获得函数的递加区间；令导函数小于0获得函数的递减区间．注意函数的定义域．10．（5分）定义在R上的函数f（x）=sinx+2xf′（），f′（x）为f（x）的导函数，令a=﹣，b=log32，则以下关系正确的选项是（）A．f（a）+f（b）＜0B．f（﹣a）+f（b）＞0C．f（a）+f（﹣b）＜0D．f（﹣a）+f（﹣b）＜0考点：导数的运算．专题：导数的看法及应用．分析：求出原函数的导函数，取x=求出f′（），代入原函数分析式后求出f（x），求导函数判断原函数的单调性，比较a与b的大小后运用单调性判断f（a）与f（b）的大小，再判断出函数的奇偶性，再判断各个选项．解答：解：由题意得，f（x）=sinx+2xf′（），则f′（x）=cosx+2f′（），令x=代入f′（x）得，f′（）=cos+2f′（），解得f′（）=，因此f（x）=sinx﹣x，由f′（x）=cosx﹣1≤0，获得f（x）为递减函数，因为a=﹣＜b=log32，则f（a）＞f（b），即f（a）﹣f（b）＞0①，或f（b）﹣f（a）＜0②，因为函数f（x）=sinx﹣x是奇函数，因此①等价于f（a）+f（﹣b）＞0，则C错误；②等价于f（﹣a）+f（b）＜0，则B错误；因为﹣a==＜b=log32，则f（﹣a）＞f（b），即f（﹣a）﹣f（b）＞0，因此f（﹣a）+f（﹣b）＞0，则D错误；由f（﹣a）+f（﹣b）＞0得﹣f（a）﹣f（b）＞0，即f（a）+f（b）＜0，则A正确；应选：A．评论：本题观察了导数的运算，函数的奇偶性的定义、性质，利用导函数判断一个函数的单调性，由单调性比较两个函数值的大小，观察转变思想，属于中档题．二、填空题（每题5分，共25分）nn11．（5分）已知命题p：存在n∈N，使得2＞1000，则p的否定为任意n∈N，都有2≤1000．考点：命题的否定．专题：简单逻辑．分析：利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．n解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，因此，命题p：存在n∈N，使得2＞1000，则p的否定为：任意n∈N，都有2n≤1000；故答案为：任意n∈N，都有2n≤1000．评论：本题观察命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的观察．12．（5分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间地点关系与距离．分析：解答：

经过球的表面积求出球的半径，而后求出球的体积解：一个球的表面积是16π，因此球的半径为：

2，因此这个球的体积为：

=

．故答案为：

．评论：本题是基础题，观察球的表面积、体积的计算，观察计算能力，公式的应用．13．（5分）椭圆=1的离心率为，则实数k的值为3或．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分类谈论，利用椭圆的离心率公式，即可求出k的值．解答：解：k＞4，则，∴k=；0＜k＜4时，则=，∴k=3，故答案为：3或．评论：本题观察椭圆的简单性质，观察离心率是计算，观察分类谈论的数学思想，比较基础．14．（5分）函数y=﹣在x=1处的导数为．考点：导数的运算．专题：导数的看法及应用．分析：依据求导公式和复合函数的求导法规求函数的导数，再把x=1代入求值即可．解答：解：由题意得，y=﹣=﹣，因此y′=﹣=2x×=，则函数在x=1处的导数为=，故答案为：

．评论：本题观察求导公式和复合函数的求导法规，属于基础题．22224215．（5分）已知曲线C：（t﹣1）x+ty=t﹣t（t≠0，t≠±1）以下结论正确的选项是③⑤

（写出全部正确结论的序号）①曲线C有可能是圆；②曲线C有可能是抛物线；③当t＜﹣1或t＞1，曲线C是椭圆；④若曲线C是双曲线，则0＜t＜1；⑤无论t为什么值，曲线C有同样的焦点．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将曲线C化为标准方程，对分母考虑，因为22t≠t﹣1，则曲线C不表示圆，即可判断①；因为t2≠0，t2﹣1≠0，即可判断②；若为椭圆，则有t2＞0，且t2﹣1＞0，解不等式即可判断③；若曲线C表示双曲线，则t2＞0且t2﹣1＜0，解不等式即可判断④；分别谈论椭圆方程和双曲线方程，求得焦点，即可判断⑤．解答：解：曲线222242C：（t﹣1）x+ty=t﹣t（t≠0，t≠±1），即为+=1，对于①，因为t22≠t﹣1，则曲线C不表示圆，则①错；对于②，因为t2≠0，t2﹣1≠0，则曲线C不行能表示抛物线，则②错；对于③，若为椭圆，则有t2＞0，且t2﹣1＞0，解得t＞1或t＜﹣1，则③对；对于④，若曲线C表示双曲线，则t2＞0且t2﹣1＜0，解得﹣1＜t＜0或0＜t＜1，则④错；对于⑤，若曲线C表示椭圆，由t2＞t2﹣1，则焦点在x轴上，且为（±1，0），若曲线C为双曲线，则方程为﹣=1，则焦点在x轴上，且为（±1，0），则⑤对．故答案为：③⑤．评论：本题观察方程表示的曲线的形状，观察圆的方程以及圆锥曲线的方程和性质，观察不等式的解法，观察运算能力，属于基础题和易错题．三、解答题16．（12分）已知p：a∈{a|对任意x∈R，不等式x2+ax+a＞0恒成立}，q：a∈{a|方程x2+ay2=a表示的是焦点在x轴上的椭圆}，假如命题“p且q”为假命题，命题“p或q”为真命题，务实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简单逻辑．分析：命题p：对任意x∈R，不等式x2+ax+a＞0恒成立．可得△＜0，解得a的取值范围．命题q：方程x2+ay2=a表示的是焦点在x轴上的椭圆，得，可得a＞1．因为命题“p且q”为假命题，命题“p或q”为真命题，可得p、q必然一真一假．解答：解：命题p：对任意x∈R，不等式x2+ax+a＞0恒成立．则△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4，可得a的取值范围是0＜a＜4．命题q：方程x2+ay2=a表示的是焦点在x轴上的椭圆，得，解得a＞1．∵命题“p且q”为假命题，命题“p或q”为真命题，∴p、q必然一真一假，∴或，解得0＜a≤1，或a≥4．∴实数a的取值范围是0＜a≤1，或a≥4．评论：本题观察了一元二次不等式的解集与鉴识式的关系、椭圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判断，属于基础题．17．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y=0，若过点P的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=4，求直线l的方程．考点：直线与圆的地点关系．专题：直线与圆．分析：求出圆的标准方程，利用直线和圆订交的弦长公式求出圆心到直线的距离即可求出直线方程．解答：解：由圆C：x2+y2﹣6x+4y=0，即（x﹣3）2+（y+2）2=9，故圆心C（3，﹣2），半径r=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因为|MN|=4，设圆心到直线的距离为d，由|MN|=4=，得d=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（1）当l的斜率k存在时，设直线方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得k=﹣．因此直线方程为y=﹣（x﹣2），即3x+4y﹣6=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（2）当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经考据x=2也满足条件．﹣﹣（11分）综上直线l的方程为3x+4y﹣6=0或x=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）评论：本题主要观察直线方程的求解，依据直线和圆订交的弦长公式是解决本题的要点．18．（12分）已知圆x2+y2﹣6x﹣7=0与抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线相切（Ⅰ）求抛物线C的方程（Ⅱ）过抛物线C的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=7，求线段AB的中点M到y轴的距离．考点：圆与圆锥曲线的综合；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出圆的圆心与半径，利用y2=2px（p＞0）的准线相切，求出p，获得抛物线方程．（Ⅱ）求出抛物线C的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，求出抛物线定义知线段AB的中点M到准线的距离，而后求解线段AB的中点M到y轴的距离．解答：解：（Ⅰ）圆22224，x+y﹣6x﹣7=0，即（x﹣3）+y=16，因此圆心（3，0），半径为抛物线的准线方程为x=，依题意，有3﹣（﹣）=4，得p=2，故抛物线方程为y2=4x；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，由抛物线定义知线段AB的中点M到准线的距离为，故线段AB的中点M到y轴的距离d=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）评论：本题观察圆的方程与抛物线方程的综合应用，点到直线的距离，观察分析问题解决问题的能力．3219．（12分）已知函数f（x）=x+3ax+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（Ⅰ）求a，b的值和函数f（x）的单调区间；2考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先对函数进行求导，依据函数f（x）在x=2获得极值，说明导函数在x=2时价为0，再依据其图象在x=1处的切线斜率为﹣3，列出方程组即可求出a、b的值，从而可以求出函数的单调区间；2可以得出实数c的取值范围．2解答：解：f′（x）=3x+6ax+3b，由该函数在x=2处有极值，故f′（2）=3?22+6a?2+3b=0即4a+b+4=0①又其图象在图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行2即2a+b+2=0②由①，②，解得a=﹣1，b=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）f′（x）=x3﹣3x2+c（Ⅰ）∵f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）由f′（x）=0得x1=0，x2=2．列表以下x（﹣∞，0）0（0，2）2（2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗故f（x）的单调递加区间是（﹣∞，0），（2，+∞）单调递加区间是（0，2）﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）由（1）可知列表以下x1（1，2）2（2，3）3f′（x）﹣0+f（x）﹣2+c↘﹣4+c↗cf（x）在[1，3]的最小值是﹣4+cc﹣4＞1﹣4c2解得

c＞1或

c＜﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣（

12分）评论：本题主要观察函数在某点获得极值的条件和导数的几何意义，数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于难题．20．（13分）已知多面体ABDEC中，底面△ABC为正三角形，EC⊥平面

以及利用导数解决函ABC，DB⊥平面ABC，且EC，DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE=CA=2DB=2（Ⅰ）求证：DM∥平面ABC；（Ⅱ）求证：平面DEA⊥平面ECA；（Ⅲ）求此多面体ABDEC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判断；平面与平面垂直的判断．专题：空间地点关系与距离．分析：（Ⅰ）取AC的中点N，连接MN，BN，利用三角形中位线定理与平行四边形的判断与性质定理可得DM∥BN，再利用线面平行的判判定理可得：DM∥平面ABC．（Ⅱ）由EC⊥平面ABC，可得EC⊥BN，利用△ABC为正三角形，可得BN⊥AC，可得BN⊥平面ECA，利用DM∥BN，可得DM⊥平面ECA，即可证明．（Ⅲ）取BC的中点O，连接AO，利用等边三角形的性质可得：AO⊥BC．利用面面垂直的性质定理可得：AO⊥平面BDEC．利用此多面体ABDEC的体积V=V=即可得出．A﹣BDEC解答：（Ⅰ）证明：取AC的中点N，连接MN，B