高中全程复习方略配套课件：选修442参数方程(人教A版数学理)浙江专用

第二节参数方程三年21考

高考指数:★★★★1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.1.直线、圆和椭圆的参数方程是高考考查的重点；2.利用参数方程解决最大值、最小值等问题是难点；3.高考多以解答题的形式考查属低、中档题.1.参数方程（1）参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数

，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点m(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做

，简称

.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程f(x，y)＝0叫做普通方程.参变数参数（2）参数方程与普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去

而从参数方程得到普通方程，如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.参数【即时应用】(1)参数方程(θ为参数,且满足0≤θ≤π)的普通方程为__________.(2)参数方程（θ为参数,且满足）的普通方程为__________.【解析】(1)参数方程

（θ为参数,且满足0≤θ≤π）的普通方程为x2+y2=1(0≤y≤1),表示上半圆.(2)参数方程（θ为参数,且满足

）的普通方程为x2+y2=1(0≤x≤1),表示右半圆.答案：(1)x2+y2=1(0≤y≤1)(2)x2+y2=1(0≤x≤1).2.直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线圆(x-a)2+(y-b)2=r2y-y0=tanα(x-x0)(α≠，点斜式)（t为参数）（θ为参数）轨迹普通方程参数方程椭圆双曲线（θ为参数）（θ为参数）(a＞b＞0)(a＞0，b＞0)轨迹普通方程参数方程（t为参数，p＞0）抛物线y2＝2px(p＞0)【即时应用】判断下列命题是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）（1）若经过点p0(x0，y0)，倾斜角是α的直线l的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为tanα.()(2)若圆的参数方程为（α为参数）,则圆心为(2,-1),半径为3.()【解析】(1)∵经过点p0(x0，y0)，倾斜角是α的直线l的参数方程为

即（t为参数，t∈r）.∴当倾斜角α≠时，直线的斜率k=tanα=;当倾斜角α=时，直线的参数方程为直线的斜率不存在.所以(1)不正确.(2)将圆的参数方程（α为参数）化为普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,所以圆心为(2,-1),半径为3.所以(2)正确.答案:(1)×(2)√参数方程化为普通方程【方法点睛】参数方程与普通方程互化的方法（1）把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．（2）把曲线c的普通方程f(x，y)＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．【例1】已知参数方程：

(1)若t为常数，θ为参数，判断方程表示什么曲线？(2)若θ为常数，t为参数，方程表示什么曲线？【解题指南】将参数方程消去参数化为普通方程f(x,y)=0，再判断曲线形状.【规范解答】(1)当t≠±1时，由①得sinθ=由②得cosθ=∴()2+()2=1，它表示中心在原点，长轴长为2|t+|，短轴长为2|t－

|,焦点在x轴上的椭圆；当t=±1时，y=0，x=±2sinθ,x∈［－2,2］,它表示在x轴上［－2,2］的线段.(2)当θ≠(k∈z)时，由①得=t+，由②得=t－，平方相减得它表示中心在原点，实轴长为4|sinθ|，虚轴长为4|cosθ|，焦点在x轴上的双曲线；当θ=kπ(k∈z)时，x=0，它表示y轴；当θ=kπ+(k∈z)时，y=0，x=±(t+).由于当t＞0时，t+≥2；当t＜0时，t+≤－2，于是|x|≥2.∴方程y=0（|x|≥2）表示x轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线．【反思·感悟】化参数方程为普通方程，关键是消去参数，建立关于x,y的二元方程f(x，y)＝0，常用的消参数公式有：（1）t·=1；（2）sin2θ+cos2θ=1；（3）(t+)2-(t-)2=4；（4）【变式训练】(1)将参数方程（θ为参数，且0≤θ<2π）化为普通方程;(2)判断参数方程（a＞0，b＞0,t为参数）表示的曲线形状.【解析】(1)由参数方程,得x2=1+sinθ=即y=2x2.由于且即普通方程为y=2x2,x∈［0,］.(2)方法一:将参数方程

化为两式相加，得＝1(a＞0，b＞0).由于x=a(-1+)，故x≠-a.当a=b时，方程的曲线为圆心在原点，半径为a的圆，去掉点(-a,0)；当a＞b时，方程的曲线为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，去掉点(-a,0)；当a＜b时，方程的曲线为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆，去掉点(-a,0).方法二:由x=，得t2=，代入得当a=b时，方程的曲线为圆心在原点，半径为a的圆，去掉点(-a,0)；当a＞b时，方程的曲线为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，去掉点(-a,0);当a＜b时，方程的曲线为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆，去掉点(-a,0).【变式备选】(1)已知曲线c的参数方程为（t为参数），则曲线c的普通方程为______.【解析】∵x2=t+-2,∴所以曲线c的普通方程为y=3x2+6.答案：y=3x2+6(2)参数方程（θ为参数，且0≤θ<2π）的普通方程为____________.【解析】由参数方程,得x2=1+sinθ=y,即y=2x2.由于x=|cos+sin|=|sin(+)|,且≤+<,∴x∈［0,］.即普通方程为y=2x2,x∈［0,］.答案：y=2x2,x∈[0,]圆的参数方程【方法点睛】将圆的普通方程化为参数方程（1）圆x2+y2=r2的参数方程为（2）圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为【提醒】(1)参数θ的几何意义是om与x轴正方向的夹角;(2)随着选取的参数不同,参数方程形式也有不同,但表示的曲线是相同的;(3)在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围.【例2】已知x、y满足x2+(y-1)2=1,求：（1）3x+4y的最大值和最小值；（2）(x-3)2+(y+3)2的最大值和最小值;【解题指南】设圆的参数方程，将问题转化为三角函数的问题解决.【规范解答】由圆的普通方程x2+(y-1)2=1得圆的参数方程为（1）3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ),其中tanφ=,且φ的终边过点（4，3）.∵-5≤5sin(θ+φ)≤5,∴-1≤4+5sin(θ+φ)≤9.∴3x+4y的最大值为9，最小值为-1.（2）(x-3)2+(y+3)2=(cosθ-3)2+(sinθ+4)2=26+8sinθ-6cosθ=26+10sin(θ+φ).其中tanφ=-,且φ的终边过点（4,-3）.∵-10≤10sin(θ+φ)≤10，∴16≤26+10sin(θ+φ)≤36,∴(x-3)2+(y+3)2的最大值为36，最小值为16.【反思·感悟】1.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设出圆的参数方程，转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决.2.注意运用三角恒等式——辅助角公式求最值：asinθ+bcosθ=sin(θ+φ).其中tanφ=(a≠0),且角φ的终边过点（a,b）.【变式训练】已知圆的极坐标方程为：ρ2-ρcos(θ-)+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点p(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.【解析】（1）∵∴ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0.又ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ，∴x2+y2-4x-4y+6=0.（2）∵圆的圆心坐标为（2,2），半径为∴设圆的参数方程为则x+y=4+2sin(α+)，故x+y的最大值为6，最小值为2.直线、圆锥曲线参数方程的综合问题【方法点睛】1.直线的参数方程中参数的几何意义设e表示直线向上的方向的单位向量，如图，

=te，当参数t＞0时,与e方向相同；当参数t＜0时,与e方向相反.因此,总有||=|t|，所以参数t为点m0(x0,y0)到直线上点m(x,y)的有向线段

的数量（即方向+长度），这就是参数t的几何意义．2.直线参数方程的常用公式根据直线的参数方程中t的几何意义，有以下结论:（1）设a、b是直线上任意两点，它们对应的参数分别为ta和tb，则|ab|=|tb-ta|=（2）线段ab的中点所对应的参数值等于【例3】已知直线l的参数方程为曲线c的极坐标方程是ρ=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，点m(-1,0)，直线l与曲线c交于a、b两点．(1)求直线l的极坐标方程与曲线c的直角坐标方程；(2)线段ma，mb长度分别记为|ma|，|mb|，求|ma|·|mb|的值．【解题指南】（1）将直线的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程，将曲线的极坐标方程利用公式化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用直线的参数方程的几何意义以及一元二次方程的根与系数的关系计算.【规范解答】（1）直线l：

的直角坐标方程为x-y+1=0，所以直线l的极坐标方程为：ρcos（θ+）=-1，曲线c：ρ=即（ρcosθ）2=ρsinθ，所以曲线的直角坐标方程为y=x2.（2）由于直线l与曲线c交于a、b两点，将

代入y=x2，得t2-3t+2=0，设a、b两点对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程的根与系数的关系，得t1t2=2，∴|ma|·|mb|=|t1t2|=2.【反思·感悟】利用直线的参数方程研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，可以使问题简便,方法是：把l：（t为参数）代入圆锥曲线c：f（x，y）=0,消去x,y得