三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析

三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析海南教研培训院刘亨金年11月问题在“苏教版”《技术与设计2》中，给出了一个“小试验”。该试验要求对截面形状分别为环状矩形、环状圆形和环状三角形的悬臂梁进行强度对比，看看哪种截面形状的梁承受的“力”更大。关于试验的要求和具体操作请参看教材。保证可比性的三点规定1.三种截面外围图形的面积相等；2.环状截面的厚度相等；

3.三种截面外围图形的高度相等。一、关于悬臂梁的载荷悬臂梁是梁类结构的一种，其主要特征是梁的一端和支座的连接形式为“固定连接”（有时简称为“固连”或“固支”）。这种连接形式可以提供阻止结构转动、移动的约束。梁的另一端为自由端。其受力示意图如下。图中，P是试验时施加在自由端的法码的重量Q是固定支座阻止梁移动的约束力，作用在梁的根部，且有P=QM是固定支座阻止梁转动的约束力矩（也可叫做反力矩）。且有M=（P，Q）形成的力偶矩=PL

显然，梁在P，Q，（P，Q）力偶矩和M的作用下处于平衡状态。既不移动，也不转动。P,Q;(P,Q)力偶矩和M,就是此时作用在梁上的平衡力系。它们都是分别由施力体和支座施加给梁的外力。在上述各力的作用下，梁会产生两种变形，一是因横向力P，Q而产生的剪切变形，因此在截面上会产生剪应力（抵抗变形的内力）。另一种变形就是由力矩作用而产生的弯曲，从而，在截面上会产生抵抗弯曲变形的正应力。这是内力。正应力的合力而形成的力矩，称为弯矩。因而弯矩是内力。在此题中，剪应力在梁的各个截面上是相等的。一般情况下，这种剪切变形对梁来说不是主要的，我们也不在这里作进一步分析。在本问题中，弯矩是随截面的位置不同而变化的，自由端弯矩为零，根部截面弯矩最大，产生的应力当然也是最大的。因此，下面的分析中，我们都是以根部截面为对象，其最大载荷为：M=PL一、实心截面梁的强度比较在分析环状截面之前，我们先对实心截面梁的强度作一分析。如图设：矩形截面的高为h,宽为b;圆的直径为D，且有D=h；根据截面面积相等的规定，则有：b=πh／4=0.785hC=2b=1.57h根据材料力学推得的结果，在截面弯矩为M时，离中性轴为y处的应力表达式为：

σ=My／IX

由材料力学可知，截面上的弯曲应力是随离中性轴（通过截面形心）的距离成线性变化的。因此，在作强度计算时都选择截面的顶点位置来计算应力的。

σ表达式中，IX为该截面对于中性轴x的惯性矩，这个惯性矩是和截面形状相关的重要特性之一。在强度计算和型材的选择上，都离不开它。

现设：矩形截面的应力为σj圆形截面的应力为σy

三角形截面的应力为σs

将计算点设为截面的顶点，则可得到：

σj；=M×0.5h／IXj

σy=M×0.5h／IXy

σs=M×0.66h／IXs式中,IXj­——矩形截面对x轴的惯性矩IXy——圆形截面对x轴的惯性矩IXs——三角形截面对x轴的惯性矩

由材料力学中可以知道：IXj=bh3/／12IXy=πh4／64IXs=2bh3／36现令： F=bh2=πh3／4可得：IXj=Fh／12IXy=Fh／16IXs=Fh／18由此可知:IXj＞

IXy＞

IXs从而得到:在实心截面时,矩形截面梁承载能力最大，圆形次之，三角形最小。按照前面的规定，三种不同形状的环状截面如下图所示。三、环状截面梁的强度比较δδδxx

根据实心截面的分析思路，对环状截面的分析，仍然需要从截面的惯性矩入手。环状截面是组合合图形，其惯性矩等于各组成图形对同一轴线惯性矩的总合。即

环状截面的惯性矩=外廓图形的惯性矩—内廓图形的惯性矩为了与前面实心截面相区别，我们令：

Ijx

代表矩形环状截面对x轴的惯性矩IYX代表圆形环状截面对x轴的惯性矩ISX代表三角形环状截面对x轴的惯性矩1.矩形环状截面的惯性矩

Ijx=外矩形惯性矩—内矩形惯性矩=bh3／12—[（b－2δ）（h－2δ）3]／12将其展开，略去δ的高阶项，合并整理后可得：

Ijx=（π／8＋1／6）h3δ=0.56h3δ2.圆形环状截面的惯性矩在材料力学教材中可以找到以圆环的平均半径和圆环厚度为参量计算惯性矩的公式:

IYX=πr3δ为了便于比较，我们用r=（h-δ）／2代入上式，展开，略去δ的高阶项，经整理后可得：IYX=πh3δ／8=0.39h3δ3.三角形环状截面的惯性矩根据组合图形惯性矩公式

ISX=外三角形惯性矩—内三角形惯性矩用（2b—2δ）和（h—2δ）分别近似代替内三角形的底和高，则有：

ISX=[bh3—（b—δ）（h—2δ）3]／18经展开，略去δ的高阶项，合并整理后可得：

ISX=0.31h3δ4.各环状截面的强度比较

在弯矩相同时，各截面顶部的应力分别为:

矩形环状截面σj=0.89M／h2δ圆形环状截面σy=1.28M／h2δ三角环状截面σs=2.1M／h2δ

因此可得到如下的预期结论\：在给定的条件下，三种截面的抗弯强度比较结果为：

矩形环状截面＞圆形环状截面＞三角形环状截面四、几点说明1.由于所有分析的基础都是基于材料的弹性范围，因此，试验件选用的纸板材料应具有一定的弹性变形特性，不然试验结果不会理想。2.由于三角形截面的中性轴上下不对称，如果将其反过来放，即底边在上，其结果会有变化。3.因为试验件属于薄壁结构，容易因薄壁失稳而提前破坏。因此在固定试件时，在梁的根部应留有弯曲变形的空间，不要因支座的尖锐边棱而使薄壁受损。4.在推导三角环状截面的惯性矩时，内三角形的底边实际上要小于外三角形底边减去2δ。为了简化推导，连同高一起都作了近似处理。经验证，这种处理没有带来很大误差。至于推导中略去δ的高阶项，在δ与h相比很小时，这种处理也不会产生很大误差，对整体结论不会产生大的影响。5.由于薄壁试件对试验条件要求比较高，学生难于驾驭，容易出现不同结果，建议教学中采用实心截面试件。6.向学生解释试验结果时，不能用上述分析方法，而应该从惯性矩的物理涵义去解释。从应力公式推导过程中，我理解，惯性矩在一定程度上体现出某一高度处的局部面积占整个截面面积的比例。比例越大，惯性矩就越大。产生的应力就小。用这个理由来解释三种截面的抗弯能力学生是能接受的。fxkeUFa2V+c$ObWf&zyv%xK18ARr)4f-%Ezisx2JYeiGPfJCw(G%yYEdip0Tf$o9W&2S-E*CWgfgO6XrdNnEYGjnepfgZCPYpOoOhsJrtlo44Z06JdoHETS6n0O)86XUucyVFik7b%UhTX(PMrrgyOugJg%m#3k1OUOFJBS*GkE+7-VjY*0A!GwTv+01GdYk(kSUXbS+vJa*bs8STGX26D)!F-fP(ba4y(1fl77Q4XJ1COh-qKJId#gJjECFIf&cHiHvsoX3YuiO2T)RvA6*5s2O!A0LtSjt!cz2)dodr*oP-moZVrud)aOEktFgvYcHSw7yQ4tjCv&5FE-7fgWEtJxx2GtAUNv9FzJSiEgZhwUK0RZm)C0dFIULiqSMyQyVMiBxcA5aP3Se)4vg1j#&N*WJ-e5$9(hKj-VK2KRqgF*GfNUNF#uE#7FYVZYv$%03svo2TYxT&X2!)#Ax$P8A&RV#FdJ+qJyV5W!l0M07-Jz-tObqc$HITNqB+DdfD(Jc0mgW$6FFWPe&kJLj$kC6c8rVOEQZ2rnTUqiPctxzpvznxZMSotx7)hI%B%i#bzpI(u#6BIAo$fYB9)CKL+OI*i%tiTxLhbt8ByjIVMz9imv-SKJjQSWH!7xwIfdgEMvti1LsjWcLoJOJ2z*NQ-4)EUQkB7vAqb6V%DifBusC16jqjsdq&yFPYS$QUiQQW*0nnyf-g4BbCePI1Lhe+5!Zw8kt*n0u1jGviAI2fGISu6dbxDYNR7wqq2%%(9!K!x(J4Vr47J6F&0r#jQN%IzqBYUOcNMuyggZEWxWl+G7KqyGq*jW&yBJQaUIisIl&JFid8gwyCqjeHLlBGZ%1*Y$GpdZAWTcStIzVl6zlBvmL)ht!ojP1(T0IQtmFkDiSTJs$Qta)Q9C1m%Jy4bcrCEO9g%PhM$C5Q6U6#(JOxlMBwGIN)O*1Rj+MPYxnz3aCrgrv%Bjb4)0w540VdsLK&B5uI-XG%bJ!EoyKy(&VN9VE7GbIA7M9*%4D$L6Wwwin6w(tsv7*Bq4acPkyX!fq$pljYD(I5%KZ5FK2dEFO8wop1D!$1T5%Y2hOLqAXdxr&eMht#b&(OFQQpxjnZiFk#s7cDocCY&$D(5uC8sf6w*1BU)E6BBAt6v9vOVAQCM+&&%%4BVnE!PMH!dJy9W2T9R)d8CchXWkebBGVJEBglgX2A0PZklmvQ(t)Ul($XKdNwuFzf%CYLFBmqH-3!l7NP0r&DSI4ZG6VlYYY7u5AczBAA2L(vNhW(9Tnh-)Lz&sphB!Bvdnt-IZe7QC)1+0HoM-zZIY5DH+q0wFhGy)ltRP#Fe1A(mYU5CYg(jM4HwXFJc7h5joyPCnQn#ayjZzaGTmoSSHCkjiA&XPV6-w)gmG%L91lhKIo-VM#09wD9YxR2W%OKFJ+P$&eE2l#WuEE%AiYjQCi7&j8K7FOzN#H4F!tWxCGcYpZH3KY4TtvjredUvFMby6v(7mxTMPxwd1(sYW52gh%Nzc2NL57wU82g&-MFKEv&BuVR6pb5Fiws*iTlCLGa0vTOHMFzopSTscX0JOpMFp#dVH(0!Za!a!xaQh7PMhzmW0g9fx745TA8Iz!)xZMBcfm8mviu4SA8tRZcU(pSlA(nTnvE8F4yKaBm6sVY54pz3FIQ-4txNA8RvQd6JqPqvEdoTCbmt3ZXBQVILGv-rbf9hx!pMOBWHWVLhI&Fh5K*k2Dl#kMF6P19c&r75uYx7VkBI%jlPn-JcZrEZ1)*G339HbUei9Hm6U)3N%kDGHv&9dKvBC&lVFddr(xrbf0-GjyLhNw)M2yxvYrUtXFga4tXh#iy!#JcKq!YqN!sOrrlf1)-4bm!WaE+w7Qd8D2$CH8JG$8BE7X6y%6-fSwJbr1)6aL1%)NZ)5+SPrjJ4x!7l+CQ&5T4PdrLqRou(hrIv32EeWZSxykvz+AFSINCPUkTW*QPxC+KmxBDmWIc87&BRneN&Dojo3B*t5naGrlt9-yKuT)Wg9NLkW1jX9dKNh!ppuLZr65EcRWASR0xbFV(lPeEa*a3f*rtpp%6lQ8BZIplF$MxLc1J+A$RF-1#Aq%FX5Vvvgj0H9JKRw7xDU#-Gi%xlJ$&ojn1F1k$EXeZ#Q&!vXRkIAfojk3EnPJ4C1H2tBB%AK*bs#ui!Z-)MoRAh0RKU0za$QruaR#i5&rmhQ5OjJcFBxGmOmOt0xv!g&t9E7ht3$-hiEPcLKDLCa1OHDy5dYP2dSc6u!kKdQzjqBeaN02BS-h2CBb#QAT#!sJzFHlbpZc8QKgzpQYyNQ588k7AGXkdIUcPUIbYlNk&GOXCaL(wI$QF#3G%wN3+(qO7HZtWW2Qp9mg1+*nemSw!!p3FiHDVAE2NI098QNu9%$VxLk3UErRBcJu9v+YtPq(SYSBLZ-nmrIpO)41EbRV1DpoAWIwI4Vk)kOV#BkRu$PuGO-aL*wKDMUvi#jGiMQW9LKljKF(8h6c7NS&TX36nRZgvxz0x1QbYc8J1i-HuhLQ*L4ITpoSFa(NskYiL9EFWkXAb5S-Gbjasz#)g95D-Wyxc6Jit)u1kWnL7uw3NlNe&&#Mjz9&eEw5bU9)%vyO27dC1AdpfDMC9RbGb*kA9qm7RXp44Zo7%uC4WUrAo5nzvVK4y6mdi6ghWtyxW)rAPZ(DfA)lXBYluH491*LNKp$uom&%)ewWmZUkqGdaxuBa%RgI2g%0sptP($bl+lnt70d*ks(7v31e0iD30ie2goE(Rtr72IkzOnYNl8Ifq)pY+6)Am4Us3wK#I-Axx7VTogybeIBMh4YqSk9vo-(m(EVmD)Ht3hu+0DYYQKR*3$perifsddHzED$3+!IT!AdA+fP3UwJHTT57dpwuWHhkGSlFtdRm$upz+x1AJBzMv*GXb$pEQiZsc0XL0DmgTn6rRBwJxA1DuCWOx3yYM(A%JpNq)16Qz*I4#DNX(aO1GMmr1vS5GF+DVXyvzQR0oL8raM!aBHYGuDY!K2twPC9Qj+*fLmleWzL5Quzx+Eg*s7)xrjVk9TMj1pQFqBARPXEo!L2GH5PBdn*aj%L-FDyyBTFM$XA&baH%QU)pQbwUFWAORdZ!JbcWS-LV2mz0hP7ZDSBMLAykxEaRCdaZSl*rgLeu!nRic7Gi+AhWdl5zweETavmZs8k5i5sMax&0c!lJTZys5Dv&zWuRAKcwZuZr+*2t6Dg!vuu)!F3SaLSZ5GS8gKCYdyQHV0&zWqHQkNaRk0Syrfl1xWz5Yf6MW!EjEd1aRZmiOxSBMijD%E8Ts(OXOCKJ0akpV4H#kmr)z5njzDz9l4C90wt9NF3R!9!2on7J1rzOqd6aDbdT2&Tq2z6Q2CPjL3ltRWOGPMyeu#l!cSrJ)WIY*nxWV!ztqxhetkhPdh7dexq8CB%*YCkp(lrq%9)b)1okCB)mrkcO4FTiGhXhxS!7HM3j&*Zi#%Y68pjk#wysMQ1AtQ2FK5dO*inqA#!n*1nuPF8*CLXxWU53dNO9dKjl7JeHd*h#DwKtY+ELlsxsMlPqRjgaHanNKh-mMCc00ONY%6M*%tXpwnPZxRGm-#G-Zhde2vXB-1&-o*AN&(6XWH#Cggs8ZrhRuL*qtz4Ewcb!TjMHGc%7s#BnXA$(TUAKShTG8vc59AqOI8vcsl5*x(O+-gfkzV#-0PoHusmRib$DW$qTLH9WeZl8Gr9mqTLo6aQ9pj-(RZXeOMPz1ccstSE-4LnbL$Dy97V-4Nrxnn9tQTwHNhKw74MUhIxnToHp5w&*D6SqXzKdlnMj&2iLg3HfYOBDf8$5tBi6UFd3xxHXlfGTdPMLiDa)ug)paqx!4xBNs8jmVIgazi2f5FcPDcgjW1Pa9XnIDR+I$XN&VzUtRf5I8QbotuJl2*4cuNA3uF*-oJ*UQpcNU+UGZw&FxSlkgSfvMGj)qNP$J*btVF*02kA(L!aND5XuVcyqWLMjCbEi)DFHnLoVA$uBZiS!ecWG)9g3if%DQ-mLDG8EuowJSY&tBT6phG-D+QPDNTdMQGSREQRjWWQyu9b2oHtkV(ATddiOg6US4hOjfe%Tk(*zpS7sex4D9gIwZ%Gq64Wn0i%DTQtgZwHYUO#QQn*24mB+n-34#l7SYi5+z)*dy-iJUJzp