电路理论基础(哈尔滨工业大学陈希有第3版)15

2.均匀线方程及其通解1.均匀传输线3.无损均匀线上波的发出4.无损均匀线上波的反射5.无损均匀线波的多次反射6.直流工作下的均匀线7.正弦交流工作下的均匀线8.正弦交流工作下无损均匀线9.均匀线的集中参数等效电路10.信号的无畸变传输首先介绍均匀传输线的概念、建立均匀传输线偏微分方程、并在复频域内求出均匀线方程的通解。在此基础上，先后分析无损线的暂态过程、暂态与稳态的关系、均匀线的直流和正弦交流工作状态，着重建立行波、行波的反射和无反射条件以及驻波等概念。此外还介绍了均匀线的集中参数等效电路和信号的无畸变传输等内容。第十五章均匀传输线本章目次(a)(b)均匀传输线(简称均匀线):平行双线(a)和同轴线(b)是常见的均匀线。均匀线的分布参数：1单位长度(往返)电阻R0，(单位：Ω/m)；2单位长度(往返)上电感L0，(单位：H/m)；3单位长度两导体间电导G0，(单位：S/m)；4单位长度两导体间电容C0，(单位：F/m)基本要求：结合实际理解分布参数和均匀传输线概念以及均匀传输线的参数表示法。根据基氏定律可写微段dx的电压、电流方程：均匀线偏微分方程的建立整理并略去二阶微分量，得

基本要求：掌握均匀传输线偏微分方程的建立及复频域通解的求解过程。设方程的时域解为u(x,t)和i(x,t)，对其取拉普拉斯变换(x视为参变量)：设u(x,0-)=0,i(x,0-)=0将式(a)对x求导，再将式(b)代入得：(c)(d)方程(c)的特征方程：

特征根：和(a)(b)将代入上式得：将U(x,s)代入式(a)，得：方程(c)的通解为：1无损线方程的通解

式中：基本要求：理解无损线的概念及其通解形式，根据解答理解无损线上正向行波、反向行波和波速等概念。分析u(x,t)式中第一项当时，即在x<vt处，等于当时，即在x>vt处，等于0电压波将向x增加的方向移动，故称u(x,t)为正向行波电压。正向行波的波速分析u(x,t)中第二项可知：电压波将随时间的延续，向x减小的方向移动，故称为反向行波电压电流i(x,t)中第一项是正向行波，第二项是反向行波。正向行波的电压与电流之比等于Zc，反向行波的电压与电流之比也等于Zc，称为波阻抗。

以上得出的无损线方程复频域通解及时域通解都是电压、电流的一般表达式。对于具体问题，尚须根据初始条件和边界条件才能确定函数和。

取雷击瞬间t=0

,雷击点坐标x=0,则雷击后产生的充电电荷便沿线向两侧传播，形成正向和反向行波，如图(b)所示。例如:无损线受雷击而充电。开始时线路上只有正向行波电压:设起端接阶跃电压源，求零状态响应。求此时电流也只有正向行波：根据边界条件：x=0处的电压为电源电压得取拉氏反变换设有一无限长的无损均匀线，如图(a)，波阻抗为，波速按光速计算，起端，。求线路电压、电流分布及距起端300km处电压的变化规律。

沿线电流、电压:在距起端x=300km处，信号的延迟时间为:可得:计算起端(x=0)的正向行波电流、电压，等效电路如图(b)所示。波阻抗Zc，一般不等于这时在终端将引起反向行波。正向行波的波前到达无损线终端时必须满足终端边界条件入射波和反射波入射波反射波基本要求：理解无损线上的入射波和反射波，以及终端开路、短路、匹配时波的反射规律。(1)终端开路时波的反射

开路时|ZL(s)|→∞，，为全反射或在终端x=l处阶跃电压激励下已知:得反射波根据拉氏变换延迟性质得表明在终端处，时有反射波。同一时刻的电流i(x,t)为:在

期间,正向行波与反向行波叠加形成线间电压：无损线终端开路时波的反射

终端短路时波的反射

终端短路时，称为负全反射。下图画出了

期间沿线电压、电流波形。若ZL＝Zc，则反射系数N2(s)=0，这种无反射的工作状态，称为匹配。沿线电压u(x,t)=u+(x,t)，相当于无限长的均匀线，永远没有反射波。在0<t<l/v时段，沿线逐步建立起u、i。在此以后u(x,t)=US、i(x,t)=US/Zc，达到稳态。这时，线路终端完全重复在线路起端作用的电压电流情况。但在时间上，它们延迟于起端的电压和电流，此延迟时间等于行波经过此线路所需的时间：(3)终端负载匹配

设要求用0.5m长的螺旋形延迟电缆来获得0.5μs的延迟时间，且要求能与电阻为的负载匹配，求电缆每单位长度的电感和电容再根据匹配条件得：(2)联立求解以上二式，得：根据延迟时间要求及得：(1)或设或在x=0处u＋(x,t)的波前到达终端立即产生反射波反向行波u-(x,t)的波前到达起端基本要求：掌握产生多次反射的原因及反射波的变化规律。加深理解直流稳态的建立过程。电路如图15.13(a)所示，设V，，，，。求()。(2)(1)当开关闭合时入射波尚未到达终端终端电压如图(b)所示。令式中k→∞，终端电压便成为稳态电压U2。因，可用等比级数求和公式得：根据左图还可写出用公式表示的终端电压。当

说明直流稳态电压也是由正向行波和反向行波叠加形成。无损线多次反射仿真电路图多次反射仿真输出波形式中是待定的积分常数。传播系数和波阻抗应为:

直流工作下的均匀线复频域方程中应取复频率s=0。

s=0基本要求：掌握直流条件下均匀线方程的定解及均匀线上直流电压、电流的分布规律。1均匀线直流方程的定解

设已知起端电压和电流根据边界条件确定X=0(1)(2)代入式(1)、(2)，得写成矩阵方程求逆x=l=l上式与无损线终端暂态正向与反向行波关系是相似的。一般稳态的正向行波分量等于无穷多个暂态的正向行波的叠加，稳态的反向行波分量也是如此。因此，不论是暂态还是稳态，终端的反射波都等于反射系数乘以入射波。

通解在终端x=l将U2、I2代入U2＝RLI2，(1)终端开路，即RL→∞

直流均匀线

x′代替x终端开路时均匀线上的分布

I2＝0终端短路时均匀线上的分布

U2＝0线路在匹配情况下所能传输到终端的功率称为自然功率，其值为此时线路的传输效率为:RL＝Zc设某1000km的直流超高压输电线，起端两导线对地电压分别为±350kV。已知其线路参数为R0＝0.011Ω/km，G0＝0.017μS/km，负载电阻为1000Ω。求终端的电压、电流、功率以及输电效率。

先算出均匀线的传播系数γ与波阻抗ZC：(1)(2)再计算的系数矩阵，先计算由电源和负载满足的方程分别为联立解得A，kV，A。电源发出功率和负载吸收功率分别为线路传输效率

参数代入正弦稳态时，可用相量来表示。式中传播系数和波阻抗Zc：α--衰减系数β--相位系数正弦交流工作下的均匀线

通解：基本要求：掌握正弦稳态条件下均匀线相量方程的定解以及均匀线上电压、电流行波的特点、波阻抗和传播系数的意义。

可求得向终端看进去的等效阻抗：在式(15.84)中，令，得到均匀线正弦稳态下的传输参数方程：同理有：(15.84)设有500kV高压三相输电线，其每相电阻R0=0.0101Ω/km，感抗=0.305Ω/km，容纳=5.468μS/km，电导可以略去，线长为500km。试计算其自然功率。首先计算线路传播系数和波阻抗：

线路匹配时，。现取A相起端电压为参考相量，即匹配时起端的输入阻抗等于Zc，即。所以此三相输电线的自然功率

令x=l2均匀线上正弦电压、电流的瞬时分布

令则：对应的瞬时值曲线上相位()为某值的点，将随时间的延续而向的正方向移动。令为常量，得到移动速度2.在t为定值的特定瞬间，沿线按幅度衰减的正弦波分布。可见1.在x为定值的线路某一确定点上，是时间t的正弦函数，幅度和初相都有确定值。正向行波图画出了t及t+时的分布曲线，可见同相位点的位置向前移动了vp是行波的波速或相速由于u+(x,t)是向+x方向传播的，所以是正向行波。行波相位相差2π的距离称为波长λ即:此式又说明：波长是一个周期内行波前进的距离另一个分量可见，它是一个反向行波。其对应的瞬时值为:综上分析,线路上的电压是正、反向行波的叠加同理，可得电流的瞬时值表达式正向行波与反向行波的关系，与直流类似，仍由终端边界条件来确定：代入终端阻抗方程，得与直流类似：1.当终端开路时N2=1，对应全反射；2.当终端短路时，N2=－1，对应负全反射；3.匹配时即ZL=ZC时，N2＝0，对应无反射。与直流不同：直流时只要RL是正电阻，N的绝对值不大于1；在交流情况下，反射系数N2的模可能大于1。终端短路时终端开路时为了确定一条200km长的线的参数，在角频率的情况下测得终端开路时起端的输入阻抗和终端短路时起端的输入阻抗。求线路波阻抗和传播系数，并进一步确定线路参数,。设波速近似等于光速。求波阻抗：因:故:将上式两端乘以，经整理后得:从而得:

为了求得和可将除以：从而得:传播系数:

为了确定和，将乘以得故，所以上式虚部()角度应加，从而目前线路长度为200km，已超过半个波长，但不足一个波长架空线在之下的波长为从处向终端视入的输入阻抗：可见，利用四分之一波长无损线可实现阻抗变换。例如欲将负载阻抗变换为所需的等效阻抗，则无损线的波阻抗应为:传输方程：设则基本要求：掌握正弦交流工作下，无损线方程的解答、行波特点；透彻理解终端开路、短路或接纯电抗负载时，无损线上驻波的形成规律。

高频正弦交流下的均匀线，由于，可近似地取R0＝0，G0＝0，成为无损线。无损线的传播系数和波阻抗:无损线上电压、电流相量方程：无损线终端开路、短路或接纯电抗负载时，无损线上会出现驻波。(1)终端开路，，

以上两式相除，可得终端开路时沿线向终端视入的等效阻抗:(2)终端短路，即，

以上两式相除可得沿线向终端视入的等效阻抗

终端接纯电抗的无损线的等效分析

此时终端反射系数N2＝(jX-ZC)/(jX+ZC)。由于是实数量，故两者幅度相同，只是相位不同。(3)接纯电抗负载，即

，

l0可根据式算出另一角度分析：设负载是感抗，可用一段长度l0小于λ/4的短路线等效(如图)。当满足这两个条件时，均匀线上存在幅度相等的正向和反向行波它们相叠加便形成驻波。在波节处，它们的相位相反而互相抵消；在波腹处，它们的相位相同而互相叠加，如下图所示。图中A点为波腹，B点为波节，二者相距λ/4。第二，反射波的幅度要与入射波的幅度相等即终端反射系数。终端开路、短路或接纯电抗负载时能够满足此条件。综上所述，入射波与其反射波形成驻波需两个条件：第一,行波沿线传播过程中无衰减,即衰减系数α＝0。

图中架空无损线波阻抗ZC＝600Ω，线长l=30m，正弦电源频率，R1＝100Ω，R2＝1000Ω。求距起端15m处的电压、电流。

架空无损线的相速vp＝3×108m/s，故波长为:将，代入下式求出起端等效阻抗：

起端电压、电流为:为求x=15m处电压、电流，先计算:x=15m处电压、电流：

(a)只需计算起端和终端电压电流时，可将均匀线视为集中参数的对称二端口网络其传输参数方程等效电路:(b)可根据电路列方程传输参数：比较（a）和（b）可得：基本要求：掌握均匀线的T形和π形等效电路的建立方法，理解用集中参数电路研究分布参数电路的原理。

对称二端口网络还可以用特性阻抗和传输系数作为参数:1均匀线的波阻抗就是等效二端口网络的特性阻抗；2均匀线的长度与传播系数之积等于等效二端口网络的传输系数:结论：如果线路相对波长较短，