《数学物理方法》积分变换法

?数学物理方法?第十二章积分变换法第十二章积分变换法积分变换法是物理学与其他应用科学中求解数学物理方程的一种重要方法，它适用于求解无界区域及半无界区域的定解问题。2§12.1.1傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数1.傅里叶级数一个以2l为周期的函数f(x)，假设在区间[-l,l]上满足狄利克雷条件〔即连续或有有限个第一类间断点，并只有有限个极大值和极小值〕，那么在[-l,l]上可展开为傅里叶级数52.复数形式的傅里叶级数它可由式(12.1.1)导出，为此令kn=np/l,那么6用e-iknx乘上式两边，再对x从-l到l积分,利用进行求和之后，将所得公式的哑指标m全部改用n表示，即得展开系数7§12.1.2傅里叶积分1.傅里叶积分和傅里叶积分定理周期函数的性质是f(x+2l)=f(x),x每增大2l，函数值就有一次重复;非周期函数没有这个性质，但可认为它是周期2l→∞的“周期函数〞，从而可以由式(12.1.4)和式(12.1.6)出发，利用l→∞,把符合一定条件的非周期函数展开为傅里叶积分．8可以证明①，如果定义在(-∞,∞)的函数f(x),在任一有限区间上满足狄利克雷条件，且绝对可积=[有界]，那么在f(x)的连续点处，傅里叶积分存在在f(x)的第一类间断点处，积分等于

这称为傅里叶积分定理．9现在将傅里叶级数过渡到傅里叶积分．由于l→

∞,相邻两kn，值之差为将式(12.1.6)与式(12.1.8)代入式(12.1.4)，得后式利用了定积分的定义，上式就是傅里叶积分式(12.1.7).Cn1/l102.三维形式的傅里叶积分现在，将傅里叶积分由一维推广到三维那么式(12.1.9)可写成

采用矢量记号113.傅里叶积分的三角形式由式(12.1.7)出发，交换积分次序，并利用欧拉公式可得

被积函数的正弦项是k的奇函数，对k的积分为零；余弦项是k的偶函数，为(0,∞)积分值的2倍。故1213§12.1.3傅里叶变换1.傅里叶变换的定义在傅里叶积分公式(12.1.7)中，令这说明f(x)与是互相对应的：f(x)描述的物理问题，也可以等效地用来描述．14从数学上讲，函数f(x)与的关系就是一个积分变换的关系．我们称为f(x)的傅里叶变换，记作=F[f(x)]，即称f(x)是的傅里叶逆变换，这个运算称为反演，记作，即通常还把称为f(x)的像函数，把f(x)称为的像原函数．15由式(12.1.16)和式(12.1.17)可得，f(x)的傅里叶变换的逆变换等于f(x)的自身，即

在量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的．以粒子动量为自变量的波函数c(p,t)就是以粒子坐标为自变量的波函数c(x,t)的傅里叶变换。16假设f(x)为奇函数，记作fs(x)，代入式(12.1.12)和式(12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见A(k)=0，将B(k)记作。将结果代入式(12.1.11)，并采用记号上两式称为傅里叶正弦变换及其逆变换．17假设f(x)为偶函数，记作fC(x)，代入式(12.1.12)和式(12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见B(k)=0，将A(k)记作。将结果代入式(12.1.11)，并采用记号上两式称为傅里叶余弦变换及其逆变换．183.三维傅里叶变换

正如由式(12.1.7)可以得到式(12.1.14)，式(12.1.15)一样，由式(12.1.10)可得19【例12.1.1】求

的傅里叶变换解20【例12.1.2】求f(x)=exp[2ax2]的傅里叶变换，其中a为正数解由傅里叶变换的定义出发，并利用节例4.2.7的结果，便有21【例12.1.3】求单位阶跃函数H(x-a)=

的傅里叶变换(a≥0)

解由定义由于积分不收敛,故单位阶跃函数的傅里叶变换不存在.为改善其收敛性质,考虑函数(b＞0)22【例12.1.4】试证明解题设的积分不易直接计算。考虑到是奇函数，由傅里叶正弦变换的定义可见，只要证明,也即证明e-k满足傅里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)那么此题得证23实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练习．244.d函数的傅里叶展开d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分证明令f(x)=d(x-x’)代入式(12.1.14),得将上式代入式(12.1.15)即有(12.1.25b)25利用欧拉公式及奇函数的积分性质，可得式(12.1.25a)的三维形式为

这几个d公式[(12.1.25)和(12.1.26)]在量子力学中有着广泛的应用26§12.1.4傅里叶变换的性质假定下面需要取傅里叶变换的函数，均满足傅里叶变换的条件．271.线性定理假设a1、a2为任意常数，那么对任意函数f1(x)及f2(x)，有28证明由定义出发

29

2.延迟定理设x0为任意常数，那么

证明由定义出发，令u=x-x0可得

由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x是定积分的积分变量)故F[f(u)]=F[f(x)](12.1.30)303.位移定理设ko为任意常数，那么(见习题12.1.9)314.相似定理设a为不等于零的常数，那么证明令u=ax，分别讨论a>0与a<0两种情形注意当a<0时，由于u与x反号，故积分限要变号．综合上述两式，即有式(12.1.32)325.微分定理证明由定义及分部积分法可得(12.1.34)33为了计算F[f"(x)]，设g(x)=f'(x)，由两次利用式(12.1.34)，即有F[f"(x)]

=F[g'(x)]

=ikF[g(x)]

=ikF[f'(x)]

=(ik)2F[f(x)]继续往下作，即可得式(12.1.33)微分定理将对f(x)的n阶导数运算化为对的乘积运算，从而把求解常微分方程的问题化为求解代数方程的问题(见节的例题)，使计算得到简化．34

6.积分定理假设f(x)满足微分定理的条件，那么证明利用及微分定理，那么两边除以ik，定理得证357.卷积定理函数f1(x)与f2(x)的卷积定义为f1(x)与f2(x)卷积的傅里叶变换为(12.1.37)卷积定理将函数f1(x)和f2(x)的卷积运算，化为的乘积运算，使计算得到简化36证明由傅里叶变换的定义出发，随后交换积分次序，并应用延迟定理(12.1.19)，便有因F[f2(x)]仅为k的函数，可提出积分号外，式(12.1.37)得证378.像函数的卷积定理证明由傅里叶变换定义出发，随后交换积分次序，再利用卷积定义，便有38前面证明应用了卷积的交换律(见习题12.1.10)

39

9.乘积定理假设f1(x)和f2(x)是x的实函数，那么证明利用傅里叶逆变换的定义，交换积分次序及(12.1.39)

40第二式同理可证．4110.帕塞瓦尔(Parseval)等式证明将代入式(12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的傅里叶展开式，便有特别是42帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到43【例】求解积分方程解设解题的步骤分三步：(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成44由例的F[e-|x|]=1/(1+k2)以及例的(2)求解像函数，由上式易见，可得(3)作傅里叶逆变换(反演)为了计算方便，利用微分定理(12.1.33)及例的结论，可将式(12.1.44)写成45作傅里叶逆变换，并利用式(12.1.18)，即有46【例12.1.6】试利用傅里叶变换证明

证明令f1(x)与f2(x)的傅里叶变换分别为47由帕塞瓦尔等式可得48作业-§12.1第255-6页1组2组3组.412.1.8.512.1.912.1.312.1.612.1.1049§12.2傅里叶变换法

傅里叶变换法广泛地应用于求解无界区域的定解问题中．求解步骤为①对定解问题作傅里叶变换；②求像函数；③对像函数作傅里叶逆变换,得解50对于半无界区域的定解问题可采用傅里叶正弦变换(第一类边界条件)，或傅里叶余弦变换(第二类边界条件)；也可将边界条件齐次化后，采用延拓法，最后用傅里叶变换求解．为书写简单起见，将采用简写符号51§波动方程的定解问题【例】求解无界弦振动方程的初值问题解(1)对方程及初始条件作傅里叶变换52第一式利用x与t是独立变量，可交换积分与微分的次序，第二式利用微分定理，由此得带参数k的常微分方程的初值问题53(2)求像函数

方程(12.2.4)的通解为将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入式(12.2.6)，可得(12.2.9)54

(3)作像函数应的傅里叶逆变换

第一、三项应用延迟定理(12.2.10)作傅里叶逆变换得55第二、四项应用延迟定理和积分定理

作傅里叶逆变换得将式(12.2.11)与式(12.2.12)代入式(12.2.10),得这个结果与行波法结果相同．56回忆解题过程，傅里叶变换法的解题步骤如下图图57§12.2.2热传导方程的定解问题

【例】求无界杆的热传导问题解(1)对方程及初始条件作傅里叶变换(2)求像函数及与式(12.2.15)对应的齐次常微分方程的通解58通解为采用常数变易法，设式(12.2.15)的通解为将式(12.2.17)代入式(12.2.15)，可得C(k,t)满足的方程将全式的t改为t，两边乘以exp(k2a2t)后对t从0到t积分，便有59将C(k,t)代入式(12.2.17)可得在式(12.2.18)中令t=0得再与式(12.2.16)联立得代入式(12.2.18)即有(12.2.18)60(3)作像函数的傅里叶逆变换

61利用奇,偶函数的性质及定积分公式(例4.2.7)p9062此题不利用卷积定理，在傅里叶的逆变换公式中对指数作配方运算后，再利用定积分公式计算也可以得到相同的结果。此题计算说明，齐次与非齐次的偏微分方程导致u(x,t)的像函数分别满足齐次与非齐次的常微分方程，在解题方法上没有不同。对于半无界问题，也可以利用延拓法化为无界问题，直接利用例的结果得解．63【例12.2.3】求半无界杆的热传导问题解(1)将边界条件齐次化，作奇延拓，将问题化为无界问题．令u(x,t)＝w(x,t)

+uo因而w(x,t)的定解问题为64将w(x,t)作奇延拓，得到在无界域上的定解问题为(2)利用上题结果得解．将f(x,t)=0及无界域上的w(x,0)代入式(12.2.20)，便有65§12.2.3三维泊松方程的定解问题【例12.2.4】全空间充满介电常数为e的均匀介质，且自由电荷密度rf(x)，求空间的静电势。电势遵守方程解(1)对方程作傅里叶变换由微分定理及可得66(2)求像函数，得(3)对像函数作傅里叶逆变换由节的式(12.1.23),(12.1.24)可得67在k空间分别引入直角坐标系(kx,ky,kz)和球坐标系(k,q,j)(图12.2).选kz轴沿x-x’的方向，由于q是k与kz轴的夹角，故q也是k与x-x’的夹角,即k·(x-x’)=k|x-x’|cosq

k空间的体积元d3k=k2sinqdkdj=2k2dkdcosqdj

代入上式，得68将式(~22)代入式(~21),得电磁学中的电势公式

式中x’为源点，是激发电场的电荷的坐标；x为场点，是观察点的坐标；|x-x’|=r是场点与源点的距离．69作业-§12.2第261页1组2组3组..3.470§12.3拉普拉斯变换本节介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的定义、拉氏变换的存在定理、常用函数的拉氏变换，以及拉氏变换的性质。71§12.3.1拉氏变换的定义傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间(-∞,∞)有定义，在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并要求存在这是一个比较苛刻的要求。一些常用的函数，如阶跃函数H(t),以及t，sint，cost等均不满足这些要求，这就限制了傅里叶变换应用的范围。假设f(t)定义于(0,∞),积分也不一定存在。72对这样的函数作适当的处理，那么有可能由傅里叶变换过渡到拉氏变换．引入函数(s>0)假设s足够大，函数f1(t)的傅里叶变换就有可能存在(见拉氏变换存在定理)，于是它的傅里叶逆变换为73作变量变换p=s+iw(12.3.4)定义函数为f1(t)的傅里叶变换将式(12.3.5)，式(12.3.4)代入式(12.3.2)在[0,∞]内，fl(t)＝e-st

f(t)，将式(12.3.1)、式(12.3.4)、式(12.3.5)代入式74两边乘e-st

⇒这样，式(12.3.6)与式(12.3.7)构成一对新的积分变换，并称为f(t)的拉氏变换，记作式(12.3.7)称为梅林(Mellin)反演公式，亦即的拉氏逆变换，记作称为f(t)的像函数,f(t)为的像原函数75§12.3.2拉氏变换的存在定理假设函数f(t)满足下述条件(1)当t<0时，f(t)=0；当t≥0时，f(t)在任一有限区间上分段连续.(2)当t→∞时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数M及s0≥0，使得那么L[f(t)]5f(p)在半平面Rep>s0上存在且解析图76证明(1)证明存在。由所以积分式(12.3.6)绝对收敛，且在右半平面Rep=s>s0存在.(2)证明解析。在式(12.3.12)的积分号内对p求偏导，并取(s1为任意实常数)，那么有(12.3.12)77这说明在半平面Rep=s>s0上一致收敛，交换积分与微商的次序，得既然的导数在Rep=s>s0上存在且有限，故在Rep=s>s0内解析.78§12.3.3常用函数的拉氏变换(1)假设f(t)＝Ceat(a为复数)，那么(12.3.13)

(2)假设f(t)＝sinbt或cosbt(b为复数)，那么(12.3.14)

(12.3.15)

79(3)假设f(t)=tb(Reb>-1)，那么分别令b=-1/2及b=n(式中n=0,1,2,⋯),那么Rep>0(12.3.16)80其他函数的拉氏变换可以通过上述函数的拉氏变换及拉氏变换的性质求得，也可直接由定义出发计算，还可直接查阅拉氏变换表(表12-1).表12-181表12-1续82§12.3.4拉氏变换的性质假定取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换的条件(见拉氏变换的存在定理)1.线性定理假设al、a2为任意常数，那么(12.3.20)(12.3.19)

83证明

只证明式(12.3.19)，第二式的证明留作练习.由定义出发

84【例】求L[shat]和L[chat]的值.

解852.延迟定理设t为非负实数，那么L[f(t-t)]=e-ptL[f(t)](12.3.21)证明由定义出发u=t-t,可得利用u<0时，f(u)=0，故积分下限可改为零这里L[f(t)]仅为p的函数,L[f(u)]=L[f(t)]863.位移定理设a为复数，有(见习题12.3.1)【例12.3.2】求L[f(t)]的值.解用阶跃函数表示f(t)=cH(t)-cH(t-t0),L[f(t)]=L[cH(t)]-L[cH(t-t0)]=c/p-exp(-pt0)c/p=c/p[1-exp(-pt0)]87【例12.3.3】求L[te-bt]的值解令f(t)=t,先先按式(12.3.18)求L[f(t)]=L[t],得利用位移定理884.相似定理假设C为大于零的常数，那么证明由定义出发，随后作变量变换u=Ct，那么895.微分定理设f(n)(t)(n＝1,2,⋯)分段连续，那么(12.3.26)90证明由定义出发，随后用分部积分，可得同理，用f’(t)取代上述的f(t)，可得继续作下去，即可得式(12.3.26).特别是，当f(k)(0)＝0(k＝1,2,⋯n-1)，那么f(n)(t)＝pnL[f(t)]91

6.积分定理

证明设那么g′(t)=f(t),g(0)=0由微分定理L[g′(t)=pL[g(t)]-g(0)=pL[g(t)]得927.像函数的微分定理证明在拉氏变换定义式两边对p求导，得继续作下去，可得式(12.3.29)938.像函数的积分定理证明由拉氏变换的定义式出发，交换积分次序，得

在Rep>s0是一致收敛的，上面交换积分次序是“合法的〞949.卷积定理L[f1(t)＊f2(t)]=L[f1(t)]·L[f2(t)](12.3.31)证明由卷积及拉氏变换的定义出发，交换积分次序，作变量代换u=t-t，可得95下限可写成零，将exp(-pt)提出积分号外，有计算对上式作逆变换，即有由于当u<0时f(u)=0的积分96根据梅林定理导出拉普拉斯变换普遍的反演公式-展开定理10.展开定理展开定理假设当一致地趋于零，且只有有限个孤立奇点bk(k=1,2,⋯)，那么97证明梅林公式为梅林公式的积分路线是p平面上与虚轴平行的直线l(图12.4)为了运用留数定理进行计算，选择一条闭合回路L：以坐标原点为圆心,R为半径作一圆弧CR，使CR与L构成一闭合回路L=CR+l98仿照假设当引理，可以证明回路L由l+CR构成，由上式及留数定理可得式中bk为在p平面上有限远处的全部奇点。拉普拉斯变换的存在定理指出，[在直线L的右侧解析]99【例12.3.4】解首先将之积，其中由式(12.3.13)得其拉氏逆变换为100由例得其拉氏逆变换为差一个因子p，利用微分定理于g(t)=te-b

t,便有其拉氏逆变换为101将式(12.3.33)及式(12.3.35)代入卷积定理

对上式作拉氏逆变换，因为已假设作拉氏变换的函数满足存在定理的条件(1)，即函数的宗量小于零时,该函数为零.由t-t≥0及t≥0得t的积分区域为0到t102据此得

最后的等式是利用分部积分法求得的.103【例12.3.5】求解常微分方程的初值问题(1)对初值问题作拉氏变换.利用微分定理及初始条件可得(2)求解像函数解上述代数方程，得104(3)对像函数作拉氏逆变换.利用卷积定理可得由例得C0ch(at)及[C0/a]ch(at)

105将以上三式代入式(12.3.36)，得106【例】解f(p)为多值函数，支点为-1到∞。从-1到-沿负实轴作割线，规定割线上岸(p+1)的辐角值为p，割线下岸辐角为-p：选择积分回路L如下图.试利用展开定理，求f(t).107对于圆弧Ce上的p，有|p+1|=e由小圆弧引理得由在回路L内部解析,故回路积分为零108根据梅林公式及留数定理得109作变量代换u=x2，利用欧拉积分

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