第五章 不定积分56276

§1不定积分的概念

引例

第五章不定积分

(1)xoy平面上一曲线过点（0，1），并在点(x,y)的斜率为ex-1，求此曲线。(2)一质点在时刻t以速度v(t)=2t-1运动，求质点从初始时刻t=0到时刻t所经过的距离f(t)．这两个问题和我们在第三章遇到的问题正好相反！要解决这类问题，必须学习不定积分一、

原函数与不定积分设函数f的定义域为区间i,若存在i上的可微函数f,使f

(x)=

f(x)(x∈i

).则称f(x)为

f在区间i上的一个原函数.注①:若f(x)在区间i上连续，则在下一章我们将知道f(x)在区间i上存在原函数.即：连续函数必有原函数.注②:若f(x)=

f(x),则c∈r,有[f(x)+c]=f(x)=

f(x).这就是说,若

f(x)有原函数,则

f(x)有无限多个原函数.

注③:若f(x)和g(x)都是f(x)的原函数,则[f(x)g(x)]

=f(x)g

(x)=0.故f(x)g(x)为常数——f(x)的任两个原函数相差一个常数.这就是说,若f(x)有一个原函数f(x),则f(x)的其他原函数都可以写成f(x)+c,

其中c为某个常数.注④:设f(x)为f(x)在区间i上的一个原函数.我们用{f(x)+c，c为任意实数}表示f(x)在区间i上的全体原函数.

定义

函数f(x)在区间i上的全体原函数称为f(x)在区间i上的不定积分.记为称为积分符号,f(x)称为被积函数,

f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.若f(x)为f(x)在区间i上的一个原函数，则=f(x)+c.其中c称为积分常数.注⑤:求已知函数的不定积分就是求它的一个原函数,再加上任意常数c.

其中例1

求解解例2

求解例3例4解例5解例6

设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为显然,求不定积分得到一积分曲线族.这些积分曲线在相同横坐标处的切线斜率是相同的,因此在这些点处的切线是互相平行的.由不定积分的定义，可知结论：求导数(微分)运算与求不定积分的运算是互逆的.二、不定积分的几何意义三、不定积分的性质性质1此性质可推广到有限多个函数之和的情况性质2不为零的常数可以提到积分符号外面.性质3

两个函数代数和的不定积分等于函数不定积分的代数和.

由于求不定积分是求导的逆运算,因此由基本导数公式，有基本积分公式.积分公式导数公式

1.2.§2基本积分公式和直接积分法3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.例1

求积分解根据积分公式例2

求积分解注意检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看其导数是否等于被积函数练习例3

求积分解例4

求积分解例5

求积分解例6求积分解例7

求积分解例8

求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能利用性质和基本积分表求出结果.----直接积分法练习引例的解决

(1)xoy平面上一曲线过点（0，1），并在点(x,y)的斜率为ex-1，求此曲线。解:设此曲线为y=f(x),则f’(x)=ex-1,f(0)=1因而得

f(x)=ex-x.(2)一质点在时刻t以速度v(t)=2t-1运动，求质点从初始时刻t=0到时刻t所经过的距离f(t)．解:

f’(t)=v(t)=2t-1,f(0)=0因而得

f(t)=t2-t.直接利用基本积分表和直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法——换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。§3

换元积分法

问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法说明结果正确将上例的解法一般化：设则如果（可微）将上述作法总结成定理，使之合法化，可得——换元法积分公式第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.定理1例1

求解（一）解（二）解（三）例2

求解一般地例3

求解注意：分子拆项是常用的技巧例4

求解例5

求解例6解例7

求解例8解例9

求解例10

求解例11

求解例12

求解例13

求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例14

求解例15解例18.

例16.例17.

类似可得例19.或=ln|tanx+secx|+c.=ln|tanx+secx|+c.

第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。类似可得问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法证设为的原函数,令则则有换元公式定理2第二类积分换元公式例1.求下列不定积分.(1)解:令则=2u2ln|1+u|+c(2)

解:令则

解:令则说明当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例2

求解令例3.

求

(其中a>0).解:令x=asinu,则

例4

求解令例5求解令注:巧用凑微分法,可迅速解决上述问题.事实上,

又如:

说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。说明(2)

积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.例6

求（三角代换很繁琐）解令例7

求解令说明当分母的阶较高时,可采用倒代换例8

求解令基本积分表

前面我们在复合函数微分法的基础上，得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法——分部积分法，它是两个函数乘积的微分法则的逆转。§3分部积分法

问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式注分部积分公式的特点：等式两边u,v互换位置分部积分公式的作用：当左边的积分不易求得，而右边的积分容易求得利用分部积分公式——化难为易例1

求积分解（一）令显然，选择不当，积分更难进行.解（二）令分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v一般来说，u,v选取的原则是：（1）积分容易者选为v（2）求导简单者选为u分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。例2

求积分解（再次使用分部积分法）总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)例3

求积分解令若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.这样使用一次分部积分公式就可使被积函数降次、简化、代数化、有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。例4

求积分解总结例5

求积分解注：本题也可令分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一定要加上积分常数c例6

求积分解注意循环形式例7解有些积分还要结合分部积分法、换元积分法综合求解例8练习注：

有些积分的被积函数的原函数虽然存在,但原函数却不能用初等函数表示出来.通常把被积函数的原函数不能用初等函数表示出来的积分称为“积不出来”的.例如这几个例子已被刘维尔于1835年证明.liouville[法](1809~1882)

例1.设a>0,则例2.设a≠0,则例3.

例4.例5.例6.例7.例8.

例9.例10.例11.=arctan(x+2)+c.

例15.例16.

例22.计算不定积分解:(法一)令则