套利定价理论假设Arbirage

Financemanagement

ArbitragePricingTheory,APT

LecturebyHua-Ching,Cheng,PhDMay,03,20042023/1/131ArbitragePricingTheory前言Forward套利定價理論假設ArbitragePricingTheoryAssumptions

套利定價模式Arbitragepricingmodel實證與測試ProofandtestAPTAPT與CAPM比較2023/1/132標準CAPM模式是基於平均值-變異數組合理論分析。投資者最好投資是基於選擇期望報酬與變異數

E(Ri)=Rf+β（E(Rm)-E(Rf)）Roll’scritique（1977）CAPM中，市場投資組合（Marketportfolio,

E(Rm)）是所有證券平均值與變異數效率組合。

這種組合是事後效率（Expostefficient）,所以應該沒有證券可以得到任何異常報酬（nosecuritieshaveabnormalperformance），但事實上證券組合存在異常報酬。

因此所有證券所組成的市場投資組合不會是有效率組合（AnyExpostinefficientindexispossible）1.前言2023/1/1332.APT假設Ross(1976,JET)發展套利定價理論

ArbitragePricingTheory(APT)。從套利的觀點來看資產價值訂定。

APT模式主要是基於套利單一價格法則（thelawofoneprice）:

一種資產不會有兩種價格（twoitemsthatarethesamecannotsellatdifferentprices.）原來平均值變異數的架構替換成證券報酬產生的過程

（theprocessgeneratingsecurityreturns.）APT模式，報酬產生過程是多指數模式（multi-indexmodel）也就是說報酬率是由很多變數所影響，β只是其中一項，還有很多因素會影響報酬率的形成的。2023/1/134APT假設同CAPM中所設定的均衡模式條件消費者也是相同的預期（homogenousexpectations）。不同的是不必對投資者的效用函數作假設。2023/1/1353.APT模式說明基本型式（Factoranalysis）

Ri=E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…+bikFk

＋εiRi=第i個資產隨機報酬率E（Ri）=第i個資產期望隨機報酬率bik=第i個資產報酬率對第k個共同因素的敏感程度Fk=所有資產所面對的第k個共同因素εi=第i個資產報酬率函數式的殘差2023/1/136Ri＝E（Ri）

＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…＋εiR1＝E（R1）

＋b11F1＋b12F2＋b13F3＋…＋ε1R2＝E（R2）

＋b21F1＋b22F2＋b23F3＋…＋ε2R3＝E（R3）

＋b31F1＋b32F2＋b33F3＋…＋ε3R4＝E（R4）

＋b41F1＋b42F2＋b43F3＋…＋ε4R5＝E（R5）

＋b51F1＋b52F2＋b53F3＋…＋ε5Rp＝ΣwiE（Ri）＋Σwiβi1Fi＋…＋Σwiεi＝ΣwiE（Ri）2023/1/137理論上，當殘差項為0，報酬可以為所有因子所解釋，截距E（Ri）為預期平均報酬共同因子F的係數b，稱為因素負荷量factorweightorfactorloading.共同因子F有下列關係存在，COV（Fi,Fj）=0

Cov(εi,εj)=0

Cov(Fi,εi)=0且εi～n（0,σ2）2023/1/1384.重要APT條件Σwi＝0

在沒有套利的機會下，增加某一證券比重，就要減少其他證券持有的比例。套利不會增加投資者財富。

Rp＝ΣwiE（Ri

）＋Σwibi1Fi＋…＋ΣwibikFk+Σwi

εiwi≒1/n，n→∞，Σwibik＝0

在多個不同共同因素結構中，在沒有套利的機會下，不會因為操弄不同的因素，利用不同因素權重的比值，可以獲得額外的報酬。Rp＝ΣwiE（Ri

）＋Σwibi1Fi＋…＋ΣwibikFk＝ΣwiE（Ri）ΣwiE（Rik

）＝0

表示在沒有套利的機會下，任何風險資產的組合，不會獲得額外的財富。﹌2023/1/139Chen,RollandRoss(1986,JoB)usemacroeconomicvariablessuchas.thegrowthrateinindustrialproduction,unexpectedinflation,thetermstructureofinterestrates,andriskpremiaBurmeisterandMcElroy(1988,JoF)alsousemacroeconomicvariablessuchasadefaultrisk,timepremium,unexpectedinflation,changeinexpectedsales,etc.Sharpe(1982,JPM)usesfinance/accountingtypevariablessuchasthereturnonthemarket(S&P500),dividendyield,returnonlong-termbonds,firmsize,etc.5.APT多指數實證研究2023/1/1310APT多指數影響響因素工業生產指指數成長率率（IP,growthrateofindustrialproduction）不同等級債債券殖利率率之差（riskpremium）：等級較較差債券負負擔較高風風險溢酬，，隱含市況況不佳，投投資人悲觀觀，對報酬酬率為負面面影響。不同到期日日債券利率率之差（Termstructureofinterestrates）：正常情況況下，長期期債券利率率大於短期期利率。石油危機，發生生高通膨，，兩者利率率差加大，，若沒有通通膨壓力，，與報酬率率正相關不同預期的的通貨膨脹脹率（Unexpectedinflation）2022/12/31116.APT驗證基本上有兩種種方法驗證APT.第一種方法是是使用因素分分析法第二種方法是是採用FamaandMacBeth(1973,JPE)兩階段步驟使用第一種方方法如本章前前所述。APT是一個報酬產產生的多指數數模式Ri=E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…+bikFk＋εi2022/12/3112第二種方式，，一樣先算出出因素分析再利用因素負負荷組成風險險價格（theprice's('s)ofeachrisk）在均衡時，找找出期望報酬酬在各個因素素負荷下的最最適組合FamaandMacBeth(1973)兩階段步驟2022/12/3113APT第二種種方法法說明明使用APT，將所所有投投資組組合構構成一一個平平面1and2arethereturnsforbearingrisksassociatedwithindices(orfactors).iarecalledfactorprices（因素素風險險價格格）andbijarecalledfactorrisks（因素素風險險）.ThisistheequilibriummodelproducedbytheAPTwhenreturnsaregeneratedbythetwo-indexmodel.2022/12/31146.APT例題講講解如果能能夠完完全多多角化化，僅僅會存存在系系統風風險。。影響系系統風風險，用b‘s因子負負荷量量表達達.投資人人可可用APT多指數數模型型說明明均衡衡狀況況。為求簡簡化，，設兩兩個指指數模模型。如下2022/12/3115例題討論2022/12/3116從上述三個個組合，可可以產生一一個均衡平平面的資訊訊可以用bi1,bi2因素負荷，作成一個平平面將例題數據據bi1,bi2帶入，求聯聯立方程式式，可以得得到下列公公式與's.這一條就是是APT模式下，均均衡報酬率率公式2022/12/3117如前述，期期望報酬與與風險因子子的關係下下。2022/12/3118將b‘s帶入公式假設另有一一組合E，期望報酬酬E(RE)=15%,bE1=0.6與bE2=0.6.另一組合D，其組合是是由前面ABC三種證券所所組合，各各三分之一一D=A+B+C.使用前述報報酬率公式式，E(RD)=13%.組合D計算公式如如下：比較市場上上組合D與E2022/12/3119經由這樣的的組合，投投資者在組組合D與E，兩組風險險是一樣的的，都是b=0.6。風險一樣，，但兩組的的報酬率不不同，組合合E是15%,組合D卻只有13%，會產生套利利機會。根根據單一價價格法則，，兩個組合合應該會有有相同報酬酬，只有一一個報酬。。這時候，期期初，套利利者可以賣賣空組合D，比如說賣賣空(+€100)，同時買入入組合E，支出(-€100).假設套利者者的套利組組合，符合合前述零投投資（zeroinvestment），零系統風風險（zerosystematicrisk），因此這個個買進賣出出，沒有增增加投資額額，期末，卻可以增加加每€100.有期望獲利利€2。套利者會持持續套利到到組合E降到A,BandC(andD)的組合平面面上。也就就是說組合合E應該會降到到13%報酬率。證明套利的的過程2022/12/3120假設若存在在下列三種種情形組合合A.bp1=0 bp2=0B.bp1=1 bp2=0C.bp1=0 bp2=1在組合A中，E(RA)=0whichisthereturnonazero-bportfoliowhichwecallRF（無風險利利率）ifarisklessassetexists.在組合B中，E(RB)=RF+1whichimpliesthat1=E(RB)-RF.在組合C中，E(RC)=RF+2whichimpliesthat2=E(RC)-RF.上述這些特特殊情形表表示，j是異常報酬酬，異常報酬高高低會受風風險資產的的影響。(onlysubjecttoriskj)套利特殊狀狀況說明2022/12/31217.APT與CAPM比較研究Chen,RollandRoss(1986,JoB),BurmeisterandMcElroy(1988,JoF)andSharpe(1982,JPM)allfindthatvariousfactorsaresignificantandtheirresultssuggestthatCAPMcanberejectedinfavourofAPT.WhiletheAPTmodelismoregeneraltheCAPMitdoesnotsayanythingaboutthesizeorsignsofthefactorprices('s).Thefactors(I’s)aredefinedforCAPMbutnotdefinedbyAPT.2022/12/31228.APT與CAPM公式證明明TheexistenceoftheAPTmodelisnotnecessarilyinconsistentwithCAPM.假設一個個指數時時。Supposethatassumedmulti-indexmodelforgeneratingreturnsonlydependedononeindexnamelythereturnofthemarketportfolioTheAPTequilibriummodelisThisisthestandardCAPM.2022/12/3123Ifthereturngeneratingprocessismorecomplexasimilarresultholds.Considerthetwo-