《科学与工程计算基础》总复习

5(aa)5(aa)W|a|5a+la|5a12 2 1 11 2(2)函数值的相对误差公式5a+5a1 2+a土a总复习一、有效数字与误差界(1)两数和、差、积的绝对误差与相对误差公式如下:125(a土a)W5a+5a,5(a土a)W1212 12对一元函数y=f3)，若x有绝对误差5x，则f(x)有绝对误差5f(x)=|f'⑴I5x,厂(x)1从而相对误差为：5f(x)1 1例1设例1设a=1-21，侦3.65,a3=9-81均为有效数字,试求a-a1误差.,a+a+a,aa+a的相对1 2 1 2 3 1 2 3解：因a15a110-25a5a110-25a——1aiW竺X10-2，1.21 ，5a2a2W~05x10-23.655a3a2W些X10-23.65从而5(a一a5(a一a)W5a——1a土a+5a——2=0.4098x10-25(ar15a+5a+5

|a+a+a3=0.1022x10-25(aa5(aa+a)W5(aa)+5a WTOC\o"1-5"\h\z… 1_5(aa)Wa5a+a5a,5(aa)W5a+5aWx10-2+x10-212 2112r12r1r2 2 23x0.5x10-2 小 =0.1054x10-21.21x3.65+9.81

例2设计算球体积允许其相对误差限为1%,问测量球半径的相对误差限最大为多少?解：记球的半径为R，体积为V，贝05VW1%.4一，一由公式：V=3兀R3，得到V=4兀R21w—%=0.33%.3V' 4冗R2 51w—%=0.33%.35V-一5R-——5R=3一W1%n—'V 4兀R3 R R3二、线性方程组的追赶法及迭代的收敛性1.追赶法对一个三对角矩阵（3x3阶）bia2cib2a如果我们要将它分解成一个单位下三角阵与一个上三角矩阵的积，即bc_1 一ud1111abc=l1xud2222对一个三对角矩阵（3x3阶）bia2cib2a如果我们要将它分解成一个单位下三角阵与一个上三角矩阵的积，即bc_1 一ud1111abc=l1xud222222abl1u3333332满足如下关系:则系数12,l3,u,叮ud]=C]，al一一2-2u1a=b—lc;l=-32 21 3u2b3-1c例3用追赶法求解线性方程组，并写出矩阵L和U./2-10、rx)r311-12-1x=—12、0-12,x，3r2-10)_1udr3)11-12-1，L=l1，U=ud，b=—1222[0-12>l31u31V7由追赶法得解：设Ai1=c2=-1，=a2=c因b一b2=b3=2,d]=d2=-1，Uj2,u=b—Ic=2—3 3 32-2——x3a-1l=-2-2u1(-1)=3-1=2——x2（-1）=27 a —1 2l一—=——=3u232L=-1L=32-132-132-1「x13「x1-2-1111x=—nx=2221X4X33———L3」12——31七1-31「y11「311—21_y2yL3」=-1_1_ny2yL3」-—24_3_由Ly=bn2.关于迭代的收敛性问题对迭代格式X(k+1)=Bx(k)+f（1）上述迭代格式产生的向量序列收敛于方程组X=Bx+f的精确解x*的充要条件是迭代矩阵B的谱半径P（B）<1利用性质P利用性质P(B)<||B，可以得到收敛的一个充分条件是:（2）若有B<1，则由上述迭代格式产生的向量序列收敛于方程组X=Bx+f的精确解X*且有误差估计式:<||B||<质X<||B||<质X(k)—X(k-1)及X(k)一IBIIk<1-IBIIX(k)一X(0)记e=x(k)—x*，e=x(k)—x(0)，上式可以写成k 0BllBllk日%"或者||%||一1-||B||从中可以求出满足一定精度所需的迭代次数.例4设X*表示线性方程组Ax=b精确解，现用迭代格式x（k+i）=Bx（k）+f进行求解，其中P（6）=0.8,记误差向量e二球）-尤*,如果要求计算精度达到||e||/||e|<10-6,试估计大约需

k k0要进行多少次迭代.||eII||Bh解:要使|惭|/匕怀1。-6,因甘V品及P（8）<|㈣将B近似地用谱半径P（8）代替则如果帘GS如果帘GS那么||叮化|<1。一6.由p(B)k5四 <10一6得到1-P(B)（0.8）^<（1-0.8）x10-6算得*N70.即至少需要70次迭代才能满足要求.'2例5'2例5设有线性方程组1-1111丫气所以，J-迭代矩阵为(0所以，J-迭代矩阵为(0B=D-i(L+U)二-171解：因-11)'000）1000、A=111,L二-100,U=00-1,D=0101一2）-1<00<00-2>=±吃=±吃2,32GS-迭代矩阵为(012_n~21B=(D—L)-iU二G-S01~21~2_1~2)0k0由总_当日3+7=。，得到特征值为：L1 11由凹一匕_」=从2+"）2=°，得到特征值为：“°，气,3==’5气」=2<1所以，J-迭代发散，GS-迭代收敛。注意：在具体计算时，为了方便可以用|人。-L-U\=0计算J-迭代的特征值，用|从D-L)-U=0计算GS-迭代的特征值。本例中，|XD-L-U=0即1人1=01 1 -2人人-1 1人(D-L)-U\=0即人人1=0XX-2人三、分段插值(三次样条插值)Newton插值多项式例6设给定数据x11.502f(x)1.502.501.005.50⑴作出函数沁的均差表；⑵写出牛顿3次插值多项式%⑴.解：(1)xkf[x]kf[xk,xk"f[xk'xk+1'xk+2]f[x'kx'x'x]k+1k+2 k+301.001.50-1.00—am2.00--0.50—1nn4.00-1.00—1m=0.501-01.5八=1.00-02八 =1.50-011.502.50-1.501 1 =2.001.5-16.002—2.00—■—=4.00-11.52.505.50—2.50c1仁=6.002-1.525.501 3 3、(2)N(x)=1+亏(x-0)+(x-0)(x一1)+2(x-0)(x一1)(x一方)/八3 ,八,3、=1+—x+x(x一1)+—x(x一1)(x-—)2 2三次样条插值例7对于给定的插值条件x0123f(x)0110求出满足边界条件s'(0)=1，s'(3)=2的三次样条插值函数.解：记x=0，x=1，x=2，x=3；f(x)=0，f(x)=1，f(x)=1，f(x)=00 1 2 3 0 1 2 3

计算二阶差商:x.f(x.)f[x.,x.+『f[x—1，x^,x^+]]001110_121-1_130注意到：X—X=尤-尤=X—x=h=1,所以10 2 13 2- 1四.=气=2i=1，2(f'(x0)=广(°)=S«)=1)d0=(f'(x0)=广(°)=S«)=1)0d3=分f'(七)-f[xn—1,七])=6x(2—(—1))=18(f(x)=f'(3)=s，(3)=2)n—11(1(一2)=—3•所以以于M0,M1,M2,d=6f[x,x,x]=6x(——)=—3,d=6f[x,x,x]=6x•一- 2 -。M3的方程组为:2121001210220121220012M-0_0M—31=M一32M18L3」——下面用三对角方程的追赶法求解。四、代数精度例8求积公式j1f(x)dxeAf(0)+Af(1)+Bf(0)0 0 1 0已知其余项的表达式为R(f)=kfp，&e(0,1).试确定系数A0,A1,B0使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出该求积公式的余项和代数精度的次数解：当f(x)=1时，j1f(x)dx=1 nA0+A]=1

当f(x)=x时，j当f(x)=x时，j1f(x)dx0j1f(x)dx=0当f(x)=x2时，1—2131nA+B=-1 02nA=113代入求得：A=203A=-13j1f(x)dxe2f(0)0 3此取B=1061+3f⑴+从而1,-f'(0)6且求积公式的代数精度至少为2,能否更高有待验证.为j1f(x)dxJ1x3dx=4，而TOC\o"1-5"\h\z1 1. 1-f(0)+-f(1)+-f(0)=-3 6 3说明当f(x)=x3时不能使求积公式准确成立，因而该公式只有2次代数精度.下面考虑余项，设j1f(x)dx=2f(0)+1f⑴+1f'(0)+kf〃'(&)0 3 3 6将f(x)=x3代入，得到11 1=房+3!knk= —，即余项为3 721R(f)=—f性)，&G(0,1).五、数值微分例9下表给出了函数y=sinx在各点的值:xsinxxsinxxsinx0.8800.77073890.9000.78332690.9220.79681170.8850.77391500.9050.78642520.9250.79862080.8890.77644190.9100.78950370.9400.80755810.8900.77707170.9110.79011710.9500.81341550.8950.78020910.9200.7956016假设cos(0.900)=0.62160997，试(1) 分别就步长h=0.01，0.02利用三点公式1f'(x)y[—3f(x)+4f(x+h)-f(x+2h)]0 2h 0 0 01f(x)e [—f(x—h)+f(x+h)]及0 2h 0 0计算f'(0.900)，并对f'(0.900)计算截断误差，结果列于表中..无 利用公式h二3：二(£=0.0000005)选择最优步长，计算f'(0.900)，并比较结果.opt\M…、 1一利用中心差商公式f'(x)e [-f(x-h)+f(x+h)]就步长h=0.02运用外推法外推0 2h 0 0二次计算f'(0.900)，比较结果.解：(1)步长h=0.01，0.02时的f'(0.900)计算结果列于下表：(2)当£=0.0000005时，由h广*~m，可以算得最优步长为h=30.0000015F011opt利用上面两个公式计算f'(0.900)的结果见表格.(1)f(0.900)\f-f'(0.900)|(2)f'(0.900)f-f'(0.900)|h=0.010.6251253.52x10-30.62159969.97x10-6h=0.020.622145.30x10-40.62156754.247x10-5h=0.0110.6215466.397x10-5计算表明：中心差商公式的精度明显三点公式；最优步长的选择与精度£有关，对中心差商公式要得到较好的计算步长，必须进一步提高计算精度如取£=0.00000005=0.5x10-6，则可算得最优步长为h=0.011，且可算得f'(0.900)=0.621607,误差为：2.89x10-61(3)记G(h)=“[-f(x-h)+f(x+h)]，由上面算得2h 0 0G(0.02)=0.6215675，G(0.01)=0.6215996，G1(0.02)=0.6215675，G(0.01)=0.6215996，G(0.02)=4G](0.01)-G](0.02)=0.6216103，1 2 4-1误差：If