电路-第17章课件

第十七章网络图论基础(电路方程的矩阵形式)第三章中,我们曾介绍过几种有效的电路分析方法,如回路法和节点法等.当电路规模较小,节构简单时,上述电路方程不难由人工用观察法列出。在实际中特别是工程应用中,电路的规模日益扩大,结构日趋复杂。为了便于借助于计算机的辅助来进行电路分析，有必要发展一种系统化建立电路方程的方法，而且便于用计算机来求解方程，还要求这些方程用有规则排列的矩阵形式来表示。本章主要介绍利用数学的一个分支——图论将电路的方程写成矩阵形式及其系统建立法。它是电路的计算机辅助设计和分析所需的基本知识。在此特别说明，我们建立方程的依据，仍然是KCL、KVL、VCR。在第三章中，已经介绍了有关图的定义及有关回路、树等基本概念。在此，补充介绍割集的概念，并介绍与树有关的基本割集组。

§17—1图论及网络的图一、数学的一个分支——图论(Graphtheory)(又叫做不量尺寸的几何学、位置几何学、橡皮膜上的几何学等)问题的引出：1736年（18世纪）创始于哥尼斯堡七桥问题。在普鲁士帝国首府ABCD加里宁格勒(现俄罗斯联邦的加里宁)问题：是否有这样一条路径存在，从任一地点出发每桥只过一次，且都通过，然后再反回原地。即是否有单行线存在。后瑞士数学家欧拉（1707年——1783年）用点代表陆地，用线代表桥，将上图改变成一个只有点和线的图，在此图中用数学的方法加以证明得出结论：存在“单行线”的充要条件是：奇次顶点（连于该点的线数为奇数）数目为0。当奇次顶点数目=2时：各桥可以过且仅过一次，但不能反回出发点，有时也称有“单行线”。当奇次顶点数目>2时：不存在“单行线”。此桥不存在“单行线”ABCD1845年基尔霍夫运用图论解决了电网络中列写求解联立方程问题。二、电路的图1、图（Graph）：电路的“图”是节点和支路的集合。其中节点用“点”表示，支路用“线”表示。这样就够成了电路的“图”。例如：有一电路如图所示以此来说明电路的图＋－uS1R1R2R3R4R5R6iS22、说明：(1)、如果以一个元件做为一条支路，则有图G。其中：b=8条，n=5个。G＋－uS1R1R2R3R4R5R6iS2(2)、为了简化图，也可以将电路中的uS1和R1的串联及iS1和R2

的并联视为两条支路，则有图G。＋－uS1R1R2R3R4R5R6iS2其中：b=6条，n=4个。G3、连通图与非连通图：由图上任一点经若干支可到达其余所有节点的图叫做连通图。若有一点达不到的图即为非连通图。4、子图：由图的部分节点、支路组成的图叫做子图。图G图G的一个子图不是全通图5、全通图：任意两节点之间，有且仅有一支相连的图。如图G为一个全通图。图G是无向图图G1是有向图6、有向图与无向图：标有各支路u、i关联参考方向的图

叫做有向图。不标者为无向图。7、树(tree)用“T”表示(1)、定义：连通图中符合下列条件的子图称做“树”。

1°

是连通的;2°

是含全部节点的;3°

不够成闭合回路的。例如：14235678G25678G2258G314235678GG2、G3则不是G的树。当n=10时，108=1亿种树。(3)、树的性质1º、树中任两节点之间，有且仅有一条路径。2º、对n个节点b条支路的连通图，其树支数：t=n－1连支数：l=b－(n－1)树支：G中属于树的支路（treebranch）。树支集合是连通所有节点的最少支路集合。连支：G中不属于树的支路（linkbranch）。连支集合又称为“树余”或树补。(2)、树的种类（数目）：对n个节点的全通图，有种树。8、回路（loop）(1)、定义：途径各节点均相异的闭合路径。不是回路是回路(2)、性质：1º、

组成回路的各支路电压服从KVL2º、每一回路至少包含一个连支(树支不含回路)(3)、基本回路:1°、定义：每一连支与有关树支能够成唯一的一个回路，叫基本回路，也叫做单连支回路。2°、对于n个节点b条支路的全通图，有基本回路：

L=b－(n－1)个，即,基本回路数=单连支回路数=独立回路数。例如：123456G1234569、割集(1)定义：将连通图G分离为两个部分时，需移去的最少支路的集合称为G的一个割集。用Q1，Q2

…表示。例如，对于图G来说：abcdefGabcdefabcdefabcdefabcdefQ1、Q2、

Q3、Q4分别是图G的四个割集。abcdefGabcdefabcdefabcdefQ5、Q6、

Q7分别是图G的另外三个割集。(3)、割集的确定一般可以用在连通图G上作闭合面的方法来判断确定一个割集。如在G上做一闭合面，使其包围G的某些节点和支路，若把与此闭合面相切的所有支路全部移去，G将被分为两个部分，则这组支路便构成一个割集。如Q1、…、Q7、…

。(4)、独立割集的概念如对割集列KCL方程，可列出与割集数相等数目的KCL方程，但是这些方程并非都是独立的，所以，对应于一组线性独立的KCL方程的割集称为独立割集。下面介绍，借助于“树”来确定一组独立割集的方法。1°、基本割集

①、定义：由树的一条树支与相应的一些连支所构成的割集称为单树支割集或基本割集。例如：在图G中，b1、b2、b3、b4、b5、b6、b7为树支，构成树T。

l1、l2、l3、l4、l5、l6、l7为连支，做一闭合面后，与其相切的支路是：GQ1②、基本割集的性质A、对于一个具有n个节点b条支路的连通图G，其树支数为(n–1)，因此，将有(n–1)个单树支割集，称为基本割集组。由于一个连通图G可以有许多不同的树，所以，可选出许多基本割集组。如下图：选树为（2、3、4、6）则基本割集组为：构成一个基本割集。Q1GQ2Q3Q4Q1（2、1、5、7、8）Q2（3、1、5、8）Q3（4、1、5）Q4（6、5、7、8）可见，大规模的电路图，如果列方程求解的话，无论用节点电压法或回路电流法，最终列出来的方程组中各独立变量前的系数均将形成一个矩阵的形式。，所以，如果作一些人为的规定后，各系数矩阵中的各元素可以按一定的规律写出，这样我们列方程就规律性更强了。为了系统的列方程，下面先介绍几个矩阵的写法！§17—2图的矩阵表示和KCL、KVL方程的矩阵形式一、关联矩阵在有向拓扑图中支路与节点相关联：设一条支路连接于某两个节点，则称该支路与这两个节点相关联。1、关联矩阵的定义：描述支路与节点的关联性质的矩阵，称为

关联矩阵。用

a来表示。

a中的各元素为aij

,i为节点,j为支路。2、关联矩阵

a的构成：表示支路j与节点i关联，并且它的方向背离节点。表示支路j与节点i关联，并且它的方向指向节点。表示支路j与节点i无关联。例如：有向图G的关联阵为：345261G支路123456节点-1-1100000-1-1011001100100-1-1=a3、关联矩阵的性质（1）、如有向图的节点数为n,支路数为b,则关联阵

a必为(n行b列)阶的矩阵。电路中的b条支路电流可以用一个b阶列相量来表示,即:i=

i1i2…

ibT若用矩阵左乘电流列向量i,则乘积是一个(n–1)阶列向量,且按矩阵相乘规则可知,它的每一个元素即为关联到对应节点上各支路电流的代数和,即(加“T”表示是转置矩阵)Ai=节点1上的i节点2上的i节点(n–1)上的i(n-1b)(b1)(n-11)因此Ai=

0(n-11)例如,对图G:345261G=-1-1100000-1-101100110i=

i1i2i3i4i5i6TAi=-1-1100000-1-101100110i1i2i3

i4i5

i6=-

i1-i2+i3-i3-

i4+i6

i1+

i4+

i5=0006、用矩阵表示的KVL形式电路中,b个支路电压可以用一个b阶列向量来表示,即:u=T

u1u2

…

ub(n–1)个节点电压可以用一个(n–1)阶列向量来表示,即:un=T

un1un2

…

unn-1因为,表示节点对支路的关联性质,而的转置矩阵T则表示支路对节点的关联性质。即,的一列对应T的一行。所以,u=Tun(b1)(bn-1)(n-11)例如,对图G:345261G

un1

un2

un3u1u2u3u4u5u6=-101-100-100-11001010=-un1+un3-un1

un1-un2

-un2+un3un3

un2(b1)表示支路j与回路i关联，且它们的方向一致。表示支路j与回路i关联，且它们的方向相反。表示支路j与回路i无关联。二、回路矩阵支路与回路相关联:设一个回路由某些支路组成,则称这些支路与该回路相关联。1、定义:描述支路与回路的关联性质的矩阵称为回路矩阵。一般指独立回路矩阵,用B表示,B中的元素为bij

,i为回路,j为支路。2、回路矩阵B的构成例如：有向图G中可有3个独立回路,则对应的回路矩阵为：345261G345261G3561145633262支路123456回路1231010-110110010001-11=B3、回路矩阵B的性质对于具有l个独立回路,b条支路的有向图而言、回路矩阵B必是一个(lb)阶的矩阵。(2)、因为构成B时选的是独立回路，所以B中的每一行是彼此独立的。4、基本回路矩阵在构成回路矩阵时，如果所选的独立回路是对应一个树的单连支回路组，则这种回路矩阵称为基本回路矩阵，用Bf来表示。构成Bf时注意:(规定)(1)、把回路的绕行方向选的与连支的方向一致。

(2)、将b–l条树支排列在Bf的前面，把l条连支依次排列在对应于Bf的后面第b–l+1至第l列。则Bf一定具有下列形式:Bf

=Bt1l是ll阶的单位子矩阵l表示与连支对应的部分是ln-1

阶的矩阵t表示与树支对应的部分例如前面图G的基本回路为:选为树支3、5、6则1、2、4,为连支有基本回路345261G支路356124回路1231-111001010100-11001=Bf3561132624563Bt1l5、用矩阵Bf表示的KVL形式回路矩阵左乘支路电压列向量，所得乘积是一个l阶的列向量。又由于矩阵Bf的每一行表示每一对应回路的关联情况，可见，列向量中每一个元素将对应于每一对应独立回路中支路电压的代数和，即：Bf

u=回路1中的u回路2中的u回路

l

中的u(lb)(b1)(l1)因此

Bf

u=

0例如前面图G中基本回路的选取不变，且设支路电压列向量为u=u3u5u6u1u2u4T(l1)345261G32624563u3

u5u6

u1u2u435611u=utul

则有：Bf

u=Bt1lutul

=0即Btut+

ul=0，

ul=–Btut则有：1-111001010100-11001Bf

u==u3–u5+u6+

u1u3+u6+

u2–u5+u6+

u4=000若将u分解为以下子块，即ut树支电压列向量

ul连支电压列向量

可见，树支电压是支路电压中的一组独立变量，所有的支路电压(b个)可通过树支电压(n-1个)来表示。1-111001010100-11001Bf

u==u3–u5+u6+

u1u3+u6+

u2–u5+u6+

u4=000以上式为例：u3

u5u6

u1u2u4ut=u3，u5，u6

T

ul=

u1，u2，u4

T∵

ul=–Btut

utu1u2u4=–

u3

u5u61-111010-11=–

u3–u5+u6u3+u6–u5+u6

ul

Bt∴=

–u3+

u5–

u6–u3–u6+u5–u66、用矩阵Bf表示的KCL形式

l个独立回路的电流可用一个l阶列向量来表示,即:il=T

il1il2…

ill按矩阵的乘法规则有：ili=TBf(b1)(bl)(l1)i表示支路电流列向量。BfT是Bf的转置矩阵，BfT

的每一行也就是Bf的每一列，BfT表示支路与基本回路的关联情况。(b1)例如对应前面图G有:三、割集矩阵支路与割集相关联：设一个割集由某些支路构成，则称这些支路与割集相关联。il1

il2

il3i3i5i6

i1i2

i4=

il1

il2

il3il1+

il2

–

il1–il3il1+

il2+il3

il1

il2il3=1-111001010100-11001134526G表示支路j与割集i关联，且具有同一正方向。表示支路j与割集i关联，且它们的方向相反。表示支路j与割集i无关联。1、割集矩阵的定义描述支路与割集的关联性质的矩阵，称为割集矩阵。一般的均指独立割集矩阵,用Q表示,Q中的元素由qij构成。例如对应前面图G,独立割集数为3,若选一组独立割集如图所示:Q2Q3i表示割集,j表示支路。2、割集矩阵Q的构成345261G345261GQ1345261G③Q3割集123Q=支路123456-1-11000100110-1-10-1013、割集矩阵

Q的性质对于具有n个节点,b条支路的有向图,因为独立的割集数=n-1个。所以,有以下性质:345261G345261G③Q1Q2345261G(1)、割集矩阵

Q必是一个(n-1b)阶的矩阵。(2)、因为构成Q时，选取的是独立割集，所以Q中的每一行是彼此独立的。4、基本割集矩阵

如果选一组单树支割集为一组独立割集，则称这种割集矩阵

为基本割集矩阵，用Qf表示。构成Qf时注意(规定)：(1)、选割集方向与相应树支方向一致。(2)、把(n-1)条树支依次排列在对应Qf的前面的第1至第(n-1)列,把l条连支依次排列在对应于Qf的后面第b–l+1至第l列。则Qf有如下形式:1tQlQf

=1t是(n-1n-1)阶的单位子矩阵t表示对应于树支部分Ql是[n-1b-(n-1)]阶的矩阵l表示对应于连支部分割集123例如对应前面图G,选支路3、5、6为树支，则一组单树割集对应于下图:345261GQ1Q2基本割集矩阵为：Qf

=支路356124100-1-10010101001-1-1-1345261G345261GQ3345261G5、用矩阵Qf表示的KCL形式前面介绍割集概念时曾指出，属于一个割集所有支路电流的代数和为零。根据割集矩阵的定义和矩阵的乘法规则不难得出：

Qf

i=

0(n-1b)(b1)(n-11)例如对应前面图G而言有：

Qf

i==000i3i5i6

i1i2

i4=+i3–i1–i2

i1+i4+i5–i1–i2–i4+i6100-1-10010101001-1-1-1若将i分解为子块：345261G(n-11)

i=i1i2i4=–

itilit为树支电流列向量

il为连支电流列向量

则：

Qf

i=1tQl

itil=0

∴it+Qlil=0

it=-Qlil对应前面图G而言有：i3i5i6

it-1-10101-1-1-1Ql

=–il-i1-

i2i1+

i4-i1-

i2-

i4可见，连支电流是支路电流中的一组独立变量，所有的支路电流(b个)可通过连支电流(b-n+1个)来表示。=

i1+i2-i1-

i4i1+i2+

i46、用矩阵Qf表示的KVL形式电路中(n-1)个树支电压可用(n-1)阶列向量来表示,即:ut=ut1ut2

…ut(n-1)T(n-11)设u为电路中的各支路电压列向量,且按照先树支后连支排列。QfT为Qf

的转置,可见QfT的每一行也就是Qf的每一列。所以QfT表示每一支路与割集的关联性质。例如对应前面图G而言,选支路3、5、6为树支,则有：345261G支路电压列相量为:u=

u3u5u6u1u2u4Tu=

QfTut(b1)(bn-1)(n-11)于是按矩阵相乘的规则可得：(b1)u=

QfTut=100-1-10010101001-1-1-1ut1ut2ut3ut1

ut2

ut3

-ut1+ut2-ut3-ut1-ut3

ut2-ut3==u3u5u6u1u2u4345261GQ1Q2Q3由图所示可见,如将树支电压视为割集电压,则各支路电压可以用树支电压(割集电压)来表示。KCL、KVL的矩阵形式(小结)P400以上介绍了降阶关联矩阵A，回路矩阵B(基本回路矩阵Bf)

,割集矩阵Q(基本割集矩阵Qf)

,以及用它们表示的KCL，KVL的矩阵形式，因为A描述的是支路与节点之间的关联情况，B(Bf)描述的是支路与回路之间的关联情况，Q(Qf)描述的是支路与割集之间的关联情况，可见三者之间似乎都离不开有向图G上的支路、节点、回路等，下面介绍它们之间的关系。§17—3矩阵A、Bf

、

Qf

之间的关系

以下的关系是在同图、同树、同正方向、同支路排列顺序的条件下成立！一、A与Bf的关系选A与Bf按先树支,后连支同顺序排列则:1、ABfT=0或BfAT=0证明:用关联矩阵A表示的KVL形式为:u=ATun用基本回路矩阵Bf表示的KVL形式为:Bfu=0

Bfu=BfATun=0方程两边取转置:(BfATun)T=(0)T(ATun)TBfT=0unTABf

T=0方程两边左乘(unT)–1(unT0)(unT)–1unTABf

T=(unT)–10ABfT=0方程两边取转置得:BfAT=0

#2、AtBtT+Al=0或BtT=–At–1Al

证明:先树支,后连支同顺序排列则:A=[AtAl],Bf=[Bt1l]ABf

T

=0ABf

T

=[AtAl]

1lBtT=0AtBtT+Al=0或BtT=–At–1AlAt–1一定存在#二、

Bf与Qf的关系1、QfBfT

=0或BfQfT

=0证明:Bfu=0,u=QfT

ut(分别来源于两种不同形式的KVL表达式)Bfu=BfQfT

ut=0方程两边取转置:(BfQfT

ut)T

=(0)T(QfT

ut)TBfT=0utTQfBfT=0方程两边左乘(utT)–1(utT0)QfBfT=0两边取转置BfQfT

=02、BtT+Ql=0或Ql=–BtT=At–1Al证明:选A与Bf、Qf均按先树支,后连支同顺序排列则:

Qf

BfT

=0QfBfT

=[1tQl]BtT1l=0BtT+Ql=0或Ql=–BtT=At–1Al三、Qf与A的关系对某些图来说,有时Qf

=A例如:选2、5、6为树，有三个单树支割集Q1、Q2、Q3。另外选节点4为参考点。此时Q3345261GQ1Q2

A=256134100-1100101010010-1-1基本割集矩阵为Qf

=Q1Q2Q3256134100-1100101010010-1-1可见Qf=A§17—4回路电流方程的矩阵形式在第三章中曾介绍了网孔电流法和回路电流法。他们的特点是分别以网孔电流和回路电流为电路的独立变量，并用KVL列出足够的电路方程。在此我们要直接写出回路电流方程的矩阵形式。因为,描述支路与回路关联性质的是回路矩阵Bf,且用Bf表示的KVL形式:Bfu=0用Bf表示的KCL形式:i=BfTil

回路电流列向量Q3345261GQ1Q2：表示支路电压；：表示支路电流；由以上两个关系式可见,还必需列出支路电压与支路电流的约束方程（简称支路约束方程）的矩阵形式,才可推出回路电流方程的矩阵形式。一、支路电压与支路电流的约束方程的矩阵形式我们以前曾定义过，独立电压源与R串或独立电流源与R的并可视为一条支路，在此我们采用所谓“典型支路”，一条典型支路一般包含几种元件并按规定方式相互联接，下面分别在3种不同典型支路的情况来推导支路电流与支路电压的约束方程的矩阵形式。1、典型支路中无受控源、无互感时的典型支路的支路约束方程以正弦电路为例，典型支路的形式如图所示：：表示独立电压源；：表示独立电流源；：表示支路阻抗(导纳),且规定它只可能是单一的电阻、电感、电容,而不能是它们的组合。：表示阻抗（导纳）上的电压。以上各电压、电流的正方向就按如图所示规定。K：表示第K条支路对于第K条支路的电压和电流的关系为：则有:为支路电压源的电压列向量为支路电流列向量为支路电压列向量为支路电流源的电流列向量于是对于含有b条支路的整个电路若设即：式中Z称为支路阻抗矩阵，它是一个对角阵,只有对角线上有元素,且为各支路阻抗。2、典型支路中无受控源、但有互感时的典型支路的支路约束方程设第1支路与第3支路之间相互有互感，则支路电压与支路电流的关系式：∵元件电压∴以上可见元件电压和元件电流的关系。∴

b条支路的元件电压和元件电流关系的矩阵形式为：或写成：另外，有互感时，支路电压和支路电流关系的矩阵形式仍成立：在Z和Y中考虑了互感。3、典型支路中无受控源、但有互感时的典型支路的支路约束方程设第1支路至第g支路之间相互均有互感（共b条支路），则支路电压与支路电流的关系式：上式中：“±”号取决于各电感的同名端和电流电压的参考方向。M12=M21，M13=M31……这样，支路电压与支路电流之间的关系可用下列矩阵形式表示：或写成：式中Z为支路阻抗矩阵：主对角线元素为各支路阻抗，而非对角线元素将是相应的支路之间的互感阻抗，因此Z不再是对角阵了！4、典型支路中含有受控电压源(不考虑互感)时的典型支路的支路约束方程对于典型支路有:将此两项合并,写成矩阵形式当受控源为VCVS时或CCVS时：rkj式中Z为支路阻抗矩阵：主对角线元素为各支路阻抗，而非对角线元素将是与控制系数有关的量。因此Z也不再是对角阵了！此时Z的形式为：j列K列为VCVS时)(当(当为CCVS时)j行K行可见，在以上3种情况下支路电压与支路电流的矩阵形式是完全一样的，而每种情况下只是支路阻抗阵Z不同而已。二、回路电流方程的矩阵形式KVL的矩阵形式:KCL的矩阵形式:支路约束的矩阵形式:(1)(2)(3)将(3)代入(1)得：将(2)代入(4)得:(4)如设电路有b条支路l个独立回路(lb)(bl)(bb)(ll)(l1)(l1)(l1)(l1)设:的主对角线上的元素为自阻,非主对角线上的元素为互阻。则回路电流方程的矩阵形式为:回路阻抗阵回路等效电源电压向量例17—1电路如图所示。用矩阵形式写出回路电流的矩阵方程。解：作出有向图，并选1、2、5为树支，两个单连支回路为1、2。基本回路矩阵为：∵无互感、无受控电压源∴+–1142352∴回路电流方程的矩阵形式为：§17—5节点电压方程的矩阵形式在此我们要直接写出节点电压方程的矩阵形式。因为,描述支路与节点关联性质的是关联矩阵A,且

用A表示的KVL形式:u=ATun

用A表示的KCL形式:Ai=0

由以上两个关系式可见,还必需列出支路电流与支路电压的约束方程（简称支路约束方程）的矩阵形式,才可推出节点电压方程的矩阵形式。一、支路电流与支路电压的约束方程的矩阵形式同前面一样,分别在3种不同典型支路的情况来推导支路电流与支路电压的约束方程的矩阵形式。1、典型支路中无受控源、无互感时的典型支路的支路约束方程以正弦电路为例，典型支路的形式如图所示：对于第K条支路的电流和电压的关系为：对于含有b条支路的整个电路若设为支路电流列向量为支路电压列向量为支路电流源的电流列向量为支路电压源的电压列向量则有：式中Y称为支路导纳矩阵，它是一个对角阵,只有对角线上有元素,且为各支路导纳。且Y=Z–1。即支路约束方程的矩阵形式:2、典型支路中无受控源、但有互感时的典型支路的支路约束方程此时,根据前面的讨论,如令Y=Z–1,支路约束方程的矩阵形式仍为:此时,Y式中为支路导纳矩阵。因为Z不是对角阵,所以Y也不是对角阵。３、典型支路中含有受控电流源(不考虑互感)时的典型支路的支路约束方程设第ｋ支路中有受控电流源并受第ｊ支路中无源元件上的电压或电流控制即：当受控源为VCCS时或CCCS时：对于第k条典型支路有:将此两项合并,写成矩阵形式对于含有b条支路的整个电路有：式中：为VCCS时)(当(当为CCCS时)式中Y为支路导纳矩阵：主对角线元素为各支路导纳，而非对角线元素将是与控制系数有关的量。因此Y也不再是对角阵了！即支路约束方程的矩阵形式:可见，在以上3种情况下支路电流与支路电压的矩阵形式是完全一样的，而每种情况下只是支路导纳阵Y不同而已。4、写支路导纳阵Y时应注意的问题：(1)、在典型支路不同的情况下，注意Y的构成：、典型支路中无受控源、无互感时，Y为对角阵,主对角上元素为各支路导纳；、典型支路中无受控源但有互感时，先写支路阻抗阵Z再求Y，且Y=Z–1，Y为不对称矩阵。支路阻抗阵Z主对角线上元素为各支路阻抗，而非对角线上元素是相应的支路之间的互感阻抗。在求Z–1时采用分块求逆矩阵的方法，把Z中具有耦合电感支路连续编号的部分画在某一子矩阵中，于是可以通过这一子矩阵的求逆运算来求得导纳矩阵Y。从而减轻了计算工作量；如设第j、k两支路间有互感。（设两电流的流进端为同名端），则支路阻抗阵Z的形式一定有：Z=jkjk令子矩阵Z11、

Zjk、Zbb抽出分别求逆矩阵，便可求得Z的逆矩阵，在三个子矩阵中，Zjk的求逆是关键。Z11ZbbZjk、典型支路中含受控源(VCCS、CCCS)时(无互感),Y为不对称矩阵,主对角线上元素为各支路导纳，而非对角线上元素将是与控制系数有关的量。(2)、对于节点法而言，典型支路不允许存在“纯电压源支路”。(对于回路法而言,典型支路不允许存在“纯电流源支路”)如果存在可用移源法解决！(3)、可以允许典型支路上缺少其中某些元件。(4)、以上典型支路是在采用相量法条件下列的方程。如采用运算法，则所有的电压、电流相量应该用象函数的形式，导纳（或阻抗）则改用运算导纳（或运算阻抗），独立电源中，还可能包含初始条件所引起的附加电源。二、节点电压方程的矩阵形式KVL的矩阵形式:KCL的矩阵形式:支路约束的矩阵形式:（1）（2）（3）将（3）代入（2）得：(4)将（1）代入（4）得节点电压方程的矩阵形式:如设电路有n个节点,b条支路(n-1b)(bn-1)(bb)(n-1n-1)(n-11)(n-11)设,节点导纳矩阵节点等效电流源电流列向量则节点电压方程的矩阵形式为:(n-11）(n-11)例17—2已知：电路如图所示，在以下两种情况，列写电路的矩阵形式的节点电压方程。解：(1)、M12=0时L1与L2之间无互感做电路的有向图G，注意确定支路的方向时,必满足“典型支路”的各种条件。支路4与M12支路3与是相反的方向４３５６12选节点为参考点，则关联矩阵为：123456A=M12４３５６12电压源列向量：电流源列向量：Y=Yn=AYAT=节点导纳矩阵Yn为：Yn=AYAT=∵节点电压方程的矩阵形式为：0∴（2）M12≠0要想得到电路的支路导纳阵必先写出支路阻抗矩阵。电路的支路阻抗矩阵为：令将Z分为4个子矩阵求其逆矩阵Z11Z22∴支路导纳阵：节点导纳矩阵Yn为：节点电压方程的矩阵形式为：例17—3电路及有向图如图所示。设写出支路方程的矩阵形式。+–+–+–解：∵支路电流源向量与支路电压源向量为：式中“–”表示与的正方向与标准典型支路的正方向相反!４３５６12式中“–”是由于的正方向与标准典型支路的正方向相反!于是，支路方程的矩阵形式为：例17—4电路及有向图如图所示。分别用相量形式及运算形式写出该电路的节