AR算法图像重构

图像重建概述图像重建是图像处理中的一个重要分支，广泛地应用于物体内部结构图像的检测和观察中，它是一种无损检测技术。关于图像处理的一些基本内容，如对图像的几何处理，图像的增强，还有复原等，均是从图像到图像，即输入的原始数据是图像，处理后输出的仍是图像。而图像重建是从数据到图像。图像重建的三种常用检测模型：透射模型、发射模型、反射模型---我们从CT谈起计算机层析成像（ComputedTomography,CT）是通过对物体进行不同角度的射线投影测量来获取物体横截面信息的成像技术。CT的核心技术是由投影数据来重建图像的理论，其实质是由扫描所得到的的投影数据来求出成像平面上每个点的衰减系数值。二维投影与CT值当强度为的x-ray通过吸收率为μ(x,y)的均匀吸收物体，由于均匀吸收，则I必是指数下降，则有这里s表示射线经过的体内距离长度1、我们假设切片（物体横截面，断面）无限薄。

2、我们认为,一幅图像在任意点(x,y)上的灰度值

正比于那个点的相对线性衰减系数μ(x,y)。CT任意角度扫描经坐标系旋转变换后可得：所以所谓投影是测量值，是吸收系数沿着射线经过直线的积分。实际上的问题是沿着若干条直线的积分估算值来计算μ(x,y)值。而对于任意角度扫描，需要用旋转坐标来描述问题，建立置于扫描系统之上的旋转坐标系，即让射线束与旋转坐标系的轴平行：所以θ角每旋转1度就可以取一组投影数据，可得到180组不同的投影。CT就是在收集各角度θ的投影数据后，利用重建算法处理得到物体的图像。是离散值，是测出值！Radon变换Radon变换是计算图像在某一指定角度射线方向上的投影的变换方法。二维函数f(x,y)的投影是其在确定方向上的线积分，如下图所示，二维函数f(x,y)在水平方向的线积分就是f(x,y)在y轴上的投影，二维函数f(x,y)在垂直方向的线性积分就是f(x,y)在x轴上的投影。Radon变换（续）由此，可以沿任意角度计算函数的投影，计算图像f(x,y)在任意角度的Radon变换。中心切片定理密度函数在某一方向上的投影函数的一维傅立叶变换函数是原密度函数的二维傅立叶变换函数在平面上沿同一方向且过原点的直线上值。滤波反投影算法的原理1、在不同的角度下取得足够多的投影数据(Radon变换)2、将这些投影数据做一维的Fourier变换，那么变换后的这些数据将充满整个(u,v)平面。（许多过原点成不同夹角的直线）3、也就是说，F(u,v)的全部值都为已知，那么我们将其做一次二维的Fourier逆变换就可以得到原始的衰减系数函数f(x,y)二维傅立叶反变换作坐标变换，令：可得出：表示对投影函数的Fourier变换进行滤波变换，其中是滤波函数。由傅立叶变换性质可知．频域中的滤波运算可等效地在空域中用卷积运算来完成所以要实现对投影数据实现图像重建，可以采取两步：首先将投影数据和响应脉冲滤波器进行卷积，然后由式对不同旋转角θ求和，就能实现图像重建。这就是卷积法进行图像重建的基本思路和方法。卷积可看作一种滤波手段，卷积投影相当于对数据先滤波再将结果逆投影回来，这样可以使模糊得到校正。所以：式中h(R)为滤波函数纠的空域形式反投投影影算算法法举举例例基本本原原理理是是将将所所测测得得的的投投影影值值按按其其原原路路径径平均均的的分配配到到每每一一点点上上，，各各个个方方向向上上投投影影值值反投投影影后，，在在影影像像处处进进行行叠叠加加，，从从而而推推体体出出原原图图像像。。而滤滤波波却却是是要要投投影影函函数数的的一一维维Fourier加加上上权权重重因因子子。。算法法举举例例123456算法法举举例例根据据反反投投影影算算法法x1=p5=5x6=p2+p3+p5=18…平均均化化处处理理，，除除以以投投影影线线数数目目xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投投影影重重建建后后原像像素素值值再除除以以投投影影线线数数，，平平均均化化断层层平平面面中中某某一一点点的的密密度度值值可可看看作作这这一一平平面面内内所所有有经经过过该该点点的的射射线线投投影影之之和和的的平平均均值值123456伪迹迹反投投影影重重建建后后，，原原来来为为0的的点点不不再再为为0，，形形成成伪迹迹00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像像素素值值再除除以以投投影影线线数数，，平平均均化化星状状伪伪迹迹我们们考考虑虑孤孤立立点点源源反反投投影影重重建建，，中中心心点点A经经n条条投投影影线线投投影影后后，，投投影影值值均均为为1：：p1=p2=...=pn=1因此此重重建建后后而其其他他点点均均为为1/n这类类伪伪迹迹称称为为星星状状伪伪迹迹1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000星状状伪伪迹迹产生生星星状状伪伪迹迹的的原原因因在在于于：反反投投影影重重建建的的本本质质是是把把取取自自有限限物体体空空间间的的射射线线投投影影均均匀匀地地回回抹抹(反反投投影影)到到射射线线所所及及的的无限限空间间的的各各点点之之上上，，包包括括原原先先像像素素值值为为零零的的点点（（其实实就就是是投投影影数数据据少少产产生生的的！！！！！！）(a)孤孤立立点点源源(b)反反投投影影重重建建图图像像及及星星状状伪伪迹迹滤波波反反投投影影算算法法滤波波反反投投影影法法采采用用先修修正正、、后后反反投投影影的做做法法，，其其基基本本方方法法是是：：在在某某一一投投影影角角下下取取得得了了投投影影函函数数（（一一维维函函数数））后后，，对对此此一一维维投投影影函函数数作作滤滤波波处处理理，，得得到到一一个个经经过过修修正正的的投投影影函函数数；；然然后后再再将将此此修修正正后后的的投投影影函函数数作作反反投投影影运运算算，，得得到到所所需需的的密密度度函函数数。。滤波波反反投投影影法法重重建建图图像像有有以以下下几几个个步步骤骤：：（1））对对某某一一角角度度下下的的投投影影函函数数作作一一维维傅傅立立叶叶变变换换；；（2））对对（（1））的的变变换换结结果果乘乘上上一一维维权权重重因因子子；；（3））对对（（2））的的加加权权结结果果作作一一维维逆逆傅傅立立叶叶变变换换；；（4））用用（（3））中中得得出出的的修修正正过过的的投投影影函函数数做做直直接接反反投投影影；；（5））改改变变投投影影角角度度，，重重复复（（1））~（（4））的的过过程程，，直直到到完完成成全全部部180度度的的反反投投影影。。滤波波函函数数滤波波函函数数的选选取取是是滤滤波波反反投投影影法法的的关关键键问问题题（1））R-L滤滤波波函函数数由于于在在频频域域中中用用矩矩形形函函数数截截断断了了滤滤波波函函数数，，在在相相应应的的空空域域中中造造成成振振荡荡响响应应，，重重建建的的图图像像质质量量也也不不够够满满意意对应应的的频频域域形形式式为为：：理想想的的滤滤波波函函数数它它是是在在高高频频的的权权重重很很大大，，低低频频的的权权重重很很小小，，所所以以高高频频噪噪声声就就会会很很大大，，所所以以我我们们才才要要对对其其进进行行修修正正（2））S-L滤滤波波函函数数与R-L滤滤波波函函数数不不同同的的是是，，S-L滤滤波波函函数数它它的的关关键键是是把把频频域域的的陡峭峭截截止止改改成成缓缓慢慢截截止止。。用S-L滤滤波波函函数数重重建建的的图图像像中中振振荡荡相相应应较较小小，，对对含含噪噪声声的的数数据据重重建建出出来来的的图图像像质质量量也也较较R-L滤滤波波函函数数重重建建的的图图像像质质量量要要好好。。但但是是，，S-L滤滤波波函函数数重重建建的的图图像像在在高高频频响响应应方方面面不不如如R-L滤滤波波函函数数好好，，这这是是因因为为S-L滤滤波波函函数数在在高高频频段段偏偏离离了了理理想想的的滤滤波波函函数数对应应的的频频域域形形式式为为：：一、、滤滤波波反反投投影影matlab实实现现%P=imread('lena.jpg');P=phantom(256);%P=rgb2gray(O);R=radon(P,0:179);I0=iradon(R,0:179,'linear','Ram-Lak');I1=iradon(R,0:179,'linear','Shepp-Logan');I2=iradon(R,0:179,'linear','cosine');I3=iradon(R,0:179,'linear','none');subplot(2,3,1),imshow(P),title('Original')subplot(2,3,2),imshow(I0,[]),title('FBPR-L')subplot(2,3,3),imshow(I1,[]),title('FBPS-L')subplot(2,3,4),imshow(I2,[]),title('FBPcosine')subplot(2,3,5),imshow(I3,[]),title('UnfilteredBP')图像的的细节节对应应的是是高频频部分分，轮轮廓对对应的的是图图像的的低频频部分分，所所以因因为没没有滤滤波，，细节节部分分恢复复的不不好，，呈现现很““模糊糊”的的情况况二、投投影数数据的的多少少对图图像重重建效效果的的影响响一个典典型实实例：：在matlab图像像处理理工具具箱中中，有有一个个phantom函函数，，可以以用来来创建建头部部的剖剖视图图，首首先创创建一一个头头部的的256××256剖剖视图图，然然后分分别计计算3组不不同的的Radon变变换，，第一一组采采用30个个投影影，第第二组组采用用90个投投影，，第三三组采采用180个投投影，，用以以比较较采用用不同同组数数的投投影参参数重重建的的图像像与原原始图图像的的差别别。Radon逆变变换由测试试结果果可以以看出出：第第一组组采用用30个投投影，，效果果较差差；第第二组组采用用90个投投影，，效果果较好好；第第三组组采用用180个个投影影，效效果很很好，，与原原始的的图像像非常常接近近。这说明明可以以通过过增加加投影影的数数目，，来提提高重重建图图像的的质量量。ART算法法滤波反反投影影算法法要求求投影影数据据必须须完全全，分分布必必须均均匀。。具体体地说说就是是，平平移采采集投投影数数据时时，应应覆盖盖全部部物体体区域域；相相邻射射线间间均为为d。。然而实实际应应用中中，有有时无无法测测到大大量的的投影影数据据。例例如做做CT时，，为了了避免免心脏脏器官官受辐辐射过过久，，为了了减少少剂量量，投投影数数据采采集不不足；；迭代重重建算算法就就能解解决上上述滤滤波反反投影影算法法无能能为力力的场场合啦啦！ART算法法ART（代代数重重建法法）是是一个个迭代代的过过程，，它是是一开开始就就在离离散域域中进进行的的,首首先把把图像像离散散化，，即将将欲重重建的的未知知图像像离散散成一一个J=n*n重建建图像像网格格。根据成成像的的物理理过程程和相相应的的数学学模型型建立立待重建建图像像和投影数数据之间的的代数数方程程组，，那么么图像像重建建问题题就可可以转转化为为解线线性方方程组组问题题。x1x2x3x4x5X6x7x8x9x1x2x3x4x5X6x7x8x91号2号3号号4号迭代重重建的的模型型一重建模模型一一迭代重重建的的模型型二迭代重重建的的模型型三x1x2x3x4x5X6x7x8x9x1x2x3x4x5X6x7x8x91号5号4号8号以模型型三为为例，，不失失一般般性如图为为一3*3像素素的图图像的的x1,x2,…,x9为相相应的的像素素值，，则各各射线线和为为：迭代重重建算算法的的思路路求图像像矢量量x的的方法法一求图像像矢量量x的的方法法二此方法法会产产生严严重的的伪迹迹。不不是我我们所所期望望的。。但此方方法的的思想想有助助于我我们理理解迭迭代重重建算算法。。。。。反投影影算法法举例例基本原原理是是将所所测得得的投投影值值按其其原路路径平均的的分配到到每一一点上上，各各个方方向上上投影影值反投影影后，在在影像像处进进行叠叠加，，从而而推体体出原原图像像。算法举举例123456算法举举例根据反反投影影算法法x1=p5=5x6=p2+p3+p5=18…平均化化处理理，除除以投投影线线数目目xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影影重建建后原像素素值再除以以投影影线数数，平平均化化断层平平面中中某一一点的的密度度值可可看作作这一一平面面内所所有经经过该该点的的射线线投影影之和和的平平均值值123456伪迹反投影影重建建后，，原来来为0的点点不再再为0，形形成伪迹00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素素值再除以