2023年全国高考理科数学试题分类汇编：立体几何

2023年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何三、解答题AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等学校招生统一考试辽宁数学〔理〕试题〔WORD版〕〕如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(=1\*ROMANI)求证:(=2\*ROMANII)AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等学校招生统一考试重庆数学〔理〕试题〔含答案〕〕如图,四棱锥中,,,为的中点,.(1)求的长;(2)求二面角的正弦值.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等学校招生统一考试浙江数学〔理〕试题〔纯WORD版〕〕如图,在四面体中,平面,.是的中点,是的中点,点在线段上,且.(1)证明:平面;(2)假设二面角的大小为,求的大小.AABCDPQM〔第20题图〕AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等学校招生统一考试广东省数学〔理〕卷〔纯WORD版〕〕如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值...COBDEACDOBE图1图2【答案】(Ⅰ)在图1中,易得CCDOBEH连结,在中,由余弦定理可得由翻折不变性可知,所以,所以,理可证,又,所以平面.(Ⅱ)传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而CDOxE向量法图yzCDOxE向量法图yzB向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如下图,那么,,所以,设为平面的法向量,那么,即,解得,令,得由(Ⅰ)知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等学校招生统一考试天津数学〔理〕试题〔含答案〕〕如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(Ⅰ)证明B1C1⊥CE(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(Ⅲ)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考新课标1〔理〕〕如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C(Ⅱ)假设平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1CAUTONUM\*Arabic．〔2023年高考陕西卷〔理〕〕如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,.(Ⅰ)证明:A1C⊥平面BB1D1D(Ⅱ)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.【答案】解:(Ⅰ);又因为,在正方形ABCD中,.在正方形ABCD中,AO=1...(证毕)(Ⅱ)建立直角坐标系统,使用向量解题.以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.那么.由(Ⅰ)知,平面BB1D1D的一个法向量设平面OCB1的法向量为.所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷〔数学〕〔已校对纯WORD版含附加题〕〕本小题总分值10分.如图,在直三棱柱中,,,,点是的中点(1)求异面直线与所成角的余弦值(2)求平面与所成二面角的正弦值.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等学校招生统一考试大纲版数学〔理〕WORD版含答案〔已校对〕〕如图,四棱锥中,与都是等边三角形.(=1\*ROMANI)证明:(=2\*ROMANII)求二面角的大小.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖南卷〔理〕〕如图5,在直棱柱,,.(=1\*ROMANI)证明:;(=2\*ROMANII)求直线所成角的正弦值.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学〔理〕〔纯WORD版含答案〕〕如图,直棱柱中,分别是的中点,.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求二面角的正弦值.AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考北京卷〔理〕〕如图,在