2014年天津高考理科数学试题

高考精选绝密★启用前2014年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务势必自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定地点粘贴考试用条形码。答卷时，考生务势必答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。2本卷共8小题，每题5分，共40分。参照公式：?假如事件A，B互斥，那么?假如事件A，B互相独立，那么P(AUB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B).?圆柱的体积公式VSh.?圆锥的体积公式V1Sh.3此中S表示圆柱的底面面积，此中S表示圆锥的底面面积，h表示圆柱的高.h表示圆锥的高.一、选择题：在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项切合题目要求的.（1）i是虚数单位，复数7+i=（）3+4i（A）1-i（B）-1+i（C）17+31i（D）-17+25i252577xy20,（2）设变量x，y知足拘束条件xy20,则目标函数zx2y的最小值为（）y1,（A）2（B）3（C）4（D）5（3）阅读右侧的程序框图，运转相应的程序，输出的S的值为（）（A）15（B）105高考精选（C）245（D）945（4）函数f(x)=log1(x2-4)的单一递加区间是（）2(0,+￥)()（A）（B）-￥,0(2,+￥)()（C）（D）-?,2a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一（5）已知双曲线x2y2个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）x2-y2=1（B）x2-y2=1520205（C）3x2-3y2=1（D）3x2-3y2=12510010025（6）如图，DABC是圆的内接三角形，DBAC的均分线交圆于点D，A交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延伸线交于点F.在上述条件下，给出以下四个结论：①BD均分DCBF；②FB2=FD?FA；C③AE?CEBE?DE；④AF?BDAB?BF.BE则全部正确结论的序号是（）D（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④（7）设a,b?R，则|“a>b”是“aa>bb”的（）F（A）充要不用要条件（B）必需不充分条件（C）充要条件（D）既不充要也不用要条件（8）已知菱形ABCD的边长为2，?BAD120o，点E,F分别在边BC,DC上，BE=lBC，uuuruuuruuuruuur-2，则l+m=（DF=mDC.若AE?AF1，CE?CF）3（A）1（B）2（C）5（D）723612第Ⅱ卷注意事项：

2422441．用黑色墨水钢笔或署名笔将答案写在答题卡上。正视图侧视图2．本卷共12小题，共110分。二、填空题（本大题共6个小题，每题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）（9）某大学为认识在校本科生对参加某项社会实践活动的意愿，拟采俯视图高考精选用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行检查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.（10）已知一个几何体的三视图以下图（单位：

m），则该几何体的体积为

_______m3.11）设{an}是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列，则a1的值为__________.（12）在DABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=1a，2sinB=3sinC，则cosA4的值为_______.（13）在以O为极点的极坐标系中，圆r=4sinq和直线rsinq=a订交于A,B两点.若DAOB是等边三角形，则a的值为___________.（14）已知函数f(x)=x2+3x，x?R.若方程f(x)-ax-1=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__________.三、解答题（此题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分）已知函数fxcosxsinx3cos2x3，xR.34（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）求fx在闭区间,上的最大值和最小值.44（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其余互不同样的七个学院.现从这10名同学中随机选用3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性同样）.（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不同样学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的散布列和数学希望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^底面ABCD，AD^AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.（Ⅰ）证明BE^DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，知足BF^AC，高考精选求二面角F-AB-P的余弦值.（18）（本小题满分13分）设椭圆x2y21（ab0）的左、右焦点为F1,F2，右极点为A，上极点为B.已知a2b2AB=3F1F2.2（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其极点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点的直线l与该圆相切.求直线的斜率.（19）（本小题满分14分）qnM={}已知和均为给定的大于1的自然数.设会合0,1,2,L,q-1，会合A={xx=x1+x2q+L+xnqn-1,xi?M,i1,2,L,n}.（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示会合A；（Ⅱ）设s,t?A，s=a1+a2q+L+anqn-1，t=b1+b2q+L+bnqn-1，此中（20）（本小题满分14分）已知函数

f(x)

=x-

aex(a?R)，x?R.已知函数

y=

f(x)有两个零点

x1,x2，且

x1<x2.（Ⅰ）求

a的取值范围；（Ⅱ）证明

x2

跟着

a的减小而增大；x1（Ⅲ）证明

x1+x2跟着

a的减小而增大

.高考精选参照答案及分析一、选择题题号12345678答案ABBDADCC（1）i是虚数单位，复数7+i=（）3+4i（A）1-i（B）-1+i（C）17+31i（D）-17+25i252577解：A7+i(7+i)(3-4i)=25-25ii.3+4i=4i)25=1-(3+4i)(3-xy20,（2）设变量x，y知足拘束条件xy20,则目标函数zx2y的最小值为（）y1,（A）2（B）3（C）4（D）5y2解：B作出可行域，如图()3.1联合图象可知，当目标函数经过点1,1时，z获得最小值xO2（3）阅读右侧的程序框图，运转相应的程序，输出的S的值为（）（A）15（B）105-2（C）245（D）945解：Bi=1时，T=3，S=3；i=2时，T=5，S=15；i=3时，T=7，S=105，i=4输出S=105.（4）函数f(x)=log1()x2-4的单一递加区间是（）2（A）(0,+￥)（B）(-￥,0)（C）(2,+￥)（D）()-?,2解：Dx2-4>0，解得x<-2或x>2.由复合函数的单一性知f(x)的单一递加区间为(-?,2).（5）已知双曲线x222-y2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一ab个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）高考精选（A）x2-y2=1（B）x2-y2=1520205（C）3x2-3y2=1（D）3x2-3y2=12510010025b2a解：A依题意得c5，所以a2=5，b2=20，双曲线的方c2a2b2程为x2y2A-=1.520（6）如图，DABC是圆的内接三角形，DBAC的均分线交圆于点D，BCE交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延伸线交于点F.在上述条件D下，给出以下四个结论：①BD均分DCBF；②FB2=FD?FA；③AE?CEBE?DE；④AF?BDAB?BF.F则全部正确结论的序号是（）（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④解：D由弦切角定理得?FBD?EAC?BAE，又?BFD?AFB，所以DBFD∽DAFB，所以BF=BD，即AF?BDAB?BF，清除A、C.AFAB又?FBD?EAC?DBC，清除B.（7）设a,b?R，则|“a>b”是“aa>bb”的（）（A）充要不用要条件（B）必需不充分条件（C）充要条件（D）既不充要也不用要条件ì2,x30解：C设f(x)=xx，则f(x)?x=í?，所以f(x)是R上的增函数，“a>b”是?2,x<0?-x“aa>bb”的充要条件.（8）已知菱形ABCD的边长为2，?BAD120o，点E,F分别在边BC,DC上，BE=lBC，uuuruuuruuuruuur-2，则l+m=（DF=mDC.若AE?AF1，CE?CF）3（A）1（B）2（C）5（D）723612解：C因为?BAD120ouuuruuuruuuruuurcos120o=-2.，所以AB?ADAB鬃ADuuuruuuruuuruuuruuuruuur因为BE=lBC，所以AE=AB+lAD，AF=mAB+AD.高考精选uuuruuuruuuruuuruuuruuur3因为AE?AF1，所以(AB+lAD)?(mABAD)=1，即2l+2m-lm=①2同理可得lm-l-m=-2②，①+②得l+m=5.36第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水钢笔或署名笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二、填空题（本大题共6个小题，每题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9）某大学为认识在校本科生对参加某项社会实践活动的意愿，拟采纳分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行检查.已知该校一年级、二年级、三年级、四

24年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.

2244解：60应从一年级抽取300?460名.正视图侧视图5+5+64+（10）已知一个几何体的三视图以下图（单位：m），则该几何体的体积为_______m3.俯视图解：20p该几何体的体积为p?41p鬃222=20pm3.33311）设{an}是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列，则a1的值为__________.解：-1依题意得S22=S1S4，所以(2a1-1)2=a1(4a1-6)，解得a1=-1.22（12）在DABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-1cosA，，则4的值为_______.解：-1因为2sinB=3sinC，所以2b=3c，解得b=3c，a=2c.42所以cosA=b2+c2-a2=-1.2bc4（13）在以O为极点的极坐标系中，圆r=4sinq和直线rsinq=a订交于A,B两点.若DAOB是等边三角形，则a的值为___________.解：3圆的方程为x2+(y-2)2=4，直线为y=a.高考精选因为是等边三角形，所以此中一个交点坐标为骣a÷.DAOB?，代入圆的方程可得a=3?÷桫3（14）已知函数f(x)=x2+3x，x?R.若方程yf(x)-ax-1=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__________.解：0<a<1或a>9明显a>0.

3O1x（ⅰ）当y=-ax-1与2-3x相切时，a=1，此时f(x)-ax-1=0恰有3个互异的()y=-x实数根.（ⅱ）当直线y=a(x-1)与函数y=x2+3x相切时，a=9，y此时f(x)-ax-1=0恰有2个互异的实数根.联合图象可知0<a<1或a>9.解2：明显a11，所以a=x2+3xx-1.令t=x-1，则a=t+4+5.yt因为t+4?(?,4]U[4,+?)，t

3O1x所以t+4+5?(ゥ,1]U[9,+).9t联合图象可得0<a<1或a>9.1tO三、解答题（此题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分）已知函数fxcosxsinx33cos2x3，xR.4（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）求fx在闭区间,上的最大值和最小值.44高考精选15）本小题主要考察两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单一性等基础知识.考察基本运算能力.满分13分.骣3÷3（Ⅰ）解：由已知，有f(x)?12=诅+÷+?2÷4桫2=1sinx?cosx3cos2x+3224=1sin2x-3(1+cos2x)+3444=1sin2x-3cos2x441sin2x3.2所以，f(x)的最小正周期T=2p=p.2轾pf()犏p12臌4骣p÷1，骣p÷1，骣1.???p÷??÷?÷÷?÷?÷?÷4412244

轾pp犏-,上是增函数.犏臌所以，函数轾p,p上的最大值为11f(x)在闭区间犏-，最小值为-.犏442臌4（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其余互不同样的七个学院.现从这10名同学中随机选用3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性同样）.（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不同样学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的散布列和数学希望.（16）本小题主要考察古典概型及其概率计算公式，互斥事件、失散型随机变量的散布列与数学希望等基础知识.考察运用概率知识解决简单实质问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设“选出的3名同学来自互不同样的学院”为事件A，则C31?C72C30?C7349PAC103=60.所以，选出的3名同学来自互不同样学院的概率为49.60高考精选所以，f(x)的最小正周期2pT==p.2（Ⅱ）解：随机变量X的全部可能值为0，1，2，3.C4k×C63-kP(x=k)=(k=0,1,2,3).C103所以，随机变量X的散布列是X0123P1131621030随机变量X的数学希望E(X)=0?11?1+2?33?16.6210305（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥

P-

ABCD中，PA^

底面

ABCD，AD^AB，AB//DC

，AD=DC=

AP=2，AB=1，点

E为棱

PC的中点

.（Ⅰ）证明

BE^DC；（Ⅱ）求直线

BE与平面

PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若

F为棱

PC上一点，知足

BF^AC，求二面角

F-

AB-

P的余弦值

.（17）本小题主要考察空间两条直线的地点关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识.考察用空间zP向量解决立体几何问题的方法.考察空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.E（方法一）依题意，以点A为原点成立空间直角坐标系（如图），可得yDCB(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).由E为棱PC()A的中点，得E1,1,1.xuuuruuurB()()BE=DC=2,0,0（Ⅰ）证明：向量0,1,1，，故uuuruuur所以，BE^DC.BE?DC0.uuur()uuur()，PB=（Ⅱ）解：向量BD=-1,2,01,0,-2.高考精选ruuurì?ìr?n0,?设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量，则?íuuur即í?r0,?0.?n?PB?x-2z=为平面的一个法向量.于是有不如令y=1，可得ruuurruuurrn×23==cosn,BE=ruuur′.n×623BE所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为3.3uuur()uuur()uuur()uuur()BC=1,2,0CP=AC=2,2,0AB=（Ⅲ）解：向量，-2,-2,2，，1,0,0.uuuruuur由点F在棱PC上，设CF=lCP，0＃l1.uuuruuuruuuruuuruuur故BF=BC+CF=BC+lCP=(1-2l,2-2l,2l).由BF^uuuruuur0AC，得BF?AC，3uuur骣113÷21-2l+22-2l=0即?所以，，解得.()()l=,,?÷4?22÷桫2ur设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量，则ur不如令z=1，可得n1=(0,-3,1)为平面

uruuurì0,ì?x=0,??n?AB?1uuur?13íur即í1?n1?BF0,?x+y+z=0.?-?222FAB的一个法向量.uur=(0,1,0)，则取平面ABP的法向量n2uruururuur-n1×3310cosn1,n2=2urur==-.n1×n110′110易知，二面角F-AB-P是锐角，所以其余弦值为310.10（方法二）（Ⅰ）证明：如图，取PD中点M，连结EM，AM.因为E,M分别为PC,PD的中点，故EM//DC，且EM=1DC，2又由已知，可得EM//AB且EM=AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE//AM.因为PA^底面ABCD，故PA^CD，而CD^DA，从而CD^平面PAD，因为AMì平面PAD，于是CD^AM，又BE//AM，所以BE^CD.（Ⅱ）解：连结BM，由（Ⅰ）有CD^平面PAD，得CD^PD，而EM//CD，故PD^EM.A,B,F,G高考精选又因为

AD=AP，M

为PD的中点，故

PD^

AM

，可得

PD^

BE，所以

PD^

平面

BEM

，故平面BEM^平面

PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE^EM，可得DEBM为锐角，故DEBM为直线BE与平面PBD所成的角.依题意，有PD=22，而M为PD中点，可得AM=2，从而BE=2.故在直角三角形BEM中，tan?EBMEM=AB=1，所以sin?EMB3.BEBE23所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为3.3（Ⅲ）解：如图，在DPAC中，过点F作FH//PA交AC于点H.因为PA^底面ABCD，故FH^底面ABCD，从而FH^AC.又BF^AC，得AC^平面FHB，所以AC^BH.在底面ABCD内，可得CH=3HA，从而CF=3FP.在平面PDC内，作FG//DC交PD于点G，于是DG=3GP.因为DC//AB，故GF//AB，所以四点共面.由AB^PA，AB^AD，得AB^平面PAD，故AB^AG.所以DPAG为二面角F-AB-P的平面角.在DPAG中，PA=2，PG=1PD=2，?APG45o，42由余弦定理可得AG=10310.，cos?PAG102所以，二面角F-AB-P的斜率值为310.10（18）（本小题满分13分）设椭圆x2y21（ab0）的左、右焦点为F1,F2，右极点为A，上极点为B.已知a2b23F1F2.AB=2（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其极点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点的直线l与该圆相切.求直线的斜率.高考精选（18）本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考察用代数方法研究圆锥曲线的性质

.

考察运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力

.满分

13分.（Ⅰ）解：设椭圆的右焦点

F2的坐标为

(c,0).由

AB=

32

F1F2

，可得a2

+b2

=3c2，又2b2=a2-c2，则c2=1.a22所以，椭圆的离心率e=.2a2+b2=3c，所以2a2-c2=3c2，解得a=2c，e=2.2（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a2=2c2，b2=c2.故椭圆方程为x2+y2=1.2c2c2uuuruuur设P(x0,y0).由F1(-c,0)，B(0,c)，有F1P=(x0+c,y0)，F1B=(c,c).uuuruuur由已知，有FP1?FB10，即(x0+c)c+y0c=0.又c10，故有x0+y0+c=0.①又因为点P在椭圆上，故x02+y02=1.②2c2c2由①和②可得3x02+4cx0=0.而点P不是椭圆的极点，故x0=-4c，代入①得y0=c，即点P的33骣4cc÷坐标为?-,.?÷?3÷桫3-4c+02c+c2设圆的圆心为T(x1,y1)，则x1=32=-c，y1=3=c，从而圆的半径323225r=(x1-0)+(y1-c)=c.3设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y=kx.骣2c÷2c?--?÷由l与圆相切，可得kx1-y1=r，即?÷3=5c，桫3k2+1k2+13整理得k2-8k+1=0，解得k=4?15.所以，直线l的斜率为4+15或4-15.高考精选（19）（本小题满分14分）qM={}已知和n均为给定的大于1的自然数.设会合0,1,2,L,q-1，会合A={xx=x1+x2q+L+xnqn-1,xi?M,i1,2,L,n}.（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示会合A；（Ⅱ）设s,t?A，s=a1+a2q+L+anqn-1，t=b1+b2q+L+bnqn-1，此中ai,bi?M，i=1,2,L,n.证明：若an<bn，则s<t.（19）本小题主要考察会合的含义和表示，等比数列的前n项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法.考察运算能力、剖析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0,1}，A={xx=x1+2x2+4x3,xi?M,i1,2,3}.可得，A={0,1,2,3,4,5,6,7}.（Ⅱ）证明：由s,t?A，s=a1+a2q+L+anqn-1，t=b1+b2q+L+bnqn-1，ai,bi?M，i=1,2,L,n及an<bn，可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+L+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1?(q1)+(q-1)q+L+(q-1)qn-2-qn-1(q-1)(1-qn-1)-qn-11-q-1<0.所以，s<t.（20）（本小题满分

14分）已知函数

f(x)

=x-

aex(a?R)，x?R.已知函数

y=

f(x)有两个零点

x1,x2，且

x1<

x2.（Ⅰ）求

a的取值范围；（Ⅱ）证明

x2

跟着

a的减小而增大；x1（Ⅲ）证明

x1+x2跟着

a的减小而增大

.（20）本小题主要考察函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法函数思想、化归思想.考察抽象归纳能力、综合剖析问题和解决问题的能力.满分14分.

.

考察（Ⅰ）解：由

f(x)

=x-

aex，可得

f￠(x)=1-aex

.高考精选下边分两种状况议论：（1）a￡0时￠f(x)在R上单一递加，不合题意.f(x)>0在R上恒成立，可得2）a>0时，由f￠(x)=0，得x=-lna.当x变化时，f￠(x)，f(x)的变化状况以下表：x(-?,lna)-lna(-lna,+￥)f