初二数学因式分解超级经典专题讲解

/112.3待定系数法☆☆首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例如在分解X4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。于是设X4-x4-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=X4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4.解得a=1，b=1，c=-2，d=-4.如此X4-X3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4).题目1、多项式分解因式后，有一因式是工十％十1,请把多项式分解因式。2、X2+3x+6是多项式X4-6x3+mx2+nx+36的一^因式，试确定m,n的值,并求出它的其它因式。2.4配方法☆☆对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原如此下进展变形。例如：1、X4+x2y2+y4配方和拆项、添项法有些一样之处，下面重点看看拆项、添项法2.5拆项、添项法少^问题：因式分解X2+4这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项〔或几项〕，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进展分解。要注意，必须在与原多项式相等的原如此下进展变形。因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进展因式分解．现举一例：例分解因式：X3-9x+8.分析此题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1将常数项8拆成-1+9．原式=X3-9xT+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2将一次项-9x拆成-x-8x.原式=X3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3将三次项X3拆成9x3-8x3.原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4添加两项-X2+X2.原式=X3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例如：1、因式分解x2+42、把a2-4ab+3b2+2bc-C2因式分解。3、因式分解x4+x2+12.6其他小方法扩展〔作为了解学有余力再看〕应用因式定理对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a.例如：f(x)=x2+5x+6,f(-2)=0，如此可确定x+2是X2+5x+6的—因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)换元法☆有时在分解因式时，可以选择多项式中的—样的局部换成另—个未知数，然后进展因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。题目1、(x4+x2-4)(x4+x2+3)+102、(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,如此该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn).图象法令y二f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,xn，如此多项式可因式分解为f(x)二f(x)=k(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn).与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。例如在分解X3+2x2-5x-6时，可以令y=X3+2x2-5x-6.作出其图像，与x轴交点为-3,-1，2如此X3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).多项式因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；分解因式，必须进展到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要适宜。〞(简称＜提十公分＞)几道例题.△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-C2+a2+2ab-2bc=0，求证:这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进展因式分解。证明：T-C2+a2+2ab-2bc=0，/.(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0./.(a-c)(a+2b+c)=0.Ta、b、c是AABC的三条边，.".a+2b+c＞0./.a—c=0，即a=c，^ABC为等腰三角形。简单了解因式分解的应用1、应用于多项式除法。2、应用于高次方程的求根。

3、应用于分式的运算。因式分解练习题(2)m(m-n)2-n(n-m)2(1)(m+n)(p+q(2)m(m-n)2-n(n-m)2(3)x4-y4(5)Xn+1—3Xn+2Xn-1(6)X3-15X2y-16Xy(3)x4-y4(5)Xn+1—3Xn+2Xn-1(6)X3-15X2y-16Xy2(7)-y3-y2--y41(8)8--xs21(9)—x一3x33(10)3(X-y)2-6(X-y)-24(11)1-4b2-4ab-a2(12)(a-4b)(a-b)+ab(13)1-26a2+25a4(14)(x+y)4+(x+y)2-20(15)(3x2+2x-8)2-(x2-2x-8)2(x2-2x)2+2(x2-2x)+1(x+2)(x+3)+x2-4(x2+2x)2-7(x2+2x)-8x2(a—b)+x2(a—b)+16(b—a)(20)(x2+9y2)2—36x2y2(21)(x—1)(x—2y—1)+y2(22)(x2+7x+6)(x2+7x—8)+45(23)(a2+b2—1)2—4a2b2(24)(ab+1)2—a2—b2—2ab25、：|x+y+1|+|xy-3|=0求代数式xy