高中数学-14-双曲线的方程

专业引领共成长专业引领共成长高二数学秋季班教师日期学生课程编号14课型复习课课题双曲线的方程教学目标.掌握双曲线的定义和焦距顶点、渐近线的概念.掌握双曲线的标准方程.掌握直线和双曲线相关问题的解题方法教学重点.双曲线的定义、焦距、顶点、渐近线方程.直线和双曲线位置关系教学安排版块时长1知识梳理202例题解析503巩固训练304师生总结205课后练习30双曲线的方程热身练习1.ab0”是曲线ax2by21为双曲线”的条件.2 x2.设P为双曲线一41上的动点，O为坐标原点， M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是2x3.已知椭圆一23m2y5n22x1和双曲线一22m22-yy1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线的方程是3n24.设O为坐标原点,Fi、2F2分别是双曲线1

a241(a0,b0)的焦点，若在双曲线上存在点Pb2满足F1PF2 60OPJ7a,则该双曲线的渐近线的方程是知识梳理1、定义：平面上到两个定点F1,F2距离差的绝对值为一个常数(小于匕下2称为椭圆的焦点， F1F2称为椭圆的焦距;如果只是到两个定点曲线的一支.2、标准方程:①焦点在x轴：设双曲线上一点Fic,0f1f2)的点的轨迹称为双曲线，其中匕尸2距离差为一个常数，则轨迹为双,F2c,0,设距离差的绝对值PFiPF22a,2 2则双曲线标准方程为：x三a2b20,b2 2 20,bca①焦点在y轴：设双曲线上一点Px,yFi0,c,F20,c,设距离差的绝对值PF1PF22a,2则双曲线标准方程为：\a2xb20,b0,b23、双曲线的性质：以焦点在x轴的双曲线为例:2x2a2y_b20,b0(1)a：与实轴的顶点有关:Aa,0,A2a,0,A1A22a称为实轴长;b：与虚轴的顶点有关： B0,b,B20,b,B1B22b称为虚轴长;c：与焦点有关：F1c,0,F2c,0,|F1F22c称为焦距.(2)对称性：双曲线关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称.(3)双曲线上点坐标的范围：设Px0,y0,则有x0 2或乂0a,y0R.(4)渐近线：当x或x交，则称这条直线为曲线的渐近线.时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相①双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0,再解出y关于x2 2xy的直线即可.例如在F2y1a0,b0中，求渐近线即解:a2b22y_b2…b 以y —x即为双曲线的渐近线.a①渐近线的几何特点：直线xa,xa,yb,y b所围成的矩形，其对角线即为双曲线 的渐近线.①渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现 a,b,c的关系.(5)通径：①内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段①通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQx轴，|PQ2b2(6)焦点三角形面积：设双曲线上一点 Px0,y0,则SvpFFb2cot—(其中PF1F2)例题解析1、求双曲线方程的问题【例1】判断下面结论是否正确(请在括号中打“"或"x”)(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8的点的轨迹是双曲线.x2y2 、(2)方程而一X=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )⑶双曲线方程m2—yF=Xm>0,n>0,产0的渐近线方程是m2—n2=0,即m[=0-(4)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做 等轴双曲线…那么他的两条渐近线互相垂直.x2y2=1,那么他们的双曲线系方(5)具有相同的渐近线的双曲线叫做 共轲双曲线-其中一个双曲线的方程是02-b2=1,那么他们的双曲线系方2 2程为a2■—b■=*入与o()

【例2】方程A.2 2xyT~k厂k11表示双曲线，则k的取值范围是 ( )kk0k【例3】已知F1(5,0),F2(5,0),一曲线上的动点【例2】方程A.2 2xyT~k厂k11表示双曲线，则k的取值范围是 ( )kk0k【例3】已知F1(5,0),F2(5,0),一曲线上的动点P到F1,F2距离之差为6,则双曲线的方程为2o一一一【例4】圆C1：x3y 1和圆C2：x圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M【例5】(1)已知双曲线和椭圆2x252y-1有相同的焦点，且经过圆(x4)2(yJ15)264的圆心,16求此双曲线的方程;(2)已知点P板1在双曲线2<1上，且它到双曲线的一个焦点 F的距离等号b21,求此双曲线的方程;(3)若双曲线2x""2a2yb21,(a0,b13_5 0)与直线x3的一个交点与两个焦点的距离分别是 一和一，求双曲2 2线的标准方程.【例6】如图，在以点。为圆心,|AB|4为直径的半圆ADB中，ODAB,【例6】如图，在以点。为圆心,POB30,曲线C是满足11MAi|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P,建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程.PP【巩固训练】A.1,2.ab0时,方程axA.C.1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距B.(0,2)2,c的取值范围是((1,2)2 2byc表示双曲线的是必要但不充分条件A.1,2.ab0时,方程axA.C.1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距B.(0,2)2,c的取值范围是((1,2)2 2byc表示双曲线的是必要但不充分条件充分必要条件B.D.充分但不必要条件既不充分也不必要条件2 2xy.求与双曲线———1有共同渐近线，且经过点9 4M9 1的双曲线的标准方程.2.已知B(5,0),C(5,0)是ABC的两个顶点，且3.AsinBsinC-sinA，5求顶点A的轨迹方程.2y1(x 3)16SABF32 J3,求此双曲线的方程2AP,BP运到P处,SABF32 J3,求此双曲线的方程2AP,BP运到P处,如图,.某建筑工地要挖一个正方形的土坑，挖出的土只能沿其中AP100米，BP150米，APB60°,问怎样运土才能最省工..已知双曲线的焦点在x轴上，且过点人(1,0)和8(1,0),P是双曲线上异于A、B的任一点，如果APB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线的标准方程.

2 2PA,OP,PB为等比.已知圆的方程：xy4,圆与xPA,OP,PB为等比数列，求P的轨迹方程2、双曲线定义的运用【例71A,B是平面内的两个定点，P是动点，已知两个命题：甲：|PA|PB2a,02a|AB；乙：点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线，甲是乙的条件（）A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要D.既不充分也不必要2 2【例82 2【例8】双曲线x2、1（aab0,b0）的左、右焦点分别为Fi,F2,过Fi作直线交双曲线的左支于A,B两点，且ABm,则人点，且ABm,则人852的周长为【例9】如图所示,2 2F为双曲线C:仁匕1的左焦点，双曲线C上的点p与P7ii1,2,39 16关于y轴对称，则P,F P2F P3关于y轴对称，则P,F P2F P3F P4FBF P6F的值是A.9 B.16C.18D.27【例10】给出问题:F1、F2是双曲线2 2---=1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等"16 209,求点P到焦点F2的距离，某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8,由PF1 PF2 8,即9 PF2 8,PF21或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确PF2结果填在下面横线上 2 2【例11】以知F是双曲线x-y-1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值4 12为.2 x【例12］2 x【例12］如图，已知点P为双曲线一16右支上一点,匕12分别为双曲线的左、右焦点，I为PF1F2的内心，若SIPF1 Sipf2SIF1F2成立，则的值为【巩固训练】2_ 2y 2 2 2 2.P为双曲线x—1右支上一点，M、N分别是圆x4y4和x4y1上的点，则15PMPN的最大值为一一 x y - 一一.已知F1,F2分别为双曲线C：——1的左、右焦点，点AC,点M的坐标为(2,0),AM为F1AF2927的平分线，则AF2.22y.已知双曲线C的标准方程为x—1,F1>F2分别为左、右焦点，已知定点G1,2，点D是双曲线3C右支上的动点，则DF1DG的最小值为TOC\o"1-5"\h\z2 2.以知F是双曲线二y-1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则 PFPA的最小值为4 122 2xy5.已知双曲线一彳1(a0,b0)的左、右焦点分别为'、F2,P是双曲线右支上的任意一点,abPFiPF2PFiPF2的最小值为8a,则&的取值范围是

a\o"CurrentDocument"x2 2 a2..6.过双曲线与y2 1（a>0）的左焦点F作圆x2+y2=z的切线，切点为E，延长\o"CurrentDocument"a 4FE交双曲线右支于点P若E为PF的中点，则a的值3、双曲线的几何性质\o"CurrentDocument"x2 2 a2..6.过双曲线与y2 1（a>0）的左焦点F作圆x2+y2=z的切线，切点为E，延长\o"CurrentDocument"a 4FE交双曲线右支于点P若E为PF的中点，则a的值3、双曲线的几何性质2 . 2【例13］（1）双曲线4xky4k0的焦点坐标2 2(2)双曲线y——4 21的两条渐近线的夹角为（多选项）A.2arctanV2B.2arctan2c 2C.2arctan——2D.arctan22【例14】过点（1,3）且渐近线为1 y-x的双曲线方程是22 x【例15】已知双曲线a（a0,b0）的一条渐近线平行于直线l:y2x10,双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为【例16】已知E,F2为双曲线2x2a\1,（aQb0）的焦点，过F2作垂直于bx轴的直线交双曲线于点P,且PF1F2 30O,求双曲线渐近线方程【例17】已知双曲线9y222mx1(m0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为2x【例18】双曲线一16上有一点F1，F2是双曲线的焦点，且F1PF2,则F1PF2的面积为【例19】已知F1,F2分别是双曲线—2、一1的左右焦点，点P在双曲线上，且满足16PF1PF232FFF2=2 2【例20】已知椭圆：x-y21(m1)和双曲线x_y2i(n0)有相同的焦点F1,F2,P是两条曲线的交m n点，则F1PF2的面积为【例21】已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点 P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kpM、kpN时，那么kPM与kpN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲2b2b2=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.TOC\o"1-5"\h\z2 2【例22】双曲线方程:41,(a0,b0)上任意一点P到两条渐近线距离 d1,d2，则d1d2ab2 2… xy【例23】经过双曲线--Jr=1(a>0,b>0)上任一点M,作平行于两渐近线的直线，与渐近线交于P,Qab1两点，则平彳T四边形OPMQ的面积S为定值，S=—ab

2【巩固训练】1.设已12是双曲线y1.设已12是双曲线y21的左、右焦点,P在双曲线上，当F1PF2的面积为1时，PF1PF2的值为( )01C.D.22.过双曲线161左焦点F1的弦AB长为6,则abf201C.D.22.过双曲线161左焦点F1的弦AB长为6,则abf2(F2为右焦点)的周长是2822C.14D.123.设Fi、F2是双曲线2—1的两个焦点,24P是双曲线上的一点，且3PFi4PF2,则PF1F2的面积为 2 2xy4.双曲线——1的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点916B,则AFB的面积为5.双曲线中心在原点，焦点在y轴，两条渐近线互相垂直，且双曲线焦点到渐近线的距离为 3,求双曲线方程6.已知直线l交双曲线6.已知直线l交双曲线2y. _, _ ._ ._ . .记1(a0,b0)于A,B两点，M为A,B中点，求证kABkoMb27.设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.4、双曲线方程的综合问题【例24］若双曲线渐近线方程为 x2y0及x2y0,且定点(5,0)到双曲线上的动点P的距离的最小值为甚,则双曲线方程.【例25】过双曲线2x2y220的右焦点作直线l交曲线于A,B两点，若|AB4则这样的直线存在 条.2 2【例26］若一条双曲线\yy1,(a0,b0)的焦距是8,经过其中一个焦点的直线被双曲线截得的最a2 b2短弦长是4,则a.

【例27】已知MXo，y0是双曲线C：y21的一点,uuuruuuirF1、F2是C的两个焦点，若MF1MF20，则yo的取值范围是【例27】已知MXo，y0是双曲线C：y21的一点,uuuruuuirF1、F2是C的两个焦点，若MF1MF20，则yo的取值范围是2 2【例28］如图，从双曲线x2与1a2b20,2 2 2.xya的切线，切点为t.延长线段FP的中点，O为坐标原点，试判断MOMT与b系，并予以证明.b0的左焦点FT交双曲线右支于Pa2 X【例29】已知点P是双曲线一82y—1上的动点,4Fl,F2分别是双曲线的左右焦点， 。为坐标原点，则PFi||PF2的取值范围是OP【巩固训练】2.若点。和点F 2,0分别是双曲线之y21（aa0）的中点和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OPFP的取值范围是.已知双曲线2 2xy14 21的左、右焦点分别为F1、F2,P为双曲线左支上一点， M为双曲线渐近线上一占八、、（渐近线的斜率大于零）PM的最小值为2 2x y _ _3.［2016学年交大附中12月考17］已知双曲线C:二 七 1（a0,b 0）的左右焦点分别为 Fi、F2,点3.ab。为双曲线的中心，点P在双曲线右支上，①PF1F2内切圆的圆心为Q,圆Q与X轴相切于点A,过F2作直线PQ的垂线，垂足为B,则下列结论中成立的是（

A.|OA| |OB||OA||OB||OA||OB||OA|A.|OA| |OB||OA||OB||OA||OB||OA|、|OB|大小关系不确定4.[2016学年交大附中12月考21]双曲线2E：3

a2yr1(a0,b0)；b(1)点Ai(a,0)、A2(a,0)，动点P在E上，作AQAP,A2QA2P,求点Q的轨迹方程;(2)点M(x0,y。)、N(X0,y0)为E上定点，点P为E上动点，作MPMQ,NPNQ,求Q的轨迹方程；反思总结反思总结1.1.焦点三角形:PF1F2中结合定义|PF1||PF2|2a与余弦定理cosF1PF2,将有关线段PF1、|PF2、|FiF2和角结合起来,SPF1F2 b2向丁|FiF2和角结合起来,SPF1F2 b2向丁2.渐近线： 若渐近线方程为y-xX丫0aab2x双曲线可设为—a2y_b2322 22一一，xy, xy与双曲线w21共渐近线的双曲线系方程是—2ab ab2 2\o"CurrentDocument"x y0)；与双曲线一2一2a b1共焦点的双曲线系方程是2xa2k2yb2k1.0,当直线与双曲线的渐近线双曲线8mx2-my2=8的焦距为6,则m的值是A.± B.-1 C.1D.82.(双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的)衣倍，且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为3.4.5.2XA.—4B.2 2yx.C.———14 82XD.—8Fi、F2为双曲线A.2已知双曲线)2XA.—16B.41的两个焦点,C.8点P在双曲线上，且①FiPF2=90D.16则①F1PF2的面积是( )2X162yb21的实轴的一个端点为A二虚轴的一个端点为=5,则双曲线的方程2y252B.2X162y252XC.—162y_9D.2X162y_9XP是双曲线一92y161的右支上一点,M、分别是圆y21上的点，则PMPN的最大值为A.6B.C.8D.2 26,与椭圆—+—=1共焦点，虚轴长62X7.设双曲线-2a2J3的双曲线方程式36241(a0,b0)的左、右焦点分别为b2F1(c,0)、F2(c,0)0,若以F1F2为斜边的等腰直角三角形F1AF2的直角边的中点在双曲线上，