高等数学教案

高等数学教案第1次课—高等数学（一）课题函数周次5 时数 2 授课班级 1202114主要教学内容：1、集合与区间2、函数概念3、函数的几种特性4、反函数5、复合函数•初等函数教学目的和要求：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、理解函数的性质，掌握函数的四则运算。3、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质。教学重点：1、函数的概念2、函数的特性3、复合函数教学难点：1、函数的概念2、函数的特性教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程致?as§1函数一、集合与区间集合概念集合（简称集）：集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用AB,等表示.元素：组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为a?M集合的表示：列举法：把集合的全体元素一一列举出来.例如A?{a,b,c,d,e,f,g}.描述法：若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成，则M可表不为A?{ai,a2,???,an},M?{x|x具有性质P}.例如M?{（x,y）|x,y为实数,x2?y2?1}.几个数集：N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集.?_N?{0,1,2,?????, n,?????}.N?{1,2,?????, n,?????}.R表示所有实数构成的集合，称为实数集.Z表示所有整数构成的集合，称为整数集.Z?{?????,?n,?????,?2,?1,0,1,2,?????,n,?????}.Q表示所有有理数构成的集合，称为有理数集.子集：若x?A则必有x?B,则称A是B的子集，记为A?B（读作A包含于B）或B?A.如果集合A与集合B互为子集，A?B且B?A则称集合A与集合B相等，记作A?B.若A?B且A?B,则称A是B的真子集，记作AB.例如，NZQR.不含任何元素的集合称为空集，记作？.规定空集是任何集合的子集.集合的运算设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集（简称并），记作A?R即A?B?{x|x?A或x?B}.设A、B是两个集合，由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集（简称交），记作A?R即A?B?{x|x?A且x?B}.设A、B是两个集合，由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差)，记作AB,即AB?{x|x?A且x?B}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合 I中进行，所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集，记作A：集合运算的法则：设A、BC为任意三个集合，则交换律A?B?B?AA?B?B?A;结合律(A?B)?C?A?(B?C),(A?B)?C?A?(B?C);分配律(A?B)?C?(A?C)?(B?C),(A?B)?C?(A?C)?(B?C);对偶律(A?B)C?AC?比(A?B>C?AC?B.(A?B)C?AC?B"的证明：x?(A?B)C?x?A?B?x?A且x?B?x?AC且x?BC?x?AC?比 所以(A?B)c?AC?由直积(笛卡儿乘积)：设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积，记为A?B,即A?B?{(x,y)|x?A且y?，例如，R?R?{(x,y)|x?R且y?R}即为xOy面上全体点的集合，R?R常记作R2.区间和邻域有限区间：设a<b,称数集{x[a<x<b}为开区间，记为(a,b),即( a,b)?{x|a<x<b}.类似地有[a, b] ?{ x| a?x?b}称为闭区间，[a, b) ?{ x| a?x<b}、(a,b]?{x|a<x?b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点，b?a称为区间的长度.无限区间：[ a,??)?{x|a?x},(??, b]?{x|x<b},(??,??)?{xIIx|<??}.区间在数轴上的表示：邻域：以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a).设?是一正数，则称开区间(a??,a??)为点a的？邻域，记作4a,?),即U(a,?)?{x|a??<x<a??}?{ x|| x?a|<?}.其中点a称为邻域的中心，？称为邻域的半径.去心邻域u(a,?):u(a,?)?{x|0<|x?a|<?}二、函数概念1.函数概念定义设数集D?R则称映射f:D?R为定义在D上的函数，通常简记为y?f(x),x?D其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df,即Df?D.应注意的问题：记号f和f(x)的含义是有区别的，前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便，习惯上常用记号“f(x),x?D'或"y=f(x),x?D'来表示定义在D上的函数，这时应理解为由它所确定的函数f.函数符号：函数y?f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母，例如“F”， “？”等.此时函数就记作y??(x),y?F(x).函数的两要素：函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.函数的定义域：函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例：求函数y1VxF7的定义域.x要使函数有意义，必须x?0,且x2??4?0.解不等式得|x|?2.所以函数的定义域为D?{x||x|?2},或D?(??,2]?[2,??]).单值函数与多值函数：在函数的定义中，对每个x?D对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个x?D总有确定的y值与之对应，但这个y不总是唯一的，我们称这种法则确定了一个多值函数.例如，设变量x和y之间的对应法则由方程x2?y2?r2给出.显然，对每个x?[?r,口，由方程x2?y2?r2,可确定出对应的y值，当x?r或x??r时，对应y?0一个值；当xW(?r,r)内任一个值时，对应的y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数.

对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如，在由方程x2?y2?r2给出的对应法则中，附加“y?0”的条件，即以“x2?y2?r2且y?0”作为对应法则，就可得到一个单值分支yyi(x);附加“y?0”的条件，即以“x2?y2?r2且y?0”作为对应法则，就可得到另一个单值分支2 2yy2(x),rx.表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法(公式法)，这在中学里大家已经熟悉.其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集{ P(x,y)|y?f(x),x?D}称为函数y?f(x),x?D的图形.图中的Rf表示函数y?f(x)的值域.函数的例子：值域为Rf值域为Rf?[0,??).称为绝对值函数.其定义域为D?(??,??),1x0例.函数ysgnx0x0.1x0称为符号函数.其定义域为D?(??,??),值域为Rf?{?1,0,1).例设x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x].函数y?[x]称为取整函数.其定义域为D?(??,??), 值域为Rf?Z.[5]0,[2]1,[?]?3,[?1]??1,[?3.5]??4.7分段函数：在自变量的不同变化范围中对应法则用不同式子来表示的函数称在自变量的不同变化范围中对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例。函数y这是一个分段函数二其定义域为D?[0,1]?(0,??)?[0,??).当0?x?1时，y2五；当x>1时，y?1?x.例如f(1)2,1、2;f(1)212；f(3)?1?3?4.三、函数的几种特性⑴函数的有界性设函数f(x)的定义域为D数集X?D如果存在数K1,使对任一x?X,一个上界.图形特点是y?f(x)的图形在直线y?K的下方.?K,?K,则称函数,而称K为函数X上的如果存在数K2,使对任一x?X有f(x)?K2,则称函数f(x)在X上有下界，而称K为函数f(x)在X上的一个下界.图形特点是，函数y?f(x)的图形在直线y?&的上方.如果存在正数M使对任一x?X,有|f(x)|?M则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上无界.图形特点是，函数y?f(x)的图形在直线y???M和y?M的之间.函数f(x)无界，就是说对任何M总存在Xi?X,使|f(x)|>M例如(1)f(x)?sinx在(?？，??)上是有界的：|sinx|?1.(2)函数f(x)1在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内x有下界，无上界.这是因为，对于任一M>1,总有x1：?0为21,使1f(x1) M,x1所以函数无上界.函数f(x)1在(1,2)内是有界的.x(2)函数的单调性设函数y?f(x)的定义域为D区间I?D如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.函数单调性举例：函数y?x2在区间(??,0］上是单调增加的，在区间［0,??)上是单调减少的，在(？？,??)上不是单调的.(3)函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x?D则?x?D).如果对于任一x?D,有f(?x)?f(x),则称f(x)为偶函数.如果对于任一x?D,有f(?x)??f(x),则称f(x)为奇函数.偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称，奇偶函数举例：y?x2,y?cosx都是偶函数.y?x3,y?sinx都是奇函数,y?sinx?cosx是非奇非偶函数.(4)函数的周期性设函数f(x)的定义域为D如果存在一个正数l,使得对于任一x?D有(x?l)?D且f(x?l)?f(x)则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期.周期函数的图形特点：在函数的定义域内，每个长度为l的区间上，函数的图形有相同的形状.四、反函数定义：设函数f:D?f(D)是单射，则它存在逆映射f?1:f(D)?D称此映射f?1为函数f的反函数.按此定义，对每个y?f(D),有唯一的x?D,使得f(x)?y,于是有f?1(y)?x.这就是说，反函数f?1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的.一般地，y?f(x),x?D的反函数记成y?f?1(x),x?f(D).若f是定义在D上的单调函数，则f:D?f(D)是单射，于是f的反函数f?1必定存在，而且容易证明f?1也是f(D)上的单调函数.相对于反函数y?f?1(x)来说，原来的函数y?f(x)称为直接函数.把函数y?f(x)和它的反函数y?f?1(x)的图形画在同一坐标平面上，这两个图形关于直线y?x是对称的.这是因为如果P(a,b)是y?f(x)图形上的点，则有b?f(a).按反函数的定义，有a?f ?1(b),故Q(b, a)是y?f ?1(x)图形上的点；反之，若Qb,a)是y?f?1(x)图形上的点，则P(a,b)是y?f(x)图形上的点.而Ra,b)与Qb,a)是关于直线y?x对称的.五、复合函数•初等函数.复合函数：复合函数是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念可如下表述.设函数y?f(u)的定义域为Di,函数u?g(x)在D上有定义且g(D?Di,则由下式确定的函数y?f[g(x)], x?D称为由函数u?g(x)和函数y?f(u)构成的复合函数，它的定义域为D变量u称为中间变量.函数g与函数f构成的复合函数通常记为fg,即(fg)?f[g(x)].与复合映射一样，g与f构成的复合函数fg的条件是：是函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域Df内，即g(D)?Df.否则，不能构成复合函数.例如，y?f(u)?arcsin u,的定义域为[?1, 1],ug(x)2J1x2在D[1,金哼,1]上有定义，且g(D)?[?1,1],则g与f可构成复合函数yarcsin2,1x2,X?D2但函数y?arcsinu和函数u?2?x不能构成复合函数，这是因为对任x?Ru?2?x2均不在y?arcsinu的定义域[?1,1]内.多个函数的复合：.基本初等函数：哥函数：y?x?(??R是常数);指数函数：y?ax(a?0且a?1);对数函数：y?logax(a?0且a?1,特别当a?e时，记为y?lnx);三角函数：y?sinx,y?cosx,y?tanx,y?cotx,y?secx,y?cscx;反三角函数：y?arcsinx,y?arccosx,y?arctanx,y?arccotx.课后作业(是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。)第18页第15题课后小结(课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。)注：从第二页开始以课时或单元为单位编制，每节课或每个单元都要有教案。第2次课学科

课题函数的极限周次5时数2授课班级1202114主要教学内容：1、自变量趋于有限值时函数的极限2、自变量趋于无穷大时的函数的极限教学目的和要求：1、会计算自变量趋于有限值时和自变量趋于无穷大时函数的极限教学重点：1、极限的概念、极限的性质及四则运算法则。教学难点：1、 极限的概念教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程§3函数的极限一、函数的极限.自变量趋于有限值时函数的极限定义？如果当x无限接近于xo?函数f(x)的值无限接近于常数A?则称当x趋于x0lim时？f(x)以A为极限？记作xxof(x)?A或f(x)?A(当x?x0)?定义的简单表述？limf(x)Axx0 ????0????0?当0?|x?x0|??时？|f(x)?A|???.单侧极限？若当x?x0?时？f(x)无限接1x近于某常数 A?1x则常数A叫做函数f(x)当x?x0时的左极限？记limf(x)A为xx0 .一或*x0?)=A?若当x?x0?时？f(x)无限接y?x?近于某常数 A?则常数A叫做函学科学科数f(x)当x?x0时的右极限？记为limf(x)A或*x0?)=A?xxo3.自变量趋于无穷大时函数的极限设f(x)当|x|大于某一正数时有定义？如果存在常数 A?对于任意给定的正数？?？总存在着正数X?使得当x满足不等式冈＞X时？对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)?A|<??则常数A叫做函数f(x)当x??时的极限？记为limf(x)Ax 或f(x)?A(x??)?TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"limf(x)A t.x ????0??X?0?当|x|?X时？有|f(x)?A]???类似地可定义limf(x)A十limf(x)A

x'，和x'， ?人limf(x)Alimf(x)Alimf(x)A结论？x ?x 且x ?课后作业(是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。)第36页第2、5题课后小结(课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。)第3次课课题无穷大与尢穷小周次7 时数 2 授课班级 1202114主要教学内容：无穷大无穷小教学目的和要求：理解无穷小、无穷大的概念教学重点：无穷小及无穷小的比较。教学难点：无穷大与无穷小教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程§4无穷大与无穷小?无穷大与无穷小.无穷小定义:如果函数f(x)当x?x0(或x??)时的极限为零？那么称函数f(x)为当x?x0(或x??)时的无穷小？特别地？以零为极限的数列｛xn｝称为n??时的无穷小？例如？1 1lim-0 一因为xx?所以函数x为当x??时的无穷小？因为xmi(x1)0?所以函数为x?1当x?1时的无穷小？lim—0 —因为nn1 ?所以数列｛n1｝为当n??时的无穷小？讨论？很小很小的数是否是无穷小？ 0是否为无穷小？提示？无穷小是这样的函数？在x?x0(或x??)的过程中？极限为零？很小很小的数只要它不是零？作为常数函数在自变量的任何变化过程中？其极限就是这个常数本身？不会为零？无穷小与函数极限的关系？定理1 在自变量的同一变化过程x?x0(或x??)中？函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)?A???其中？是无穷小？limf(x)A证明？设x% ????0?????0?使当0?|x?x0|???时？有|f(x)?A|???令？?f(x)?A?则？是x?x0时的无穷小？且

f(x)?A???这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小？之和？反之？设f(x)?A???其中A是常数？？是x?x0时的无穷小？于是|f(x)?A|?|?|?因？是x?x0时的无穷小？？？？0?????0?使当0?|x?x0|????有|?|??或|f(x)?A]???这就证明了A是f(x)当？x?x0时的极限？简要证明？令？?f(x)?A?则|f(x)?A|?|?|?如果？？？0?????0? 使当0?|x?x0|????有f(x)?A|?????就有|?|???反之如果？？？0?????0? 使当0?|x?x0|????有|?|??????就有f(x)?A]???这就证明了如果A是f(x)当？x?x0时的极限？则？是x?x0时的无穷小？如果？是x?x0时的无穷小？则A是f(x)当？x?x0时的极限？类似地可证明x??时的情形？x31 1 lim1 0 lim1x31例如？因为2x3 2 2x3 ?而x 2x3 ?所以x 2x3 2?定理2有限个无穷小的和也是无穷小定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.无穷大定义：如果当x?x0(或x??)时？对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大？就称函数f(x)为当x?x0(或x??)时的无穷大？记为...limf(x)(或x )?应注意的问题？当x?x0(或x??)时为无穷大的函数f(x)?按函数极限定义来说？极限是不存在的？但为了便于叙述函数的这一性态 ？我们也说“函数的极限是无穷大”？并记作limf(x)xxlimf(x)xxo(或严叫))?定理2(无穷大与无穷小之间的关系广在自变量的同一变化过程中？如果f(x)为无穷大？则f(x)为无穷小？反之？如果f(x)为无穷小？且f(x)?0?则f(x)为无穷大？简要证明？. 1limf(x)0 v如果xx0 ?且f(x)?0? 那么对于 M?????0?当0?|x?x01???时？如果士|f(x)l士|f(x)l有M?由于当0?|x?x01???时？f(x)?0?从而1| 1M|f(x)| ?所以f(x)为x?x0时的无穷大？limf(x)如果xx0■ 1|f(x)|M有M1?那么对于 ？？???0?当0?|x?x|???时？1?即1f(x)|?所以为x?x时的无穷小？学科学科简要证明？如果f(x)?0(x?x0)且f(x)?0?则？？？0?????0?当0?|x?x0]???时？有|f(x)|???即？所以f(x)??(x?x0)?如果f(x)??(x?x0)? WJ?M?0?????0*0?|x?x0]???时？有|f(x)|?M?即？所以f(x)?0(x?x0)?课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）第43页第2题课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）第4次课课题函数运算法则周次7 时数 2 授课班级 1202114主要教学内容：极限运算法则教学目的和要求：掌握极限运算法则。教学重点：极限运算法则教学难点：两个重要极限教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程§5极限运算法则一、极限运算法则定理1如果limf(x)?A?limg(x)?B? 那么lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B?limf(x)?g(x)?limf(x)?limg(x)?A?B?..f(x)limf(x)Alimg(x)limg(x)B(B?0)?证明(1)?因为limf(x)?A?limg(x)?B? 根据极限匕无穷小的关系？有f(x)?A???g(x)?B???其中？及？为无穷小？于是f(x)?g(x)?(A???)?(B???)??(A?B)??(????)?即f(x)?g(x) 可表示为常数(A?B)与无穷小(????)之和？因此lim[f(x)?g(x)]??limf(x)?limg(x)??A?B?定理2如果？(x)??(x)? 而lim?(x)?a?lim?(x)?b? 那么a?b?推论1如果limf(x)存在？川c为常数？则lim[cf(x)]?climf(x)?推论2如果limf(x)存在？而n是正整数？则lim[f(x)]n?[limf(x)]n?.c limx3例3?求x3x29?lim1 1..x3 .. x3 .. 1 x'lim_ lim lim lim(x3)6解？x3x29x3(x3)(x3)x3x3如(x3)6?

例4?求lim_例4?求lim_2x3lim解？x1ix25x4?x25x4125142x3 213lim22x-3—根据无穷大与无穷小的关系得X1x25x4???.求

解？limx3x.求

解？limx3x34x227x35x23?.求

解？先用x3去除分子及分母？然后取极限？lim3x22x1x2x3x25?先用x3去除分子及分母？然后取极限？lim3x22lim3x22x1x2x3x25limx3 2 1x x2 x3 002 1 5 22 — —3xx3rclim7?求x2x3x2rclim7?求x2x3x253x22x1lim解？因为xlimx2x33x22x12x3x25x250?所以3x22x18?求

8?求

解？应用？sinx因为xlim皿所以xx..sinxlim—xx当x??时？分子及分母的极限都不存在？故关于商的极限的运算法则不能1.sinxx?是无穷小与有界函数的乘积？课后作业

（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）

第50页第2题

课后小结

（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）第5次课—高等数学（一）课题极限存在准则•两个重要极限周次8 时数 2 授课班级 1202114主要教学内容：火逼准则单调有界收敛准则教学目的和要求：了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。教学重点：两个重要极限教学难点：两个重要极限教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§6极限存在准则•两个重要极限极限存在准则•两个重要极限.夹逼准则准则I如果数列｛xn｝、｛yn｝及｛zn｝满足下列条件？(1)yn?xn?zn(n?1?2?3????)?limynalimzna2)n?n?limXna那么数列｛xn｝的极限存在？且n?证明？因为limyna?limzna?以根据数列极限的定义？???0??Ni?0?当n?Nin n时？有|yn?a|???又？M?0?当n?N2时？有|zn?a]???现取N?max｛Ni?N｝?则当n?N时?|yn?a|???|zn?a|???同时成立？即a???yn?a???a???zn?a???同时成立？又因yn?xn?zn?所以当n?N时？有a???yn?xn?zn?a???即 | xn?a|???limxna这就证明了nn?简要证明？由条件(2)????0??N?0?当n?N时，有|yn?a|??及|zn?a|???即有a ???yn?a???a???zn?a???由条件(1)?有a???yn?xn?zn?a???即|xn?a|???这就证明了limxna?n准则I?如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件?⑴g(x)?f(x)?h(x)?(2)limg(x)?A?limh(x)?A?那么limf(x)存在？且limf(x)?A?第一重要极限：

sinx证明首先注意到？函数x对于一切x?0都有定义？参看附图？图中的圆为单位圆？BC?OADA?OA?0心?A?AOB?x(0?x?三)？显然sinx?CB?x?AB?tanx?AD?因S?AOB?嗣形AOB?S?AOD?所以2sinx?2x?2tanx?即 sinx?x?tanx?不等号各边都除以sinx?就有1x1

sinxcosx?cosxsinx1..sinx.lim 1x0..sinx.lim 1x0x、 … - limcosx1注意此不等式当？2?x?0时也成立？而X0 ?根据准则I??x—x—2)?简要证明？参看附图？设圆心角?AOB?x（显然BC?AB?AD?因止匕sinx?x?tanx?cosxsinx1从而x（此不等式当x?0时也成立）?,limcosx1 ,, 、 limsinx1因为x0 ?根据准则I??x0x?应注意的问题？sin(x)lim 在极限(x)中？只要?(x)是无穷小？就有limsin(x)1(x) ?limsin(x)lim-sinu1这是因为？令u??(x)?则u?0?于是(x)u0u?limsinx1limsin/x)1x0x? (x) (?(x)?0)?2.单调有界收敛准则准则II 单调有界数列必有极限？如果数列｛xn｝满足条件x1?x2?x3?????xn?xn?1?????就称数列｛xn｝是单调增加的？如果数列｛xn｝满足条件x1?x2?x3?????xn?xn?1?????就称数列｛xn｝是单调减少的？单调增加和单调减少数列统称为单调数列？如果数列｛xn｝满足条件xn?xn?1?n?N??在第三节中曾证明？收敛的数列一定有界？但那时也曾指出？有界的数列不一定收敛？现在准则II表明？如果数列不仅有界？并且是单调的？那么这数列的极限必定存在？也就是这数列一定收敛？准则II的几何解释？

单调增加数列的点只可能向右一个方向移动?或者无限向右移动？或者无限趋近于某一定点A?而对有界数列只可能后者情况发生？1„lim(1_)n根据准则II?可以证明极限nn存在？1、n设xn(n)?现证明数列｛xn｝是单调有界的？按牛顿二项公式？有TOC\o"1-5"\h\z1 1 2n11 2n1)(1n1) (1nn1)1

(1

(n1)!'比较1 2n1)(1n1) (1nn1)1

(1

(n1)!'比较xn?xn?1应项？并且xn?1xn?xn?1?的展开式？可以看出除前两项外？xn的每一项都小于xn?1的对还多了最后一项？具值大于0?因此这就是说数列｛xn｝是单调有界的？这个数列同时还是有界的？因为xn的展开式中各项括号内的数用较大的数 1代替？得第二重要极限:即替？得第二重要极限:即根据准则II?数列｛xn｝必有极限？这个极限我们用e来表示？lim(11)我们还可以证明lim(11)xx我们还可以证明lim(11)xx指数函数y?ex以及对数函数1e?e是个无理数？它的值是e?2?????y?lnx中的底e就是这个常数？在极限lim[1(x)]与中？只要？(x)是无穷小？就有1lim[1 (x)](x)e?u这是因为？令1-xim(1x)u这是因为？令1-xim(1x)xe?lim[11(x)?则u???于是1im[1 (x)]1(x)1

lim(11)ueuulim(1例3?求x解？令t??x?lim(11)xxx(x)](x)e(?(x)?0)?1、xx)?则x??时？t???于是1 1llim—1-1lim(11)tt(11)tett tTOC\o"1-5"\h\z1 1 , 1 , ,、lim(11)x lim(1 1 )x( 1)[lim(1 1 )x]1 e1或xxxx xx课后作业

(是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。)

第60页第1题

课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）第6次课—高等数学（一）课题无穷小的比较周次8 时数 2 授课班级 1202114主要教学内容：无穷小的比较教学目的和要求：掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学重点：用等价无穷小求极限教学难点：用等价无穷小求极限教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程无穷小的比较1.定义:(Dlim—如果是比lim一如果是比lim如果limk如果lim一如果例1.证明：当x无穷小的比较高阶的无穷小，记作低阶的无穷小,0，就说是比同阶的无穷小,0,k就说0时,()•0无穷小的比较1.定义:(Dlim—如果是比lim一如果是比lim如果limk如果lim一如果例1.证明：当x无穷小的比较高阶的无穷小，记作低阶的无穷小,0，就说是比同阶的无穷小,0,k就说0时,()•0，就说是关于的k阶的无穷小,与是等价的无穷小，记作n/1~x~—xn定理1与是等价无穷小的充分必要条件为例2.因为当x1cosxx12-x20时,

时有

(x2)1sinx~xtanx~xarcsinx~x

sinxx(x)tanxx(x)12cosx—x2arcsinxx(x)定理2设~lim—,且存在，则sinxlim 例4求x0x33x1(1x2r1cosx1tan2xlim例3求x0tan3x课后作业

（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）

第72页第2题课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）第7次课—高等数学（一）课题函数的连续性周次9 时数 2 授课班级 1202114主要教学内容：函数连续性的概念函数的间断点初等函数的连续性教学目的和要求：理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。了解连续函数的性质和初等函数的连续性。教学重点：连续函数的性质和初等函数的连续性教学难点：连续函数的性质和初等函数的连续性教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程致?as§8函数的连续性函数的连续性1.变量的增量？设变量u从它的一个初值u1变到终值u2?终值与初值的差u2?u1就叫做变量u的增量？记作？u?即？u?u2?u1?设函数y?f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的？当自变量x在这邻域内从x0变到x0??x时？函数y相应地从f(x0)变到f(x0??x)?因此函数y的对应增量为?y?f(x0??x)?f(x0)?2.函数连续的定义设函数y?f(x)在点x0的某一个邻域内有定义？如果当自变量的增量?x?x?x0趋于零时？对应的函数的增量？y?f(x0??x)?f(x0) 也趋于零？即limny0limf(x)f(x0)x0 ?或*x0 ?那么就称函数y?f(x)在点x0处连续？、,小limnylimjf%x)f(%)]0汪？①x0x0②设x?x0+?x?则当？x?0时？x?x0?因此limy0lim[f(x)f(%)]0limf(x)f%)x0j?xx) ?xx0 ?函数连续的等价定义2?设函数y?f(x)在点x0的某一个邻域内有定义？如果对于任意给定义的正数？？总存在着正数？？使得对于适合不等式|x?x0|<?的一切x?对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)?f(x0)|<??那么就称函数y?f(x)在点x0处连续？.左右连续性？limf(x)f(x0)如果xx0 ?则称y?f(x)在点x0处左连续？limf(x)f(x0)如果xx0 ?则称y?f(x)在点x0处右连续？左右连续与连续的关系？函数y?f(x)在点x0处连续？函数y?f(x)在点x0处左连续且右连续？函数在区间上的连续性？在区间上每一点都连续的函数？叫做在该区间上的连续函数？或者说函数在该区间上连续？如果区间包括端点？那么函数在右端点连续是指左连续？在左端点连续是指右连续？.连续函数举例？1?如果f(x)是多项式函数？则函数f(x)在区间(??？??)内是连续的？这是因为？f(x)在(?????)内任意一点x0处有定义？且limP(x)P(x0)xx0 ?2?函数f(x)以在区间[0???)内是连续的？3?函数y?sinx在区间(??？？?)内是连续的？证明？设x为区间(??？？?)内任意一点？则有TOC\o"1-5"\h\zx x2sin—cos(x—)?y?sin(x??x)?sinx 2 2?.., 一、，..一……一 limy0 一..因为当？x?0时？???y是无穷小与有界函数的乘积？??所以x0 ???这就证明了函数y?sinx在区间(??？??)内任意一点x都是连续的.4?函数y?cosx在区间(??？??)内是连续的？函数的间断点.间断定义？设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义？在此前提下？如果函数f(x)有下列三种情形之一？在x0没有定义？lim虽然在x0有定义？但x~f(x)不存在？TOC\o"1-5"\h\zlim lim虽然在x0有定义且xx0f(x)存在？但xxf(x)?f(x0)?则函数f(x)在点x0为不连续？而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点？x— x—例1?正切函数y?tanx在2处没有定义？所以点2是函数tanx的问断点？limtanxx x因为x2 ?故称2为函数tanx的无穷间断点？.1 .1ysin sin—例2?函数x在点x?0没有定义？所以点x?0是函数x的间断点？sin—当x?0时？函数值在?1与？1之间变动无限多次？所以点x?0称为函数x的振荡问断点？y/21例3?函数x1在x?1没有定义？所以点x?1是函数的间断点？TOC\o"1-5"\h\zlimx1lim(x1)2 ,一、人 * ,因为x1x1x1 ?如果补充定义？令x?1时y?2?则所给函数在x?1成为连续？所以x?1称为该函数的可去问断点？x x1yf(x)1 x1例4?设函数 2 ?,limf(x)limx1f(1)—limf(x)f(1) 一，，、,一因为x1x1 ? 2?x1 ?所以x?1是函数f(x)的间断点？如果改变函数f(x)在x?1处的定义？令f(1)?1?则函数f(x)在x?1成为连续？所以x?1也称为该函数白^可去间断点？x1f(x)0例5?设函数x1TOC\o"1-5"\h\zlimf(x)lim(x1) 1因为x0 —x0\ /limf(x)lim(x1)1x0 x0 Ox叫f(x)如f(x)?所以极限xi"f(X)不存在？x?0是函数f(x)的间断点？因函数f(x)的图形在x?0处产生跳跃现象？我们称x?0为函数f(x)的跳跃间断点？2.间断点的分类：通常把间断点分成两类？如果x0是函数f(x)的间断点？但左极限f(x0?0)及右极限f(x0?0)都存在？那么x0称为函数f(x)的第一类间断点？不是第一类间断点的任何间断点？称为第二类间断点？在第一类间断点中？左、右极限相等者称为可去间断点？不相等者称为跳跃间断点？无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点 ？初等函数的连续性1.连续函数的和、积及商的连续性定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续？则函数f(x)f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? g(x)(当g(xo)0时)在点x0也连续？f(x)?g(x) 连续性的证明？因为f(x)和g(x)在点x0连续？所以它们在点x0有定义？从而f(x)?g(x)在点x0也有定义？再由连续性和极限运算法则？有lim［f(x)g(x)］limf(x)limg(x)f(/)g(x))xx0 xx0 xM ?根据连续性的定义？f(x)?g(x)在点x0连续？例1?sinx和cosx都在区间(??？??)内连续？故由定理3知tanx和cotx在它们的定义域内是连续的？三角函数sinx?cosx?secx?cscx?tanx?cotx 在具有定义的区间内都是连续的？二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)且连续？那么它的反函数x?f?1(y)也在对应的区间Iy?{y|y?f(x)?x?Ix} 上单调增加(或单调减少)且连续？证明(略)?例2?由于y?sinx在区间［5,5］上单调增加且连续 ？所以它的反函数y?arcsinx 在区间［?1?1］上也是单调增加且连续的？同样？y?arccosx在区间［?1?1］上也是单调减少且连续？y?arctanx在区间(?????)内单调增加且连续？y?arccotx在区间(??？??)内单调减少且连续？总之？反三角函数arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它们的定义域内都是连续的？定理3设函数y?f［g(x)］由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成？U(丫)D limgx)U0U(x0)Dfg?若xx。 ?而函数y?f(u)在U0连续？则limf［gx)］limf(u)f(u0)xx° uU0 9

简要证明要证？？？0????0?当0?|x?x0]??时？有|f[g(x)]?f(u0)|???因为f(u)在u0连续？所以？？?0????0?当|u?u0|??时？有|f(u)?f(u0)|???又g(x)?u0(x?x0)?所以对上述??0????0?当0?|x?x0]??时？有|g(x)?u0|???从而|f[g(x)]?f(u0)|???(2) 定理的结论也可写成xx0函数符号f与极限号可以交换次序(2) 定理的结论也可写成xx0函数符号f与极限号可以交换次序?xx0 ?求复合函数f[g(x)]的极限时？limf[u(x)]limf(u)xxouUo表明？在定理3的条件下？如果作代换u?g(x)?那么求limf[g(x)] limf(u) u0limg(x)xx0 就转化为求uu0 ?这里xx0 ?把定理5中的x?x0换成x???可得类似的定理？例3?例3?求x、x29?lim解？lim解？x3提示？4?x3\x2x3\x29x3

x29是由V1而与u6?函数y"ux3x2""9复合而成的？1u八在点6连续？?g(x0)定理4设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成？U(x0)?Dfog?若函数u?g(x)在点xo连续？函数y?f(u)在点u0?g(x0)连续？则复合函数y?f[?(x)]在点x0也连续？lim证明？因为？(x)在点x0连续？所以xx0?(x)??(x0)?u0?lim又y?f(u)在点u?u0连续？所以xx。f[?(x)]?f(u0)?f[?(x0)]?这就证明了复合函数f[?(x)]在点x0连续？1ysin一例4?讨论函数x的连续性？cj 1ysin u,解？函数x是由y?sinU及 x复合而成的？sinu1xsinu1x当？?<u<??寸是连续的？当？?<x<0和0<x<??时是连续的？sin1根据定理4?函数 x在无限区间(???0)和(0???)内是连续的？2、初等函数的连续性在基本初等函数中？我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是连续的？我们指出？指数函数ax(a>0?a?1)对于一切实数x都有定义？且在区间(?????)内是单调的和连续的？它的值域为(0???)?由定理4?对数函数logax(a>0?a?1)作为指数函数ax的反函数在区间(0???)内单调且连续？

事函数y?x?的定义域随？的值而异？但无论？为何值？在区间(0???)内N函数总是有定义的？可以证明？在区间(0???)内幕函数是连续的？事实上？设x>0?则y?x??alogax?因此？幕函数x?可看作是由y?au?u??logax复合而成的？由此？根据定理6?它在(0???)内是连续的？如果对于？取各种不同值加以分别讨论？可以证明幕函数在它的定义域内是连续的？结论？基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 ？最后？根据初等函数的定义？由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论？一切初等函数在其定义区间内都是连续的 ？所谓定义区间？就是包含在定义域内的区间？初等函数的连续性在求函数极限中的应用 ？如果f(x)是初等函数？且x0是f(x)的定义区间内的点？lim则xx0f(x)?f(x0)?例5例5?求lim、1x2x0解？初等函数f(x)?Q2在点％0是有定义的？lim1x2 11所以x0 ?limlnsinx例6?求x2解？初等函数f(x)?lnsinx解？初等函数f(x)?lnsinxx。—在点2是有定义的？limInsinxlnsin—0所以lim二1例7?求x0x21xlim解？x01x2lim二1例7?求x0x21xlim解？x01x21

xxm0(Jx21)(.1 x2 1)x(1x21)lim—x0，1xx21例8?求limx0lOga(1x)解？kgax1 x)1州0lOga(1初logae1lna?xlima例9?求x0x解？令ax?1?t?贝Ux?loga(1?t)?x?0时t?0?于是limax1lim t lnax0x?t0loga(1t)?课后作业(是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。)课后小结

（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）第8次课—高等数学（一）课题导数概念周次10 时数 2 授课班级 1202114主要教学内容：.导数的定义.求倒数举例.导数的几何意义.函数的可导性与连续性之间的关系教学目的和要求：.?了解导数概念的实际背景，能描述导数的概念掌握表达形式，会用导数（变化率）描述简单的实际问题；？.?了解导数的几何意义，会用导数求曲线的切线和法线方程； ？3.?了角阿导与连续的关系。教学重点：.?导数的概念；？.?导数的几何意义；？.?函数可导与连续的关系。教学难点：.?导数的概念；？.?函数可导与连续的关系。教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§1导数概念一、导数概念.引例直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动？时刻t质点的坐标为s?s是t的函数？S=f(t)?求动点在时刻t0的速度？考虑比值sS)f(t)f(to)??tto tto这个比值可认为是动点在时间间隔t=to内的平均速度？如果时间问隔选较短？这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻to的速度？但这样做是不精确的？更确地应当这样？令t=to?0?取比值f(t)f(to)的极限？如果这个极限存在？设为v?即tto..f(t)f(to)9vlim -?ttotto这时就把这个极限值v称为动点在时刻to的速度？.切线问题设有曲线C及C上的一点M?在点M外另取C上一点N?作割线MN?当点N沿曲线C趋于点M时？如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT?直线MT就称为曲线C有点M处的切线？设曲线C就是函数y?f(x)的图形？现在要确定曲线在点M(xo,yo)(yo?f(x。))处的切线？只要定出切线的斜率就行了？为此？在点M外另取C上一点N(x,y)?于是割线MN的斜率为tanyyof(x)f(xo)?xXo xxo其中？为割线MN勺倾角？当点N沿曲线C趋于点M时？x?xo?如果当x?。时？上式的极限存在？设为k?即存在？则此极限k是割线斜率的极限？也就是切线的斜率？这里k?tan???其中？是切线MT的倾角？于是？通过点M(xo,f(xo))且以k为斜率的直线MT®是曲线C在点M处的切线？二、导数的定义1?函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出？非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限？TOC\o"1-5"\h\z..f(x)f(xo)olim '?xxo xM令？△xux-xo?贝1!?△¥=£(xo+z\x)-f(xo)=f(x)-f(xo)?x?xo相当于Ax?o?于是..f(x)f(xo)limxxo xxo

IOlim,或limf(XoX).)?X0xx0 x定义设函数y=f(x)在点X0的某个邻域内有定义？当自变量x在X0处取得增量△x(点X0+z\x仍在该邻域内)时？相应地函数y取得增量△y=f(xo+zXx)-f(x。)？如果△y与Ax之比当Ax?。时的极限存在？则称函数y=f(x)在点x。处可导？并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数？记为丫限比？即y f(x0 x)f(x0)9f(沏)也可记为ylxx0limf(沏)也可记为ylxx0x0xx0 xdy肃df(x)dxxxc dxxx0函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在？导数的定义式也可取不同的形式？常见的有TOC\o"1-5"\h\zf(x0)limf(x0h)f(xo)?为h0 hf(x)f(%)o\o"CurrentDocument"f(x0)lim -?xx0xx0在实际中？需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 ？在数学上就是所谓函数的变化率问题？导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 ？如果极限limf^—x)f(x0)不存在？就说函数y=f(x)在点x0处不可导？x0 x如果不可导的原因是由于limf(x0—x)f(x0) ?x0 x也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大？如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导？就称函数f(x)在开区间I内可导？这时？对于任一x?I?都对应着f(x)的一个确定的导数值?这样就构成了一个新的函数？这个函数叫做原来函数y=f(x)的导函数？记作y?f(x)??？或f)?dxdx2.导函数的定义式？ylimf(xx)f(x)?limf(xh)f(x)?x0 x h0hf?(x0)与f?(x)之间的关系？函数f(x)在点x0处的导数f?(x)就是导函数f?(x)在点x=x0处的函数值?即f(沏)f(x)xx0?导函数f?(x)简称导数？而f?(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f?(x)在x0处的值？左右导数？所列极BM存在？则定义f(x)在x0的左导数？f(%)f(x)在f(x)在x0的左导数？f(%)f(x)在x0的右导数？f(%)h0 h -limf(x0h)f(x0)?h0 h ,如果极限1明3产！存在？则称此极限彳S为函数在X0的左导数？如果极限/叫必产存在？则称此极限彳为函数在X0的右导数？导数与左右导数的关系??f(x0)A?f(x0)f(x0)A?

三、求导数举例例1.求函数f(x)?C(C为常数)的导数？解？f(x)limh0f(xh)f(x)..CC

lim h0h0?即？？？？(C)?=0?例2?解？f(x)limh0f(xh)f(x)..CC

lim h0h0?即？？？？(C)?=0?例2?求f(x)的导数？解？f(x)limh0例3?求f(x)f(xh)f(x)

h1limxhh0h1x h 1lim lim ?h0h(xh)xh0(xh)x1

x2解？ f(x)lim班的导数？f(xh)f(x)lim——；—————limlim——；—————limh0h(xh.x)h0例4.求函数f(x)?xn(n为正整数)在x?a处的导数？解？f?(a)limf(x)f(a)xaxa把以上结果中的a换成x得(C)??0?(1) !?(,x)x x2例5.求函数f(x)?sinnn n?1 n?2limx—a lim(x?ax???????xaxaxaf?(x)=nxn?1?即(xn)?=nxn?1?六？(X)x1?x的导数？n?1)=nan?1?解？f?(x)limh0f(xh)f(x)limh0sin(xh)sinx?????????????解？f?(x)limh0f(xh)f(x)limh0sin(xh)sinx?????????????h、|imQCOs(x2)sinh—2

h2cosx?x)?=-sinx?即(sinx)?=cosx?x)?=-sinx?用类似的方法？可求得(cos例6.求函数f(x)??ax(a>0?a?1)的导数解？f?(x)limf(xh)f(x)limaxhaxh0h h0hax1 axlna?logae特别地有(ex)'=ex?例7.求函数f(x)?logax(a>0?a?1)的导数TOC\o"1-5"\h\z解？f(x)limf(xh)f(x)limloga(xh)logaxh0h h0 h1logae1 ?xxlnaloga(xh)logax .. 1 hx斛？f(x)him0 h— him0hloga(1x)xhim0loga(1 xlogae上?(logax)xl：a???

特殊地(lnx)1?x1 1-(logax) xlna??(lnx)x?.单侧导数？f(xh)f(x)极限limf(x?f(x)存在的充分必要条件是h0hf(xh)f(x)f(xh)f(x)lim- -limh0 h h0limh0f(xh)f(x)limh0f(xh)f(x)?hf(xh)f(x)?h-£”)在乂0处的左导数?f(xo)£")在乂0处的右导数？f(x0).导数与左右导数的关系函数f(x)在点x°处可导的充分必要条件是左导数左导数 f??(x0)和右导数f??(x0)都存在且相等？如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导？且右导数f??(a)和左导数f??(b)都存在？就说f(x)有闭区间［a,b］上可导？例8.求函数f(x)??x|在x?0处的导数？解？f(0)J吗f(0)解？f(0)J吗f(0)h叫h h0hf(0h)f(0) limIhl1??h h0h因为f??(0)?f??(0)?所以函数f(x)?|x|在x?0处不可导？四、导数的几何意义函数y=f(x)在点x。处的导数f?(xo)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(xo,f(xo))处的切线的斜率？即f?(xo)=tan??其中？是切线的倾角?如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大？这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置？即曲线y=f(x)在点Mx°,f(x°))处具有垂直于x轴的切线x=x0??由直线的点斜式方程？可知曲线y?f(x)在点Mx°,y°)处的切线方程为y-yo=f?(xo)(x-xo)?过切点M(x0,y°)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果f?(x0)?0?法线的斜率为大？从而法线方程为f(%)yNo—1、(xx°)?f(x0)例9?求等边双曲线yx在点(1,2)处的切线的斜率？并写出在该点处的切线方程和法线方程？解？y白？所求切线及法线的斜率分别为x2kl(X2)x1 4?%I4?所求切线方程为y24(x1)?即4x?y?4?0?所求法线方程为y24(x1)?即2x?8y?15?0?例10.求曲线yx声的通过点(0??4)的切线方程？解设切点的横坐标为xo?则切线的斜率为Q1 f(x0)(x2)5x2xx^Jx0'2xxo2于是所求切线的方程可设为yx0区3dx(xx0)?根据题目要求？点(0??4)在切线上？因此4x0■,x02xx0(0x0)?解之得x0?4?于是所求切线的方程为y44|"(x4)?即3x?y?4?0?五、函数的可导性与连续性的关系设函数y?f(x)在点x0处可导？即lim—yf(x0)存在？则x0xTOC\o"1-5"\h\zlimy lim_y. xlim—y lim xf(x0) 00?x0 x0xx0x x0这就是说？函数y?f(x)在点x0处是连续的？所以？如果函数y=f(x)在点x处可导？则函数在该点必连续？另一方面？一个函数在某点连续却不一定在该点处可导 ？例7.函数f(x)我在区间(?？,??)内连续？但在点x=0处不可导？这是因为函数在点x=0处导数为无穷大「 f(0h)f(0)r3h0olim lim ?h0h h0h_x课后作业(是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。)第91页第5题课后小结

（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）第9次课—高等数学（一）课题函数的和、积、商的求导法则周次10 时数 2 授课班级 1202114主要教学内容：1、函数的线性组合的求导法则2、函数积的求导法则3、函数商的求导法则教学目的和要求：熟练掌握导数的四则运算法则教学重点：导数的四则运算法则教学难点：导数的求导法则教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§2函数的和、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u?u(x)及v?v(x)在点x具有导数？那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点X具有导数？并且[ u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x)?[ u(x)?v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x)?u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)?TOC\o"1-5"\h\zv(x) v2(x)证明⑴[u(x)v(x)]lim[u(xh)v(xh)][u(x)v(x)]h0 hlimu(xh)u(x)v(xh)v(x)?u?(x)?v?(x)?h0h h法则(1)可简单地表示为( u?v)??u??v??⑵ [u(x)v(x)]limou(xh)v(x?u(x)v(x)? u?(x)v(x)?u(x)v?(x)?其中limv(x?h)?v(x)是由于v?(x)存在？故v(x)在点x连续？h0法则(2)可简单地表示为uv)??u?v?uv??u(xh)u(x)u(x) lim v(xh) v(x)limu(x h)v(x)u(x)v(x h)v(x) h0hh0 v(xh)v(x)hu(x)v(x)u(x)v(x)?v2(x) ,法则(3)可简单地表示为( u?v)??u??v??(uv)??u?v?uv??(v)uv-2uv-?定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形 ？例如？设u?u(x)、v?v(x)、w?w(x)均可导？则有( u?v?w)??u??v??w??( uvw^??[(uv)w]??(uv)?w?(uv)w?????????????????????????????u?v?uv?)w?uvw??u?vw?uv?w?uvw??即(uvWl???u?vW?uv?W?uvW??在法则(2)中？如果v?qc为常数)？则有( Ci)??Cu??例1.y?2x3?5x2?3x?7?求y?解？y??(2x3?5x2?3x?7)??(2x3)??5x2)??3x)??7)??2(x3)??5x2)??3x)? 2_ 2_ ?2?3x?5?2x?3?6x?10x?3?例2?f(x)x34cosxsin—?求f?(x)及f(—)?解？f(x)(x3)(4cosx)(sin>2)3x24sinx?f(T)324?例3.y?ex(sinx?cosx)?解？y???ex)?(sinx?cosx)??2例4.ex(sinx?cosx)?exexcosx?y?tanx?求y??求y??ex(sinx?cosx)?(cosx?sinx)解？y(tanx)(sinx)(sinx)cosxsinx(cosx)cosx??????????cos2xsin2x1cos2x即(tan例5.cos2x cos2x2x)??secx?y?secx?求y??sec2x?解？y1\ (1)cosx1(cosx)(secx)( ) 2' /cosx cos2x(sec x)??secxtan含？secxtanx?x?用类似方法？还可求得余切函数及余割函数的导数公式？(cot(cscx)???csc2x?x)???cscxcotx?课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）第91页第5题课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）第10次课学科高等数学课题反函数和复合函数的求导法则周次11 时数 2 授课班级 1202114主要教学内容：反函数的导数复合函数的求导法则教学目的和要求：熟练掌握复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解一阶微分形式的/、艾性，会求函数的微分。教学重点：复合函数的求导法则教学难点：复合函数的求导法则教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程§3反函数和复合函数的求导法则反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则定理2如果函数x?f(y)在某区间Iy内单调、可导且f?(y)?0?那么它的反