高考数学专题13坐标系与参数方程教学案文

专题13坐标系与参数方程【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)直线、曲线的极坐标方程；(2)直线、曲线的参数方程；(3)参数方程与普通方程的互化;,本内容的考查要求为 B级.,本内容的考查要求为 B级.重重点、难点剖析】1.直角坐标与极坐标的互化M是平面pcosM是平面pcos0,psin0,rx=内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x, y)和(p,0),则，；iy=■p2=x2+y2,tan0=yx/0x.直线的极坐标方程00sin(00—若直线过点MP0,。0),且极轴到此直线的角为 ”,则它的方程为：00sin(00—a).几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：e=a；(2)直线过点M(a,0)(a>0)且垂直于极轴：pcos。=a；(3)直线过Mjb,2 平行于极轴：psin0=b..圆的极坐标方程若圆心为M(p。，。0),半径为r的圆方程为：p—2p0pcos(0—。0)+00—r=0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：p=r；(2)当圆心位于M(r,0),半径为r：P=2rcos0；(3)当圆心位于M『，-2-半彳至为r：p=2rsin0.(4)0为参数，0W。W2兀).圆x=x(4)0为参数，0W。W2兀).圆圆心在点Mx0,y0),半径为r的圆的参数方程为“y=y0+rsin0心在点A(P0,00),半径为r的圆的方程为r2=p2+p20—2pp0cos(00)•.直线的参数方程x=x0+1cos■=y=yo+1sin经过点P0x=x0+1cos■=y=yo+1sin设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P的数量..圆的参数方程圆心在点Mx。，y圆心在点Mx。，y。)，半径为r的圆的参数方程为x=X0+rcosy=y0+rsin为参数，0W0<271).6.6.圆锥曲线的参数方程2 2⑴椭圆》土1的参数方程为x=acos2 2⑴椭圆》土1的参数方程为x=acos0|y=bsin 0(2)双曲线X y2=1的参数方程为x=asec<y=btanx=2pt2(t为参数).⑶抛物线y2=2px(p(t为参数).iy=2pt【题型示例】题型一极坐标【例1】【2017课标3,文22】在直角坐标系xOy中，直线li的参数方程为/x=2+t,

y二kt,(t为参数)，直P的轨迹为曲线P的轨迹为曲线C.线l2的参数方程为mm (m为参数).设l1与12的交点为P,当k变化时,y=；(1)写出C的普通方程;（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设13：p（cos0+sin。）-握=0,M为13与C的交点，求M的极径.【答案】(1)x2—y2=4(y#0)；(2)而【解析】<1）消去参数r得4的普通方程Ai=项/―2、消去参数泄得占的普通方程4：y=［（H+2）.ky=k（x-2）谩尸（名班由题设得4 1 .、：消去上得/一丁=4（.0）一>=-（x+2）k所以C的普通方程为x2-y2=4（y^Q）.（2）C的极坐标方程为口工（8号%—珈七）=4（。<S<2%S金底）一,（cos%—sinb）-4,联立: 得CQgg-si口口=2（£。5&+近11日），0+sin—y/2=0Q 1故tan£?=—-』从而8s?3=—屋&=一.3 10 10代入「（8用-5功=4得"=5,所以交点V的极径为了.【变式探究】【2016年高考北京文数】在极坐标系中，直线Pcos8-J3Psin8-1=0与圆P=2cos日交于A,B两点，则|AB|=.【答案】2【解析】直线x—J3y—1=0过圆（x—1）2+y2=1的圆心，因此|AB=2.TOC\o"1-5"\h\z【变式探究】在极坐标系中，圆 p=2cos0的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）A.。=0（pCR）和pcos0=2兀 TB.。=万（pCR）和pcos0=2兀 《0=~2"（peR）和pcos0=1。=0（pCR）和pcos0=1解析由p=2cos0得x2+y2—2x=0.••.（x-1）2+y2=1,圆的两条垂直于x轴的切线方程为x=0和x=2.故极坐标方程为0=~2"(PCR)和pcos0=2,故选B.答案B【变式探究】(2015•广东，14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线G的极坐标方程为p(cos0+sin。)=—2,曲线C2的参数[x=t2, 一方程为(t为参数)，则C与G交点的直角坐标为 .v=2日解析•.•曲线C的极坐标方程为 p(cos9+sin。)=—2,•••曲线G的直角坐标方程为x+y=—2."t： 2 x+y=-2,曲线G的参数方程为(厂(t为参数)，则其直角坐标方程为 y2=8x,联立(2 '解得x=2,y)=2® |y=8x,=—4,即c,G的交点坐标为(2,—4).答案(2,—4)【举一反三】(2015•安徽，12)在极坐标系中，圆p=8sin0上的点到直线0=^~(p£F)距离的最3大值是.解析由p=8sin0得x2+y2=8y,即x2+(y-4)2=16,由0=《■得y=，3x,即寸3x—y=0,，圆3心(0,4)到直线y=J3x的距离为2,圆p=8sin0上的点到直线0=《的最大距离为4+2=6.3答案6【变式探究】(2015•新课标全国I, 23)在直角坐标系xOy中，直线G:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C,G的极坐标方程.… .、一一一 兀 、一. .. 一 (2)若直线。的极坐标万程为0=—(pCR),设C2与。的交点为MN,求△CM弼面积.4解(1)因为X=Q8S明尸的口%所以。的根坐标方程为，8S皆二-2,Q的极坐标方程为口，一如cus歹一切疝1g+4=。一(2)将6=7|弋入p二一即co*g一4Psin&+4=0〉得〃-3亚9+4=0,解得川1=2近,八=①故〃1一用=^>即［MW］=g.由于Q的半径为1,所以△C5MV为等腰直角三角形,所以AOMW的面积为:jLr【举一反三】(2015•江苏。21(C))已知圆C的极坐标方程为p2+2M2psin［。一"44=0,求圆C的半径.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 Q以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy圆C的极坐标方程为p2+2啦p।步sin9-(cos。I—4=0,化简，得p2+2psin0—2pcos0—4=0.则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,即(x—1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为。6.题型二参数方程及其应用 x=3cos］【例3】【2017课标1,文22］在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x ,(0为参数)，y=sint1,直线l的参数方程为x=a4t,,、1,公*小? (t为参数).y=1-t,(1)若a=—1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为折，求a.2124【答案】(1)(3,0),(一一,一)；(2)a=8或a=T6.2525

【解析】（1）曲线C的普通方程为《+了当口=T时，直线，的普通方程为X+4丁一3=0.x+4y—3=021解得广一3x+4y—3=021解得广一3或｛24从而。与/的交点坐标为（40）,（2）直线1的普通方程为、+4/一a-4=。,故C上的点（38%.sin。）到I的距离为|3cos&+4sm3—。|3cos&+4sm3—。一4|d的最大值为a9J7由题设得a9,17=而，所以a=8；dd的最大值为—,—.由题设得—.—=。17,所以a=—16..17 」17综上，a=8或a=—16.【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程，一—一 x=acost ,一在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x （t为参数，a>0）.y=1asint在以坐标原点为极点，*轴正半轴为极轴的极坐标系中 ，曲线C2：p=4CO怎.（I）说明G是哪一种曲线，并将G的方程化为极坐标方程；（II）直线G的极坐标方程为日=口0,其中支0满足tan"0=2,若曲线。与G的公共点都在G上，求a.【答案】(I)圆，P2—2Psin8+1—a2=0(II)1【解析】解：（I）消去参数f得到G的普通方程1+。一*=G是以（HD为圆心,口为半径的图.将工=Pcosfl?y=psin8代入G的普通方程中，得到G的极坐标方程为p1—2psio0+1—a1=0.di）曲线G，G的公共点的极坐标满足方程组p2—2/?sic =03<夕二48他若歹=0,由方程组得16COS2H—8sinHcos£?+l—〃=。？由已知taiiH=2,可得16cod8—Ssinacos^=。，从而1一〃=0,解得口=一1（舍去），a=l.门=1时，极点也为G，G的公共点，在G上•所以。=1・x--1t,【变式探究】（2015•重庆，15）已知直线l的参数方程为1y=1*t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为p2cos20=4（p>0,34~<0<54L）则直线l与曲线C的交点的极坐标为.解析直线l的直角坐标方程为y=x+2,由p2cos2。=4得p2（cos2。-sin20）=4,直角坐标方程为x2—y2=4,把丫=*+2代入双曲线方程解得x=—2,因此交点为（一2,0）,其极坐标为（2,兀）.答案（2,兀）r _.x=a—2t.【变式探究】（2014•福建）已知直线l的参数方程为“ , （t为参数），圆C的参数方程为y=—4tx=4cos0,|y=4sin0（0为参数）.（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想.【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l与圆C的普通方程.(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线 l的距离不大于半径，得到关于参数 a的不等式，即可求出参数a的取值范围.【解析】(D直线】的普通方程为2j(-y-2a=C,圆C的普通方程为/+*=16.(2)因为直线I与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线I的距离4倍刍，解得-2朝必总技【感悟提升】.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件..在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.ix=1-3cost,【变式探究】(2015•福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为y=-2+3sint(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为成psin—~4；=m(mR).①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；②设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.解①消去参数tf得到圆c的普通方程为口一lp+（y+2P=9.所以直线/的直角坐标方程为x-y+ffl=0.②依题意，圆心e到直线】的距离等于乙|L-(-2)+m\_一上，解得加二一3包困,3x=2万t,-21y二一3t【举一反三】（2015•湖南，16n）已知直线x轴的【举一反三】（2015•湖南，16n）已知直线x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极