高考数学专题13坐标系与参数方程教学案文

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《高考数学专题13坐标系与参数方程教学案文》

简介:

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专题13坐标系与参数方程【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有:(1)直线、曲线的极坐标方程;(2)直线、曲线的参数方程;(3)参数方程与普通方程的互化;,本内容的考查要求为 B级.,本内容的考查要求为 B级.重重点、难点剖析】1.直角坐标与极坐标的互化M是平面p cos M是平面p cos 0 ,p sin 0 ,rx =内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x , y)和(p , 0 ),则,;iy=■p 2= x2+ y2,tan 0 =y x /0 x.直线的极坐标方程0 0sin( 0 0—若直线过点 M P 0, 。0),且极轴到此直线的角为 ”,则它的方程为:0 0sin( 0 0—a ).几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点:e = a ;(2)直线过点M(a, 0)( a>0)且垂直于极轴:p cos。=a;(3)直线过Mjb, 2 平行于极轴:p sin 0 = b..圆的极坐标方程若圆心为M( p。,。0),半径为r的圆方程为:p — 2 p 0 p cos( 0 —。0)+00— r = 0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点,半径为 r: p = r;(2)当圆心位于 M(r, 0),半径为r: P =2rcos 0 ;(3)当圆心位于 M『,-2-半彳至为r : p =2rsin 0 .(4)0为参数,0W。W2兀).圆x=x(4)0为参数,0W。W2兀).圆圆心在点Mx0, y0),半径为r的圆的参数方程为“y=y0+rsin 0心在点A( P 0, 0 0),半径为r的圆的方程为r2= p2+ p20 — 2 p p 0cos( 00) •.直线的参数方程x= x0+1 cos■=y= yo+1 sin经过点P0x= x0+1 cos■=y= yo+1 sin设P是直线上的任一点,则 t表示有向线段P0P的数量..圆的参数方程圆心在点Mx。,y圆心在点Mx。,y。),半径为r的圆的参数方程为x= X0+ r cosy= y0+ r sin为参数,0W 0 <2 71 ).6.6.圆锥曲线的参数方程2 2⑴椭圆》土1的参数方程为x= acos 2 2⑴椭圆》土1的参数方程为x= acos 0|y= bsin 0(2)双曲线X y2=1的参数方程为x = asec<y = btanx = 2pt2(t为参数).⑶ 抛物线y2= 2px( p(t为参数).iy=2pt【题型示例】题型一极坐标【例1】【2017课标3,文22】在直角坐标系xOy中,直线li的参数方程为/x = 2+t, y 二kt,(t为参数),直P的轨迹为曲线P的轨迹为曲线C.线l2的参数方程为m m (m为参数).设l 1与12的交点为P,当k变化时,y=;(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 13: p (cos 0 +sin。)-握=0, M为13 与C的交点,求M的极径.【答案】(1) x2 —y2 =4(y #0) ; (2)而【解析】<1)消去参数r得4的普通方程Ai=项/―2、消去参数泄得占的普通方程4:y = [(H+2). ky = k(x-2)谩尸(名班由题设得4 1 .、:消去上得/一丁 =4(.0)一>=-(x+2)k所以C的普通方程为x2-y2=4(y^Q).(2) C的极坐标方程为口工(8号% —珈 七)=4(。< S < 2%S金底)一, (cos% — sin b)-4,联立: 得CQgg-si口口=2(£。5& +近11日),0+sin —y/2 =0Q 1故 tan £? = —-』从而 8s?3 = —屋& = 一.3 10 10代入「(8用-5功=4得"=5 ,所以交点V的极径为了.【变式探究】【2016年高考北京文数】 在极坐标系中,直线Pcos8 - J3Psin8 -1 = 0与圆P = 2cos日交于A, B两点,则|AB|=.【答案】2【解析】直线x—J3y—1=0过圆(x—1)2+y2=1的圆心,因此|AB=2. TOC \o "1-5" \h \z 【变式探究】在极坐标系中,圆 p=2cos 0的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ( )A. 。= 0( p C R)和 p cos 0 =2兀 TB.。=万(p C R) 和 p cos 0 =2兀 《0 = ~2"( p e R) 和 p cos 0=1。= 0( p C R)和 p cos 0 = 1解析 由 p =2cos 0 得 x2+y2—2x=0.••.(x-1)2+y2=1,圆的两条垂直于 x轴的切线方程为 x=0和x=2.故极坐标方程为 0 = ~2"( P C R)和p cos 0=2,故选B.答案 B【变式探究】(2015 •广东,14)(坐标系与参数方程选做题 )在平面直角坐标系 xOy中,以原点 O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线G的极坐标方程为 p (cos 0 +sin 。)= —2,曲线C2的参数[x=t2, 一方程为(t为参数),则C与G交点的直角坐标为 .v=2日解析•.•曲线C的极坐标方程为 p (cos 9+sin 。)= —2, •••曲线G的直角坐标方程为 x + y=—2."t: 2 x+y=- 2,曲线G的参数方程为( 厂(t为参数),则其直角坐标方程为 y2=8x,联立(2 '解得x=2, y)=2® |y = 8x,=—4,即c, G的交点坐标为(2, —4).答案 (2 , — 4)【举一反三】(2015 •安徽,12)在极坐标系中,圆 p =8sin 0上的点到直线 0 =^~( p £ F)距离的最3大值是.解析 由 p =8sin 0 得 x2+y2=8y,即 x2+(y-4) 2= 16,由 0 =《■得 y=,3x,即寸3x —y= 0,,圆3心(0 , 4)到直线y=J3x的距离为2,圆p =8sin 0上的点到直线 0 =《的最大距离为 4 + 2=6. 3答案 6【变式探究】(2015 •新课标全国I , 23)在直角坐标系xOy中,直线G: x=-2,圆C2: (x-1) 2+( y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C, G的极坐标方程. … .、 一一 一 兀 、一 . .. 一 (2)若直线。的极坐标万程为 0 =—( p C R),设C2与。的交点为M N,求△ CM弼面积.4解(1)因为X=Q8S 明 尸的口 %所以。的根坐标方程为,8S皆二-2,Q的极坐标方程为口,一如cus歹一切疝1g+ 4=。一(2)将 6=7|弋入p二一即co* g一4Psin &+4=0〉得〃-3亚9+4=0,解得川1=2近,八=①故 〃1一用=^> 即[MW]=g.由于Q的半径为1,所以△C5MV为等腰直角三角形,所以AOMW的面积为:jLr【举一反三】(2015 •江苏。21(C))已知圆C的极坐标方程为 p2+2M2psin [。一 "4 4= 0,求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 Q以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系 xOy圆C的极坐标方程为p 2+ 2啦 p ।步sin 9 -(cos。I— 4= 0,化简,得 p 2+ 2 p sin 0 — 2 p cos 0 —4=0.则圆C的直角坐标方程为 x2+ y2- 2x+ 2y-4 = 0,即(x —1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为。6.题型二参数方程及其应用 x = 3cos ]【例3】【2017课标1,文22]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x , ( 0为参数),y = sin t1,直线l的参数方程为x =a 4t,, 、1,公*小? (t为参数).y =1 -t,(1)若a = —1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l的距离的最大值为 折,求a.21 24【答案】(1) (3,0) , (一一,一) ; (2) a=8 或 a = T6.25 25 【解析】(1)曲线C的普通方程为《+ 了当口 = T时,直线,的普通方程为X+4丁一3 = 0.x+4y—3 = 021解得广一3x+4y—3 = 021解得广一3或{24从而。与/的交点坐标为(40),(2)直线1的普通方程为、+4/一a-4 =。,故C上的点(38%.sin。)到I的距离为|3cos & + 4sm 3 —。|3cos & + 4sm 3 —。一 4|d的最大值为a 9J7由题设得a 9,17=而,所以a = 8;dd的最大值为—,—.由题设得—.—=。17 ,所以a = —16. . 17 」17综上,a=8或 a = —16.【变式探究】【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程,一—一  x = a cost , 一在直角坐标系x Oy中,曲线C的参数方程为x (t为参数,a>0).y =1 asint在以坐标原点为极点,*轴正半轴为极轴的极坐标系中 ,曲线C2: p =4 CO怎.(I)说明G是哪一种曲线,并将G的方程化为极坐标方程;(II )直线G的极坐标方程为 日=口0,其中支0满足tan "0=2,若曲线。与G的公共点都在 G上,求a.【答案】(I)圆,P2 —2Psin8+1—a2=0 (II ) 1【解析】解:(I)消去参数f得到G的普通方程1+。一* =G是以(HD为圆心,口为半径的图.将工=Pcosfl? y = p sin 8代入G的普通方程中,得到G的极坐标方程为p1 — 2psio 0 + 1 —a1 =0.di)曲线G,G的公共点的极坐标满足方程组p2—2/?sic =03<夕二48他若歹=0,由方程组得 16COS2H—8sinHcos£?+l—〃 =。?由已知taiiH = 2,可得 16cod8—Ssinacos^ =。,从而 1一〃 = 0,解得口 = 一1 (舍去),a=l.门=1时,极点也为G,G的公共点,在G上•所以。=1・x - -1 t,【变式探究】(2015 •重庆,15)已知直线l的参数方程为1y =1 *t (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为 p 2cos 20 =4(p >0, 34~< 0 <54L)则直线l与曲线C的交点的极坐标为 .解析 直线l的直角坐标方程为 y = x+2,由p 2cos 2。=4得p2(cos2。- sin 20 ) = 4,直角坐标方程为x2—y2=4,把丫 = *+ 2代入双曲线方程解得 x=—2,因此交点为(一2, 0),其极坐标为(2,兀).答案(2 ,兀)r _.x= a— 2t.【变式探究】(2014 •福建)已知直线l的参数方程为“ , (t为参数),圆C的参数方程为y= — 4tx= 4cos 0 ,|y= 4sin 0(0为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数 a的取值范围.【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识,意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想.【解题思路】(1)消去参数,即可求出直线 l与圆C的普通方程.(2)求出圆心的坐标,利用圆心到直线 l的距离不大于半径,得到关于参数 a的不等式,即可求出参数a的取值范围.【解析】(D直线】的普通方程为2j(-y-2a=C, 圆C的普通方程为/+*= 16.(2)因为直线I与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线I的距离4 倍刍, 解得-2朝必总技【感悟提升】.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三 角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件..在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围 和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解.ix = 1 - 3cost,【变式探究】(2015 •福建,21(2))在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为 y = -2 + 3sint( t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy取相同的长度单位,且以原点 O为极点,以x轴非负半轴为 极轴)中,直线l的方程为成p sin — ~4 ;= m( m R).①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;②设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.解 ①消去参数tf得到圆c的普通方程为口一 lp + (y+2P=9.所以直线/的直角坐标方程为x-y+ffl=0.②依题意,圆心e到直线】的距离等于乙|L- (-2) +m\_一上,解得加二一 3包困,3x=2 万t,-21y 二 一 3 t【举一反三】(2015 •湖南,16 n)已知直线x轴的【举一反三】(2015 •湖南,16 n)已知直线x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极

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