2023全国研究生考试数学(一)(二)(三)真题合集及答案解析-免积分

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.〔1〕曲线渐近线的条数为〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3【答案】：【解析】：，所以为垂直的，所以为水平的，没有斜渐近线故两条选〔2〕设函数，其中为正整数，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：【解析】：所以〔3〕如果在处连续，那么以下命题正确的是〔〕〔A〕假设极限存在，那么在处可微〔B〕假设极限存在，那么在处可微〔C〕假设在处可微，那么极限存在〔D〕假设在处可微，那么极限存在【答案】：【解析】：由于在处连续，可知如果存在，那么必有这样，就可以写成，也即极限存在，可知，也即。由可微的定义可知在处可微。〔4〕设sinxdx(k=1,2,3),那么有D〔A〕I1<I2<I3. (B)I2<I2<I3.(C)I1<I3<I1, (D)I1<I2<I3.【答案】：(D)【解析】：看为以为自变量的函数，那么可知，即可知关于在上为单调增函数，又由于，那么，应选D〔5〕设其中为任意常数，那么以下向量组线性相关的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔C〕【解析】：由于，可知线性相关。应选〔C〕〔6〕设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔B〕【解析】：，那么，故应选〔B〕。〔7〕设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，那么〔〕【答案】：〔A〕【解析】：的联合概率密度为那么〔8〕将长度为1m的木棒随机地截成两段，那么两段长度的相关系数为〔〕【答案】：【解析】：设两段长度分别为，显然即，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1二、填空题：914小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.〔9〕假设函数满足方程及，那么=________。【答案】：【解析】：特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。故〔10〕________。【答案】：【解析】：令得〔11〕________。【答案】：【解析】：〔12〕设那么________。【答案】：【解析】：由曲面积分的计算公式可知，其中。故原式〔13〕设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，那么矩阵的秩为________。【答案】：【解析】：矩阵的特征值为，故的特征值为。又由于为实对称矩阵，是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即。〔14〕设是随机事件，互不相容，,,那么________。【答案】：【解析】：由条件概率的定义，，其中，，由于互不相容，即，，又，得，代入得，故.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔15〕〔此题总分值10分〕证明：【解析】：令，可得当时，有，，所以，故，而，即得所以。当，有，，所以，故，即得可知，〔16〕〔此题总分值10分〕求的极值。【解析】：，先求函数的驻点.，解得函数为驻点为.又，所以，故在点处取得极大值.〔17〕〔此题总分值10分〕求幂级数x2n的收敛域及和函数【解析】：〔18〕〔此题总分值10分〕曲线，其中函数具有连续导数，且，。假设曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。【解析】：〔1〕曲线在任一处的切线斜率为，过该点处的切线为，令得.由于曲线与轴和轴的交点到切点的距离恒为.故有，又因为所以，两边同时取不定积分可得，又由于，所以.故函数.〔2〕此曲线与轴和轴的所围成的无边界的区域的面积为：.〔19〕〔此题总分值10分〕是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分。【解析】：设圆为圆,圆为圆，下补线利用格林公式即可，设所补直线为,下用格林格林公式得：原式〔20〕〔此题总分值10分〕设，〔Ⅰ〕求〔Ⅱ〕线性方程组有无穷多解，求，并求的通解。【解析】：〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕可知当要使得原线性方程组有无穷多解，那么有及，可知。此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得可知导出组的根底解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为线性方程组存在2个不同的解，有.即：，得或-1.当时,，显然不符，故.〔21〕〔此题总分值10分〕三阶矩阵，为矩阵的转置，，且二次型。1〕求2〕求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。【解析】：1〕由可得，2〕那么矩阵解得矩阵的特征值为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：将单位化可得：，，〔22〕〔此题总分值10分〕随机变量以及的分布律如下表所示，X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求：〔1〕；〔2〕与.【解析】：X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12〔1〕〔2〕，其中,所以，，，,.〔23〕〔此题总分值11分〕设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且,设,求的概率密度；设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量；证明为的无偏估计量。【解析】：〔1〕因为，且与相互独立，故，所以，的概率密度为〔2〕似然函数解得最大似然估计值为，最大似然估计量为〔3〕故为的无偏估计量。2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.〔3〕设an>0(n=1,2,…)，Sn=a1+a2+…an，那么数列(sn)有界是数列〔an〕收敛的(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.〔C〕必要非充分条件. 〔D〕即非充分地非必要条件.【答案】：(A)【解析】：由于，那么为正项级数，Sn=a1+a2+…an为正项级数的前项和。正项级数前项和有界与正向级数收敛是充要条件。应选A〔4〕设sinxdx(k=1,2,3),那么有D〔A〕I1<I2I3. (B)I2<I2<I3.(C)I1<I3<I1, (D)I1<I2<I3.【答案】：(D)【解析】：看为以为自变量的函数，那么可知，即可知关于在上为单调增函数，又由于，那么，应选D〔5〕设函数f(x,y)可微，且对任意x,y都有>0,<0,f(x1,y1)<f(x2,y2)成立的一个充分条件是(A)x1>x2,y1<y2. (B)x1>x2,y1>y1.(C)x1<x2,y1<y2. (D)x1<x2,y1>y2.【答案】：(D)【解析】：，表示函数关于变量是单调递增的，关于变量是单调递减的。因此，当必有，应选D二、填空题：914小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.〔14〕设是随机事件，互不相容，,,那么________。【答案】：【解析】：由条件概率的定义，，其中，，由于互不相容，即，，又，得，代入得，故.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔15〕〔此题总分值10分〕函数，记求的值假设当时，是的阶无穷小，求【解析】：〔1〕，即〔2〕,当时，由又因为,当时，与等价，故，即〔16〕〔此题总分值10分〕求的极值。【解析】：，先求函数的驻点.，解得函数为驻点为.又，所以，故在点处取得极大值.〔17〕〔此题总分值10分〕【解析】：〔18〕〔此题总分值10分〕【解析】：〔19〕〔此题总分值10分〕求微分方程的解.【解析】：对应的齐次线性微分方程的特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.设，代入方程可得原微分方程的通解为2023年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.〔1〕曲线渐近线的条数为〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3【答案】：【解析】：，所以为垂直的，所以为水平的，没有斜渐近线故两条选〔2〕设函数，其中为正整数，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：【解析】：所以〔3〕设函数连续，那么二次积分=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔B〕【解析】：由解得的下界为，由解得的上界为.故排除答案〔C〕〔D〕.将极坐标系下的二重积分化为型区域的二重积分得到被积函数为，应选〔B〕.〔4〕级数绝对收敛，条件收敛，那么范围为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔D〕【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的级数的收敛性结论.绝对收敛可知；条件收敛可知，故答案为〔D〕〔5〕设其中为任意常数，那么以下向量组线性相关的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔C〕【解析】：由于，可知线性相关。应选〔C〕〔6〕设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔B〕【解析】：，那么，故应选〔B〕。〔7〕设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔D〕【解析】：由题意得，，其中表示单位圆在第一象限的局部，被积函数是，故根据二重积分的几何意义，知，应选〔D〕.〔8〕设为来自总体的简单随机样本，那么统计量的分布〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔B〕【解析】：从形式上，该统计量只能服从分布。应选。具体证明如下：，由正态分布的性质可知，与均服从标准正态分布且相互独立，可知。二、填空题：914小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.〔9〕________。【答案】：【解析】：=====所以=〔10〕设函数，求________。【答案】：【解析】：由的表达式可知，可知〔11〕函数满足，那么【答案】：【解析】：由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即，所以，，故〔12〕由曲线和直线及在第一象限中所围图形的面积为？【答案】：【解析】：被积函数为1的二重积分来求，所以〔13〕设为3阶矩阵，,为的伴随矩阵，假设交换的第一行与第二行得到矩阵,那么________。【答案】：-27【解析】：由于，故，所以，.〔14〕设是随机事件，互不相容，,,那么________。【答案】：【解析】：由条件概率的定义，，其中，，由于互不相容，即，，又，得，代入得，故.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔15〕〔此题总分值10分〕计算【解析】：〔16〕〔此题总分值10分〕计算二重积分，其中D为由曲线与所围区域。yO1x【解析】：yO1x〔17〕〔此题总分值10分〕某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定本钱为10000〔万元〕，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x〔件〕和〔y件〕，且固定两种产品的边际本钱分别为〔万元/件〕与〔万元/件〕。1〕求生产甲乙两种产品的总本钱函数(万元)2〕当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总本钱最小？求最小的本钱。3〕求总产量为50件时且总本钱最小时甲产品的边际本钱，并解释其经济意义。【解析】：1〕设本钱函数为，由题意有：，对x积分得，，再对y求导有，，再对y积分有，所以，又，故，所以2〕假设，那么，代入到本钱函数中，有所以，令，得，这时总本钱最小3〕总产量为50件且总本钱最小时甲产品的边际本钱为，表示在要求总产量为50件时，在甲产品为24件，这时要改变一个单位的产量，本钱会发生32万元的改变。〔18〕〔此题总分值10分〕证明：【解析】：令，可得当时，有，，所以，故，而，即得所以。当，有，，所以，故，即得可知，〔19〕〔此题总分值10分〕函数满足方程及1〕求表达式2〕求曲线的拐点【解析】：1〕特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。故2〕曲线方程为，那么，令得。为了说明是唯一的解，我们来讨论在和时的符号。当时，，可知；当时，，可知。可知是唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线在左右两边的凹凸性相反，可知点是曲线唯一的拐点。〔20〕〔此题总分值10分〕设，〔Ⅰ〕求〔Ⅱ〕线性方程组有无穷多解，求，并求的通解。【解析】：〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕可知当要使得原线性方程组有无穷多解，那么有及，可知。此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得可知导出组的根底解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为线性方程组存在2个不同的解，有.即：，得或-1.当时,，显然不符，故.〔21〕〔此题总分值10分〕三阶矩阵，为矩阵的转置，，且二次型。1〕求2〕求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。【解析】：1〕由可得，2〕那么矩阵解得矩阵的特征值为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：对于得