北师版八年级上第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习

北师版八年级数学第1章勾股定理知识归纳1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+/?2=c2•勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法•勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形•勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在AABC中，ZC—90°,贝1Jc=Ja2+加,b=Jc2-a2,a=Jc2_加知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题•勾股定理的逆定理如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=C2,那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和02+加与较长边的平方C2作比较，若它们相等时，以a,b,c为三边的三角形是直角三角形；若a2+b2<C2,时，以d,b,C为三边的三角形是钝角三角形；若02+加〉C2,时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形；定理中a,b,c及a2+b2=C2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a,b,c满足a2+c2=/?2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形，但是方为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形•勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+/?2=c2中，a,b,c为正整数时，称a,b,c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等用含字母的代数式表示〃组勾股数：712-1,2/1,712+1（72>2,n为正整数）；2/1+1,2/12+2/1,2712+2/1+1（"为正整数）m2—n^,2mn,m^+n^（m>n,m,"为正整数）

7.勾股定理的应用8・.勾股定理逆定理的应用9•勾股定理及其逆定理的应用二、常见考题分析题型一：直接考查勾股定理例1.在AABC中，ZC=90°.⑴已知AC=6,BC=8.求AB的长⑵已知佔=17,AC=15,求BC的长分析：直接应用勾股定理«2+/?2=C2题型二：应用勾股定理建立方程例2.(1)在AABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD丄AB于D,CD=⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm,斜边长为13cm,则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解例3.如图AABC中，ZC=90°,Z1=Z2,CD=1.5,BD=2.5,求AC的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来例4.如图RtAABC,ZC=90°AC=3,BC=4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积ABAB题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm,另一棵高2cm,两树相距8cm,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了m

EBEB分析：根据题意建立数学模型，女口图=8m,CD=2m,BC=8m,过点D作DE丄AB,垂足为E,贝（JAE=6m,DE—Sm题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a,b,c,判定AABC是否为R仏52①a=1.5,b—2,c—2.5②a=—,b—1,c=—43例7.三边长为a,b,c满足a+b^lQ,ab^lS,c=8的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知AABC中，AB=13cm,EC=10cm,BC边上的中线AD=12cm,求证：AB^AC证明：二、巩固训练：选择题2、在RtAABC中，ZC=90°,三边长分别为a、b、c,则下列结论中恒成立的是（）A、2ab<C2B、2ab三C2C、2ab>C2D、2abWc22、已知x、y为正数，且丨X2-4|+（y2-3）2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、153、直角三角形的一直角边长为22,另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（）A、4个B、5个C、6个D、8个4、下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4,那么斜边必是5；③如果一个二角形的二边是12、25、21,那么此二角形必是直角二角形；一个等腰直角三角形的三边是a、b、c,（a>b=c）,那么a2：b2：c2=2：1：1。其中正确的是（）A、①②B、①③C、①④D、②④5、若AABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,则此△为（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不能确定6、已知等腰三角形的腰长为10,—腰上的高为6,则以底边为边长的正方形的面积为（）A、40BA、40B、80C、40或3607、如图，在RtAABC中，ZC=90°,D为AC上一点,长是（）A、4B、3C、5D、80或360且DA=DB=5,又ADAB的面积为10,那么DC的8、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC二6cm,BC=8cmo现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A、2cmB、3cmC、4cmD、5cm一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是。20.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面［米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是mo二.解答题如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？2、数组3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……都是勾股数，若奇数n为直角三角形的一直角边，用含n的代数式表示斜边和另一直角边。并写出接下来的两组勾股数。3、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的