09工程力学答案第11章压杆稳定

11-1两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面,d=25mm,l=1m；(2)矩形截面h=2b=400m,l=1m；(3)16号工字钢，l二2m解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力：1）圆形截面，d=25解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力：1）圆形截面，d=25mm,l=1m：P兀2EI 兀2x200x109X兀x0.0252cr l21264——N=37.8kN2)矩形截面h=2b=400m,l=1m当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为 卩=1时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳0.04x0.022兀2x200x109x0.04x0.022 兀20.04x0.022兀2x200x109x0.04x0.022 兀2EII=mm(I,I)=I= ，故：P= =yzy 12 crl2121212N=52.7kN3）16号工字钢，l=2m查表知：I=93.1cm4,I=1130cm4,当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为 卩=1时yzI=min(I,I)=I=93.1cm4，故：P=凶邛2x200x109x93"10一8n=459.4kNyzy cr l22211-3有一根30mmX50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限ap=200MPa。解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的九Po=P兀2E—»人=九2PP兀2E 坑2x2°0"°9=99.35200x106矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于九可采用欧拉公式计算临界力。故P九xy=巴==80.831>九=99.35Tl>1.229mm,i0.03 Pz昴即l>1.229mm为细长杆，可采用欧拉公式计算临界力。11-6某钢材的比例极限◎二230MPa,屈服极限c二274MPa,弹性模量E=200GPa,◎二331—1.09九。Pscr试求九和九，并绘制临界应力总图（0<150）。Ps解：（1）计算此钢材的判别柔度冗2E①将c二230MPa代入欧拉公式c二 可以计算此钢材细长压杆的判别柔度九：TOC\o"1-5"\h\zP 九2 P兀2X200X1°9兀2X200X1°9=92.64230x106\o"CurrentDocument"p cp②由经验公式c=331—1.09九知：此钢材的a=331MPa,b=1.09MPa，将c=274MPa代入中柔度杆cr s的公式可以此钢材中柔度杆的判别柔度九：s1.09九=a—£s=331—274=52.29sb1.092）绘制临界应力总图如图：出平面内两端固定。材料为Q2）绘制临界应力总图如图：235st钢，其弹性模量E二210GPa，比例极限a=200MPa。试求（1）压杆的临界荷载P,（2）若tn]=3，压杆所stP cr承受的最大轴向压力为多大（3）从稳定性考虑b/h为何值时最佳习题11-7图解：（1）计算柔度：当压杆在在平面内xoy内失稳，为z中性轴。xylx2.4xylx2.40.060二138.56<12当压杆在出平面内xoz内失稳，为y中性轴。xz卩-1xz卩-1 0.5x2.40.04=103.92入越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。九=max（九,九）=138.56xzxy计算压杆能采用欧拉公式所对应的九p兀2E. 兀2E K2X210x109…cc=t入= = =101.8p 九2 pc 200x106P "P⑤X=101.8<138.56，故采用欧拉公式计算PPcrPcr=Pcr=ccrX2x(0.060x0.040)N=259.10kN兀2X(210x103xx(0.060x0.040)N=259.10kN138.562⑵由压杆稳定条件求压杆所承受的最大轴向压力［P］若\n］=3,P「］厂P259.10 »gNTn=—cr>Ln」tP<「crt= =86.37kNwp w 「n」 3w3）求稳定性最佳的b/h当压杆在不同方向的柔度相等时，才不会在某平面内先失稳。故xyxz卩-1lx2.4xy~xz补充10.5x2.4lx2.4 0.5x2.4JU=0.5图示边长为a的正方形铰接结构，各杆的E、I、A均相同，且为细长杆。试求达到临界状态时相应的力P等于多少若力改为相反方向，其值又应为多少BMFNBC45*二45C-FNCD解：（1）各杆的临界力Pcr.外冗2EIa2Pcr.BD2）兀2EI兀2EI&2a）2 2a2求各杆的轴力与P的关系。由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，FNAB二F二F。研究C、B结点，设各杆都是受拉NCDNDA二FNBC的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C、B结点受力如图所示。第一种情况：F=0t-P-2Fcos45=0TF=-（压杆）x NCB NCB 2F二0t-F-2Fcos45二0TF=-岛 二P（拉杆）NBD NBC NBD NBC令FNCB第二种情况：FNCB=P =P=旦㈠P=亘里cr,CB cr.夕卜 a2 a2（拉杆）F =-迈F 二-P（压杆）NBD NBCFNBDNBC-Pl=Pcr.BD兀2EI 兀2EIoP=—

2a2 2a2补充2图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。试求该木柱的临界力.①当压杆在在平面内xoz内失稳，yy为中性轴。.卩-1 0.5x7九二二xz 二 二①当压杆在在平面内xoz内失稳，yy为中性轴。.卩-1 0.5x7九二二xz 二 二101.04xz i 0.120y 右②当压杆在出平面内xoy内失稳.卩-1 2x7 ““九二一xy= =242.49xyi 0.200zz为中性轴。③入越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。九=max（九.九）=242.49xzxy2）松木九=75<242.49，故采用欧拉公式计算PPcrPcr兀2E=a・A= ・Acr 尢2=兀2x(°.lxI。11)x(0.120x0.200)N=40.28kN242.492补充3图示压杆，材料为Q235钢，横截面有四种形式，其面积均为3.2x103mm2，试计算其临界力.①计算柔度:2b2=3.2x103x10-6=3.2x10-3tb=0.04①计算柔度:2b2=3.2x103x10-6=3.2x10-3tb=0.04九二叱二叱二129.9xzi b0.04y殒花九二129.9>123=九xzP矩形截面压杆属于细长压杆，采用欧拉公式计算其临界力②计算其临界力兀2E 兀2x2x1011PrrA=-1299-x3,2x10-3N=37434kN2）正方形截面:①计算柔度：a2=3.2x103x10-6=3.2x10-3ta=0.057九xz卩-1 0.5x3 0.5x30.057=91.86-xz-iybv'12 <12九0正方形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力二60<九二91.86<123=九xz P②采用直线经验公式计算其临界力P=◎•A二（a-b九）•A二（304-1.12x91.86）x106x3.2x10-3N二643.57kNcrcr（3）圆形截面：兀①计算柔度：一d2=3.2x103x10-6=3.2x10-3td=0.0644xz卩•lxziy0.5x3

d40.5x30.064九=60<X二94<123二九0 xz P圆形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力

②采用直线经验公式计算其临界力P=◎•A二（a-b九）•A二（304-1.12x94）x106x3.2x10-3N二635.9kNcrcr（3）圆环形截面：兀 兀p•l 0.5x3九=―xz~

xziy0.5x3①计算柔度：一D2（1-a2）=—D2（1-0.72）=3.2x103x10-6p•l 0.5x3九=―xz~

xziy0.5x3=5499D后注悩时4 4九二54.99<60=九xz0圆环形截面压杆属于粗短杆,临界应力为屈服极限②计算其临界力P=g•A=g•A=（235x106）x（3.2x10-3）N=752kNcrcr补充4图示结构中，横梁AB由14号工字钢制成，材料许用应力k]=160MPa，CD杆为Q235轧制钢管，d=26mm,D=36mm。其弹性模量E=210GPa。若[n]=1.5，试对结构进行强度与稳定校核。st12解：(1)求反力：取ABC杆为研究对象,FN^12解：(1)求反力：取ABC杆为研究对象,FN^（kN）M图—（kNm）受力如图所示。工m(F)二0t-F sin45+12x2二0tF 二24、2二33.941kNA NDC NDC(2)内力分析：ABC杆的AC段发生拉弯组合变形，CB段发生弯曲；CD杆为轴向压缩杆件。内力图如图所示。3)对压杆进行稳定性校核。①求压杆的柔度》=pl= 1x迈=127.39/V ‘ ‘ ， ，=127.39i0.0364

②求压杆临界力对于©23钢材料为九p-100,九=127.39＞九戶=100，采用欧拉公式计算压杆临界应力ocrPa=127.72MPa兀2X210ocrPa=127.72MPa127.392"-③校核压杆的稳定性on=—crwow127.72X106 cr=F/ANDC33.94x103/{扌XO.。362X[1-（H）2]}127.72x10669.70x106=1