14 场解答的唯一性

1.4场解答的唯一性讨论场解答的唯一性，其意义有两方面：确定场方程组的完备程度方程组是完备的，以消除多值性，不需要添加任何其他条件。满足实际应用的需要保证各种方法所取得的解是等价的、合理的，是实际问题所需要的。如何讨论唯一性问题呢？尽管Maxwell方程组是对电磁问题的全面描述和总结，但由于所研究的对象不同，求解的变量不同，提法不同，形成的偏微分方程的形式不同，对场解答的唯一性讨论不能统一进行而需要分别来分析讨论。另外，要注意的两个前提：在讨论中，除了基于Maxwell方程组外(包括由它推导的边界条件)，不添加任何其他条件。研究在各向同性、线性、均匀媒质中进行。静电场在封闭面S上电位或电场强度值为已知，在S面内体积V中的分布电荷为已知，V中任意一点的电位和相应的电场强度是否具有唯一解呢？我们将S面上的边界条件表示为给定S面上的电位9——即第一类边界条件(相当于给定电偶极矩密度)；给定S面上的电场强度——即第二类边界条件(相当于给定面电荷密度)；给定S面上一部分的9值、一部分的学——相当于混合边界条件。an在以上三种情况下，S面内V中的泊松方程的解是唯一的。证明：采用反正法。假定对于相同的场源分布和边界条件，泊松方程有两个解91和92V29=—E V291S' 2E令：u=*-92，以上面两式相减应有V2U=0又V-(uVu)=(Vu)2+uV2u=(Vu)2在S面内作体积分JV-(JV-(uVu)dVVJuVu-Sds=Jsumds=J(VU》dVV因申和申均满足边界条件，在S面上应有12duu—0或 =0— dn故： J(Vu)2dV—0V式中：(Vu)2为非负被积函数，要求它在V内体积分为零，只有一种可能：(Vu)2在V内处处为零，亦即Vu—0，表示u至多是一个常数：u—k。对于第一类边界条件，在S面上u—0，即k—0，有”-申2，也即解答是唯一的。

Quc即郎对于第二类边界条件，在S上鬲-0，即云—云亠叫—叮件；表明两个解答最多相差一个常数90。只需要在V内或S面上任取一点为电位参考点。就可以使90—0，于是，解答也是唯一的。按上述道理可以证明满足混合边界条件的泊松方程的解是唯一的。应当指出的是：(1)在闭合面上不能同时任意给定9和它的法向导数兽，一般而言，它们是不相容的。(2)在证明中，其有第二类边界条件的边值问题，其解答不定，须要有电位参考点的选择也就是说，须要有第一类边界条件作为约束处理条件。静磁场(恒定磁场)标量位的问题，情况与静电场完全相同。讨论用磁矢量位问题。设场域内有电流密度J，讨论在已知边界条件下，旋度旋度方程VxVxA—卩J的解是唯一的。—>证明：反证法。假定在相同边界条件下有两个磁矢量位A和A，它们确定了B和B1212B—VxA、B—VxA1122—►—►它们的差值F—A1-A2应满足VxVxF—0 eV运用高斯散度定理有『一一一 一 I•一一J(VxQ-VxP-P-VxVxQ)dV=J(PxVxQ)-ndS令P令P=Q=F，代入上式应有JVxF2dV=J(FxVxF)-ndSV (8=J(nxF)-(VxF)dS=-J(nxVxF)-FdSSS上式若要使体积分为零，必须是VxF=0这可能是F=°，即A=A，或者是12A=A±V(p12o可以采取措施来进行必要处理，以使磁矢量位的解答唯一。可分三种情况讨论边界面上给定第一类边界条件A二A，则边界上有F=°，面积分必为零，则oA二A，解答唯一；12边界面上给定nxVxA，应有nxVxF=0，所以> >nxVxA=nxVxA1 2这也能使积分方程的面积分项为零，进而使A二A解唯一。而条件nxVxA，其大小等于12oA定了H，即丄|Aron(3)在边界上给定nxA，有> >定了H，即丄|Aron(3)在边界上给定nxA，有> >nxa=nxa」 2_也可以使面积分项为零。而nxA的大小即为A，方向由nxA确定。即正确给定边界上nxA，则V域中A有唯一解。仍是第二类边界条件，场域中的A的解唯一。时变场关于时变场解答的唯一性问题，提供几篇典型的论文，大家可以查阅参考。由于时变场的种类多，类型不同所建立的控制方程不同，因而需分别讨论。在这儿以涡流场问题为例进行讨论。考虑涡流场问题，场域为导电媒质，忽略位移电流，没有源电流区，采用动态位时应有控制方程：_ QAVxVxA=一丫卩 -y^V^Qt(1)若给定边界上的H，或给定边界上的®及A，可以证明解答E和H是唯一的,,同时应使At的确定满足下面的约束条件[CxH》,同时应使At的确定满足下面的约束条件[CxH》s=JCxH》V=JJdVVS由可证明E、H解答的唯一性。可以不用标量值，而由A直接求得H和E。此t)，或者给定边界的At可以不用标量值，而由A直接求得H和E。此t)，或者给定边界的At，其解答是唯一的。上述有关论证，文献中提到的较多，可参看以下文献：[1]R.L.Stoll，TheAnalysisofEddyCurrents,OxfordUniversityPress,1974.谢德馨，时变电磁场场矢量解答的唯一性，《哈尔滨电工学院学报》，Vol.7,No.2，1984陈伟华，三维正弦涡流场方程解答的唯一性，《哈尔滨电工学院学报》,V01.7,No.2,1984朱涤心等,关于电磁场唯一解的条件，《哈尔滨电工学院学报》，Vol.10,No.4，1987已知散度和旋度的矢量场如果矢量场F在场域V中的散度和旋度是已知的，其有何种边界条件能保证F的解是唯一的呢？论证：采用反正法。(1)设场域v中的矢量场F有两个解F和F，且12V-F=V・F， VxF=VxF1212令：F*=F-F，则在v内令：12V-F*=0，VxF*=0即F*必为调和场，可用一标量场9来描述：V-由格林第一公式得V-(9VV-由格林第一公式得V-(9V9)dV=[[9V29+(V申)2]dV」V(vE占帥 _⑵分析上式：只要使积分为零，就必有|%|=0，就有F*=-%=0,F有唯一解。分为以下两种情况讨论：①在给定边界S上在分为以下两种情况讨论：①在给定边界S上在F情况下，有n_F1n-FS 2n=(-W)Sdn公式中的面积分为零。②在给定边界S上的Ft情况下sdtF*sdttS申沿S面的切向偏导数为零，说明S面是申标量位函数的等值面，于是:I申竺ds_申］空ds_申jvq•dS_qjv•VqdV_0s3n s3n s v由上可知，当给定边界面S上在F或F时，均可使ntI(vq)2dV_0V又|vq|2为非负函数，要使体积分为零，只能是vq_0即F*_—v(p_F—F_012・ F_F12结论：给定边界面上场矢量的F或F分量，场矢量F的解答是唯一的。nt上面的分析是直接求解一矢量场，使其具有唯一解答需要什么样的边界条件。这对于静态场、时谐场的求解是适用的。关于混合问题的唯一性讨论所谓混合问题指的是初值、边值问题。对于被研究的问题，如果某一时刻的初始条件和在此之后全部的研究时间内的边界条件是已知的，则混合问题的解答是唯一的。设定一种情况：在场域V内t_0时的电磁场强度初始值E(r,0)和H(r,0)已知，在t>0时，边界上的电磁场强度切向分量E和H已知，证明混合问题的解答是唯一的。tt

证明：仍然采用反证法（1）若有两种不同的解答E、H和E2、h2，都满足同一初始条件和边界条件。令E*二E—E， H*二H—H1212则E*和H*必为该电磁场的解，且t=0时，有E*=H*=0 （在v内）E*=H*=0 (在s上)tt(2)由无外源区存在的坡印亭定理，应有f丄丿*2dV= (Ef丄丿*2dV= (E*XH*)-dsVY S—JI£E*2+_pH*2dV+atv(2 2 丿分析上式：其面积中的被积函数n-(e*xh*)=h*•(nxe)=e*-W*xn丿显然有：E*•(H*xn)xH*显然有：H*•(nxE*) xe*，而®*和巴*都为零。t即面积项为零，该定理为aW*aW*at£Jf1sE*2+1atV(2 2—J1•J*2dVvY应注意到上式右端项只可能小于或等于零；而左端项在t=0时刻，由E*=H*=0=W*=0，在t>0时，W*只可能从零值增加，叱不可能小于零，要保at证t>0的任何时刻上式都成立，只能是E*=H*=0，即E二E，H二H1212如果是无界空间，边界条件用无限远处的条件代替，ER2、HR2在R 时，保持有限值同样可得上面的结论。由前面五个方面的问题的讨论分析和论证，可见Maxwell方程组是完备的，由它确定的场的控制方程和场的边界条件决了场的存在和唯一性。不适定问题前面研究的问题，是场解的唯一性问题，它对边界条件的取舍有一定的要求。或者说用数学模型对于物理问题的描述，是比较符合实际情况，解答的唯一性保证了解答的

正确性。在地球物理勘探和生物医学工程等领域中，人们只能从对实际问题表面的形态的认识来分析、模拟该问题，所建立的数学模型不具有通常给定的常规边界条件，或者说在这儿使边值问题具有唯一解答的边界条件确定不出来，或说用边界条件来体现的场源的分布，并不都为已知