2020中考数学冲刺专题12新定义(解析版)

2020中考数学冲刺专题12新定义【考点1】明确条件、原理、「 |方法得出结论新定义' 【考点2】运用类比、归纳,分类讨论等解决问题典例剖析【考点1】明确条件、原理、方法得出结论【例11(2019?房山区二模)对于平面直角坐标系xOy中的点P和eC,给出如下定义：若eC上存在点A,使得APC30,则称P为eC的半角关联点.当eO的半径为1时，(1)在点D(1, 1),E(2,0),F(0,273)中，eO的半角关联点是；⑵直线i：y—x2交x轴于点M,交y轴于点N,若直线l上的点P(m,n)是eO的半角关联点，求3m的取值范围.【分析】(1)由题意可知在圆上存在点 A使ADO30和AEO30;(2)根据解析式求出M与N的坐标，以。为圆心，ON长为半径画圆，交直线MN于点G,可得m,0;设小圆eO与y轴负半轴的交点为H,连接OG,HG;由边角关系确定OGN是等边三角形，可知GHy轴，点G的纵坐标为1,代入y&2,可得，横坐标为V3,结合图形即可求解；3【解析】解：(1)由题意可知在圆上存在点 A使ADO30和AEO30,D,E是，eO的半角关联点，故答案为D,E;(2)由直线解析式可直接求得M(2遮0),N(0,2),

以。为圆心，ON长为半径画圆，交直线MN于点G,可得m,0,设小圆eO与y轴负半轴的交点为H,连接OG,HGQM(2J3,0),N(0,2)OM2书,ON2,3tanOMN——3OMN30,ONM60OGN是等边三角形TOC\o"1-5"\h\zGHy轴， 3点G的纵坐标为1，代入y ——x2,3可得，横坐标为 73,m… 3,【点拨】本题考查一次函数的综合，新定义，圆的基本概念；理解题意，结合图形，构造三角形求解；【变式1-U（2018?平谷区二模）对于平面直角坐标系 xOy中的点P和eM,给出如下定义：若eM上存在两个点AB,使AB2PM,则称点P为eM的“美好点”在两个点A(1)当eM半径为2,点M和点O重合时，1点p(2,0),P>(1,1),P3(2,2)中，eO的“美好点”是;2点P为直线yxb上一动点，点P为eO的“美好点”，求b的取值范围；(2)点M为直线yx上一动点，以2为半径作eM,点P为直线y4上一动点，点P为eM的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围.1八54-【分析】(1)【分析】(1)根据eM的“美好点”即可判断，求出直线yxb与eM相切时，b的值即可解决问题;(2)当直线(2)当直线y4与eM相切时，求出点【解析】解：(1)如图1中，M的坐标，有两个值，由此即可解决问题;r,P2是eM的“美好点”QOP12rr,P2是eM的“美好点”根据eM的“美好点”的定义可知， R,故答案为P和P2当直线yxb与eO相切时，设切点分别为T,该直线交x轴于K,交y轴于E.在RtOTK中，OT2,TKO45,KEO45,OE应OT2衣，b22,根据对称性可知：OFOE2,2b22,b的取值范围为:b的取值范围为:272sb272.(2)如图2(2)如图2中,0乂一」一-I» II事/图2当直线y4与eM相切时，切点分别为E或E,连接ME,ME,QEMEM2,M(2,2),m(6,6),满足条件的m的取值范围为图m6.【点拨】本题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会在取特殊位置解决问题，属于中考压轴题.【考点2】运用类比、归纳、分类讨论等解决问题【例2】(2018?东城区二模)研究发现，抛物线y1x2上的点到点F(0,1)的距离与到直线l:y1的距离4相等.如图1所示，若点P是抛物线y1x2上任意一点，PHl于点H,则PFPH.4基于上述发现，对于平面直角坐标系 xOy中的点M,记点M到点P的距离与点P到点F的距离之和的最TOC\o"1-5"\h\z1 1O小值为d,称d为点M关于抛物线y-x2的关联距离；当2颈d4时，称点M为抛物线y—x2的关联点.4 4(1)在点M1(2,0),M2(1,2),M3(4,5),M4(0,4)中，抛物线y1x2的关联点是 ；4(2)如图2,在矩形ABCD中，点A(t,1),点C(t1,3)①若t4,点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线y1x2的关联距离d的取值范围；4②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线y1x2的关联点，则t的取值范围是4即 .图2【分析】(1)(1)根据“关联点”的定义得到：当点M与F在抛物线的两侧时，点F、P、M共线时，PFMP的值最小，且FM的取值范围为：2麴FM4符合题意.当点M与F在抛物线的同侧时，MPPF的值等于点M到直线l:y1的距离，求出这个距离即可判断；(2)①当点F、M、A共点时，符合题意.若点A与点M重合时，d取最小值；若点M与点C重合时，d取最大值；③根据题意知：当矩形ABCD落在矩形EFGH内部时，矩形ABCD上所有的点都是抛物线y【x2的关联点，4由此即可解决问题.【解析】解：(1)由题意知，当点M与F在抛物线的两侧时，点F、P、M共点时，PFMP的值最小，且FM的取值范围为：2麴FM4符合题意.QF(0,1),M1(2,0),FM1J22(01)275,符合题意.FM454.不符合题意；当点M与F在抛物线的同侧时， MPPF的值等于点M到直线l:y1的距离，Q点M2到直线y1的距离为3,234,12M2是抛物线y-x2的关联点，4Q点M3到直线y1的距离为6,64,不符合题意，综上所述，抛物线y1x2的关联点是M-M2；4故答案是：M1,M2；(2)①当t4时，A(4,1),C(5,3).B(5,1),D(4,3).QF(0,1),

当点A与点M重合时，dJ(40)2(11)2当点C与点M重合时，dJ(50)2(31)2相，当点D与点M重合时，d2754,当点B与点M重合时，d5,点M关于抛物线y^x2的关联距离d的取值范围是：4蒯d回.4②Q在矩形ABCD中，点A(t,1),点C(t1,3),B(t1,1)，点D(t,3).当矩形ABCD落在矩形EFGH内部时，矩形ABCD上所有的点都是抛物线y1x2的关联点,4当点D与E(2百，3)重合日t2邪,当点C与点F(2^3,3)重合日t2忑1,满足条件的t的取值范围是： 273ft2宓1.故答案是： 2故答案是： 2舟女2百1.【点拨】考查了二次函数综合题.需要熟练运用二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，解题时，需要分类讨论，解题的关键是掌握“点M为抛物线y1x2的关联点”的定义，难度较大.4【变式2-1](2019?东城区一模)在平面直角坐标系 xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的Py轴的距离中的最大值等于点Q两点即为“等距点”

（1）已知点A的坐标为（3,1）①在点E（0,3）、F（3,3）、G（2,5）中，点A的“等距点”是;②若点B在直线yx6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为;（2）直线l:ykx3（k0）与x轴交于点C,与y轴交于点D.①若Ti（11）、丁2（4也）是直线l上的两点，且不、T2为“等距点”，求k的值；②当k1时，半径为r的eO上存在一点M,线段CD上存在一点N,使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围.【分析】（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点,再根据“等距点”概念进行选择即可；（2）先求出C、D点坐标以及CD长度，分析出N点到坐标轴距离中最小距离为 -,从而确定r的最小值，2根据CD长度确定r的最大值.【解析】解：（1）①Q点A（3,1）到x、y轴的距离中最大值为3,与A点是“等距点”的点是E、F.②点B在直线yx6上，当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为 3的点有（3,9）、（3,3）、（9,3）,这些点中与A符合“等距点”的是（3,3）.故答案为①E、F;②（3,3）;（2）Q丁（1,i）、丁2（4力）是直线l上的两点,t1k3,t4k3.Qk0,|k31k33,4k3 3.依据“等距点”定义可得:当34k34时，k34,解得k1;当4k3-4时，k34k3,解得k2.综上所述，k的值为1或2.②Qk1,yx3与坐标轴交点C(0,3)、D(3,0),线段CD3霹.N点在CD上，则N点到x、y轴的距离最大值中最小数为-,2若半径为r的eO上存在一点M与N是“等距点”，则r最小值为国，2r的最大值为CD长度3J2.所以r的取值范围为3茕(Jr3J2.2故答案为E、F;(3,3)【点拨】本题主要考查了一次函数图象的性质以及圆的性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力.压轴精练1.(2019?门头沟区二模)对于平面直角坐标系xOy中的动点P和图形N,给出如下定义：如果Q为图形N上一个动点，P,Q两点间距离的最大值为dmax,P,Q两点间距离的最小值为dmm,我们把dmaxdm®的值叫点P和图形N间的“和距离”，记作d(P,N).(1)如图1,正方形ABCD的中心为点O,A(3,3).①点O到线段AB的“和距离”d(O,AB);②设该正方形与y轴交于点E和F，点P在线段EF上，d(P,ABCD)7,求点P的坐标.(2)如图2,在(1)的条件下，过C,D两点作射线CD，连接AC,点M是射线CD上的一个动点，如果6厄d(M,AC)6372,直接写出M点横坐标t取值范围.【分析】(1)①根据“和距离”的定义计算： OE是两点间距离的最小值， OA是两点间的最大值，相加可得结论；②分两种情况：P在y轴的正半轴和负半轴上，根据“和距离"的定义，并由d(P,ABCD)7,列方程计算即可得；(2)分M在线段CD上和延长线上两种情况，利用“和距离”的定义列方程可得结论.【解析】解：(1)①如图1,连接OA,Q四边形ABCD是正方形，且A(3,3),dmaxdminOEOA332,即d(O,AB)33.2,故答案为：33品,②设P(0,y),Qd(P,ABCD)7,dmaxdmin7,分两种情况:QE(0,3),F(0,3),且P是线段EF上一个动点,i)当P在x轴上方时，如图2,连接PC,

3yJ32(y3)27,解得：y1,经检验，y1是原方程的解,P(0,1),ii)当P在x轴的下方时，同理可得P(0,1);综上，点P的坐标为(0,1)或(0,1);(2)分两种情况：①当3,t3时，如图3,M在线段CD上，过M作MNAC于N,连接AM,QM点横坐标是t,CMt3,Q四边形ABCD是正方形,ACD45

CMN是等腰直角三角形,CM.2MN--jt3）,2 2一 2 : 2d（M,线段AC）MNMA>t3）通（3t）,②当，3时，如图4,M在线段CD的延长线上，过M作MNAC于N,在一点A,图形N上存在两点B,C,使得ABC是以BC为斜边且BC2的等腰直角三角形，则称图形M与图形N具有关系（M,N）.同理MN爸学…d（M,同理MN爸学…d（M,线段AC）MNCMi2（t3）t3,QQ在动点M从C到D方向上运动时， MNMA越来越大,—(t3)&2(3t)26近,解得：t3,2—(t3)t363J2,解得：t3,2M点横坐标t取值范围是3t3.M点横坐标t取值范围是3t3.2.(2019?海淀区二模)对于平面直角坐标系xOy中的两个图形M和N,给出如下定义：若在图形M上存（1）若图形X为一个点，图形Y为直线yx,图形X与图形Y具有关系（X,Y）,则点P（0,&）,P2（1,1）,P3（2,2）中可以是图形X的是;（2）已知点P（2,0），点Q（0,2）,记线段PQ为图形X.①当图形Y为直线yx时，判断图形X与图形Y是否既具有关系 （X,Y）又具有关系（Y,X）,如果是，请分别求出图形X与图形Y中所有点A的坐标；如果不是，请说明理由；②当图形Y为以T（t,0）为圆心，石为半径的eT时，若图形X与图形Y具有关系（X,Y），求t的取值范围.【分析】（1）逐个点进行验证判断是否符合新定义的要求，要紧扣“使得ABC是以BC为斜边且BC2的等腰直角三角形”；（2）①按照新定义和条件正确画出图形，结合图形进行求解；②分别找出t的最大值和最小值.【解析】解：（1）P；如图1,过P作PCi y轴交直线yx于点Ci,作PB1x轴于B（B与。重合），QP（0,V2）,PO婷将y应代入yx中，得x戊C1（72,历,即：GPBP近B1G C1P2 ,（2）2（.2）22P（0,松与图形Y（直线yx）具有关系（X,Y）;QP2CU）在直线yx上，P2（1,1）与图形Y（直线yx）不具有关系（X,Y）;QP3（2,2）B3（2,2）,C3（2,2）,B3C3 42424、22P3（2,2）与图形Y（直线yx）不具有关系（X,Y）;故答案为P（0,「2）⑵①是,

如图2,在直线yx上取点B,C,且BC2,则满足ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点 A,在到直线yx距离为1的两条平行直线上.这两条平行直线与PQ分别交于A1,A2两点.故图形X与图形Y满足(X,Y).直线yx与线段PQ交于点M(1,1),过点M作MHy轴于H,与AB交于点N,则MA11,MN—,2TOC\o"1-5"\h\z可得A(1—,1―).同理可求得A，(1—,1―).2 2 2 2如图3,在线段PQ上取点B,C,且BC2,则满足ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点 A在图中的两条线段上，这两条线段与直线 yx交于A,4两点.故图形X与图形Y满足(Y,X),同上可求得A3(1—,1-),A4(1—,1且).2 2 2 2B1C1 2时，连接QT1交B1C1 2时，连接QT1交B1C1于S,则QSB1SC1S1,B1T1 屈,T1S2,T1Q213T1O 3222 51（而，0）,同理可求得：丁2（1,0）,T3（2&，0）,T4（5,0）,（2019?西城区二模）对于平面内的MAN及其内部的一点P,设点P到直线AM,AN的距离分别为di,d2,称巴和立这两个数中较大的一个为点 P关于MAN的“偏率”•在平面直角坐标系xOy中，d2di（1）点M,N分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点.①若点P的坐标为（1,5）,则点P关于MON的“偏率”为;②若第一象限内点Q（a,b）关于MON的“偏率”为1,则a,b满足的关系为;（2）已知点A（4,0）,B（2,2点），连接OB,AB,点C是线段AB上一动点（点C不与点A,B重合）.若点C关于AOB的“偏率”为2,求点C的坐标；（3）点E,F分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点，动点T的坐标为（t,4）,eT是以点T为圆心，半径为1的圆.若eT上的所有点都在第一象限，且关于EOF的“偏率”者B大于73,直接写出t的取值范围.【分析】（1）①根据“偏率”的定义，求点P到OM（即x轴）的距离和点P到ON（即y轴）的距离，用较大的数除以较小的数即为“偏率” .②根据“偏率”定义，可知点Q到OM、ON距离相等，且Q在第一象限，所以其横纵坐标相等.（2）由点A、B坐标计算可得OAOBAB,即OAB为等边三角形.由“点C关于AOB的“偏率”

为2”联想到过点C作OA、OB的垂线段CD、CH,即CD2或CH2.易证CDAschb,所以CHCDCDCA,得到CA2或CB2•分情况讨论计算CA的长，再由60的三角函数计算CD、DA的长,CHCBCBCA即求得点C坐标.(3)设eT上的点R坐标为(x，或x掷，分两种情况讨论.yy)(x0,y0)由题意得点R(3)设eT上的点R坐标为(x，或x掷，分两种情况讨论.yy有，则yv/3x,即点R在直线yJ3x的上方，eT在直线yV3xx左侧且与其相离.求eT与直线y4§x相切时t的值，画出图形利用相切的性质和三角函数计算可得，则t小于相切时的值即为相离的取值范围.当若-召时解题思路相同.y【解析】解：(1)①Q点M,N分别在x轴正半轴，y轴正半轴上点P(1,5)到OM距离d15,到ON距离d21, ,、一“ d1点P关于MON的“偏率”为：—5d2故答案为：5.②Q点Q(a,b)在第一象限，至UOM距离d1b,到ON距离d2a点Q关于MON的“偏率”为：a1或b1baab故答案为：ab.(2)过点C作(2)过点C作CDOA于点D,CHOB于点H,如图1,CDACHB90Q点A(4,0),B(2,2点)OA4,OB亚(2V3)24,AB7(42)2(273)24

OAOBABOAB是等边三角形OAB OBA60QCDA CHB90CDAsCHBCDCACHCBQ点C关于AOB的“偏率”为2CD2或空2CHCDTOC\o"1-5"\h\z①当CD2,则上2CH CB2 8CA-AB一3 3DACAgsos608立4/3DACAgsos608立4/33 2 3---,CDCAgsin60323ODOADA4C(34,3)②当也2,则CB2TOC\o"1-5"\h\zCD CA1 4CAAB-3 34_3 2_33 2 34_3 2_33 2 3DACAg^os60一--,CDCAgsin6032 3

210ODOADA43 3综上所述，点C的坐标为(8,迤)或(10,咨.3 3 3 3(3)QT(t,4)点T在直线y4上QeT上的所有点都在第一象限，且半径为1eT与y轴相离设eT上的点R坐标为（x,y）（x0,y0)Q点R关于EOF的“偏率”都大于点y3或3,3x y①若¥掷，则yJ3xx点R在直线y点x的上方，即eT在直线yT3x左侧且与其相离当eT与直线y技相切于点I,如图2,v=4—设直线与直线y用x交于点JGTOGyjGJXjyj 43 3当eT与直线y技相切于点I,如图2,v=4—设直线与直线y用x交于点JGTOGyjGJXjyj 43 34.33tanOJGOGGJOJG60QTI1,TIOJRtTIJ中,sinOJGTITJTJ 23TlGTGJTJ当eT在直线y3左侧与其相离时,34与y轴交于点设直线G,与直线y3,GLXl3yL34与y轴交于点设直线G,与直线y3,GLXl3yL4、,3tanOGOLG——GL44.3KLTOJG30点R在直线yY3x的下方，即eT在直线yR3x右侧且与其相离3——x父于点L3TKOKRtTKL中，sinKLTRtTKL中，sinKLTTKLTLT2TK2GTGLLT当eT在直线GTGLLT当eT在直线y4.33

—x3右侧与其相离时,综上所述，t的取值范围为1teT的圆心为T(t,0),半径为1,若eT的圆心为T(t,0),半径为1,若d(eT,AB),1,直接写出t的取值范围;记函数ykx,(倒x1,k0)的图象为图形Q.若d(Q,AB)1,直接写出k的值.【分析】(1)如图1中，作OHAB于H.求出OH即可解决问题.3(2019?东城区二模)对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB,给出如下定义：M为图形P上任P和直意一点，N为直线AB上任意一点，如果M,NP和直线AB之间的“确定距离”，记作d(P,AB).已知A(2,0),B(0,2).已知A(2,0),B(0,2).(1)求d(点O,直线AB);(2)(3)

(2)(3)(2)如图2中，作THAB于H,交eT于D.分两种情形求出d(eT,AB)1时，点T的坐标即可.该直线的解析式为(3)当直线经过点D(2J2,0)与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为 1,yx272,求出直线ykx经过点E,点F时，k的值即可.该直线的解析式为【解析】解：(1)如图1中，作OHAB于H.QA(2,0),B(0,2),OAOB2,AB272,-1一一1 __Q-OAOB-ABOH,2 2OH2,d(点O,直线AB);(2)如图2(2)如图2中，作THAB于H,交eT于D.当d(eT,AB)1时，DH1,TH2,AT2V2,OT2五2,T(22衣，0),

根据对称性可知，当eT在直线AB的右边，满足d(eT,AB)1时，T(22。，0),满足条件的t的值为22后女22金.(3)如图(3)如图3中,1,该直线的解析式为当直线经过点D(222,0)与直线AB1,该直线的解析式为yx2圾\当直线ykx经过E(1,1回时，k1夜，当直线ykx经过F(1,3扬，k372,综上所述，满足条件的k的值为3J2或1夜.(2019?石景山区二模)对于平面直角坐标系 xOy中的点P,Q,给出如下定义：若P,Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h,满足hPQ,则称该三角形为点P,Q的“生成三角形”.(1)已知点A(4,0);①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点 O,A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若RtABC是点A,B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y2x5上，则点B的坐标(2)eT的圆心为点T(2,0),半径为2,点M的坐标为(2,6),N为直线yx4上一点，若存在RtMND,是点M,N的“生成三角形"，且边ND与eT有公共点，直接写出点N的横坐标xN的取值范围.【分析】(1)①画图，不妨设满足条件的三角形为等腰 OAR,则ORAR.过点R作RHOA于点H,由勾股定理可求得其腰长；②分点A为直角顶点和点B为直角顶点两种情况，结合图形可得结论;（2）分点NN为直角顶点和点M为直角顶点，由图形可得答案.【解析】解：（1）①如图，不妨设满足条件的三角形为等腰 OAR,则ORAR.过点R作RHOA于点H,OHHA,Q以线段OA为底的等腰OAR恰好是点O,A的“生成三角形”RHOA4.OR2.5,答：该三角形的腰长为2卮（2）②如图所示：若A为直角顶点时，点 B的坐标为（1,0）或（7,0）;若B为直角顶点时，点B的坐标为（1,0）或（3,0）综上，点B的坐标为（1,0）,（3,0）或（7,0）.（2）由图可得:若N为直角顶点：1母女n0；

综上，6综上，6强*0.答：点N的横坐标Xn的取值范围为： 6颈Xn0.(2019?平谷区二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是eC外一点，连接CP交eC于点Q,点P关于点Q的对称点为P,当点P在线段CQ上时，称点P为eC“友好点”.已知A(1,0),B(0,2),C(3,3)(1)当eO的半径为1时，①点A,B,C中是eO“友好点”的是;②已知点M在直线y Y3x2上，且点M是eO“友好点”，求点M的横坐标m的取值范围；3(2)已知点D(2石,0)，连接BC,BD,CD,eT的圆心为T(t,1),半径为1,若在BCD上存在一点N,使点N是eT“友好点”,求圆心T的横坐标t的取值范围.【分析】(1))①根据“友好点”的定义， OB2r2,所以点B是eO“友好点”；②设M(m,3?m2),根据“友好点”的定义,3OM Jm2 (]3m 2)2,2,解得。制m瓜；(2)B(0,2)C(3,3),D(2j3,0),eT的圆心为T(t,1),点N是eT“友好点”NT,2r只能在线段BD上运动，过点T作TNBD于N,作TH//y轴，与BD交于点BDO30,OBD60NT—HT，直线BD:y23——x

32,H(t,—t2上)，HT

3NT-3HT23)1t-V3,解出t的范围.2 2【解析】解:(1)①Qr根据“友好点”的定义,OB点B是eO“友好点”，OC3岳r2,不是eO“友好点”，A(1,0)在eO上，不是eO“友好点”，故答案为B;②如图,点N点N只能在线段BD上运动，过点T作TN设M(m,植m2),根据“友好点”的定义,3OMJm2(23-my2)2,2,整理，得2m2273m,0,解得网m33;点M的横坐标m的取值范围：。制m73；(2)QB(0,2),C(3,3),D(273,0),eT的圆心为T(t,1),点N是eT “友好点”，NT,2r2,BD于N,作TH//y轴，与BD交于点H.

易知BDO30OBD60,NT且HT,2QB(0,2),D(2V3,0),直线BD:y叵x2,H(t,立t2上)，3 3HTNT33t2(1)3,^3)2HTNT33t2(1)3,^3)2当H与点D重合时，点T的横坐标等于点D的横坐标，即t373,此时点N不是“友好点”，故圆心T的横坐标t的取值范围： 43点t3J3.(2019?怀柔区二模)在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A,B和图形 ，如果在图形 上存在点P,Q(P,Q可以重合)，使得AP2BQ,那么称点A与点B是图形的一对“倍点”.已知eO的半径为1,点B(0,3).(1)①点B到eO的最大值，最小值；②在A(5,0),A(0,10),As(J2,扬这三个点中，与点B是eO的一对“倍点”的是;(2)在直线y—xb上存在点A与点B是eO的一对“倍点”，求b的取值范围；3(3)正方形MNST的顶点M(m,1),N(m1,1),若正方形上的所有点与点 B都是eO的一对“倍点”，直接写出m的取值范围.【分析】(1)①点B到eO的最大值是BOr314;点B到eO的最小值是BOr312;(2)A到圆。的最大值6,最小值4;A2到圆O的最大值11,最小值9;A3到圆。的最大值3,最小值1;点B到eO的最大值是4,最小值是2;在圆O上存在点P,Q,使得AP2BQ,则A1与B是eO的一对“倍点”；(3)当m0时，m1-4S(m1,0),T(m,0),可得m…3;S(m1,2),T(m,2),J(m1)222,9,可得日V771；当m0时，S(m1,0),T(m,0),则m,4,S(m1,2),T(m,2),(3)当m0时，m1-4【解析】解：(1)①点B到eO的最大值是BOr314;点B到eO的最小值是BOr312;②A到圆。的最大值6,最小值4;A2到圆。的最大值11,最小值9;A3到圆。的最大值3,最小值1;点B到eO的最大值是4,最小值是2;在圆O上存在点P,Q,使得AP2BQ,则A与B是eO的一对“倍点”，故答案为A；(2)Q点B到eO的最大值是4,最小值是24102BQ8,3 QO到直线y—xb的最大距离是9,即OD9,3QDCO60,CO63b636商由6百；(3)当m0时，S(m1,0),T(m,0),则m1-4,m…3,S(m1,2),T(m,2)，则OS,9,J(m1)222,9,m,折1;31m历1;当m0时，S(m1,0),T(m,0),则簿4,S(m1,2),T(m,2),则OT,9,Jm222,9,m…V77,J771m 4；

点P满足:,则称点P为线段MN的可视点.45制MPN90xOy中的两点，若F面内直线MN上方的在点点P满足:,则称点P为线段MN的可视点.45制MPN90xOy中的两点，若F面内直线MN上方的在点A(0，2),A2(2，0)A3（0,J2）, A4（2,2）中，线段MN的可视点为若点B是直线yx1上线段MN的可视点，求点2B的横坐标t的取值范围;直线yxb（b0）与x轴交于点C,与y轴交于点D,若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围.MN的可视点在以MN为直径的圆的外部或圆上,MN的可视点在以MN为直径的圆的外部或圆上,根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可知线段MN的可视点在以E为圆心，EM长为半径的eE的根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”内部或eE上，根据坐标可以判断哪些点符合要求.

(2)点B既要在直线yx1上，又要eE的内部或圆上，且在eG的外部或圆上，故应该在直线yx-2 2与eG、eE的交点E、F为端点的线段上，求出E、F的横坐标即可.(3)考虑b0进行讨论.【解析】解：(1)如图1,以MN为直径的半圆交y轴于点E,以E为圆心，EM长为半径的3£交丫轴于点F,QMN是eG的直径,MA1N90,1 1QM(1,-),N(1,-)2 2MNEG,EG1,MN2EMEF72,1MFN—MEN45,2Q45制MPN90,点P应落在eE内部，且落在eG外部线段MN的可视点为MA；(2)如图2,… 1 以(0,1)(2)如图2,… 1 以(0,1)为圆心，1为半径作圆，以2(0,1)为圆心，衣为半径作圆，两圆在直线MN上方的2部分与直线yx工分别交于点E,2

过点F作FHx轴，过点过点F作FHx轴，过点E作EHFH于点H,QFHx轴，FH//y轴，EFHMEG45,QEHF90,EF版,EHFH1,E(0,-),F(1,3).2 2只有当点B在线段EF上时，满足45制MBN90，点B是线段MN的可视点点B的横坐标t的取值范围是0麴t1.1(3)如图3,eG与x轴交于H,与y轴交于E,连接GH,OG-,GH21,OHJGH2OG2J2g)2*3 1H(——，0),E(0-),2 2

当直线yxb(b0)与x轴交于点C,与y轴交于点D,若线段CD上存在线段MN的可视点，直线yxb与y轴交点在y正半轴上TOC\o"1-5"\h\z将E(0,1)代入得b1,2 2当直线yxb与eE相切于T时交y轴于Q,连接ET,则ETTQ,QEQT45,TQET EM 应，EQOQ1,一触2ET2TQ2、(2)2(、EQOQ1,一触21 5OE EQ - 2 -2 252，综上所述：11b5.2 2(2019?顺义区二模)对于平面直角坐标系 xOy中的任意两点M(x,yj,N(x2,y?),给出如下定义：点M与点N的“折线距离”为：d(M,N)|xix2||yiy2|.例如：若点M(1,1),点N(2,2),则点M与点N的“折线距离”为：d(M,N)|12||1(2)|336.根据以上定义，解决下列问题：(1)已知点P(3,2).①若点A(2,1),则d(P,A);②若点B(b,2),且d(P,B)5,则b;③已知点C(m,n)是直线y x上的一个动点，且d(P,C)3,求m的取值范围.(2)eF的半径为1,圆心F的坐标为(0,t),若eF上存在点E,使d(E,O)2,直接写出t的取值范围.

【分析】(1)【分析】(1)①由折线距离的定义，代入点P和点A坐标即可算出;②由折线距离的定义，将点B(b,2)代入d(P,B)5,即可解出b值;③先将C点坐标代入yx,得出m和n的关系，再由d(P,C)3得关于m的绝对值不等式，结合其几何意义，可得m的取值范围；(2)作正方形ABCD,顶点坐标分别为： A(2,0),B(0,2),C(2,0),D(0,2),由eF在y轴上运动所处的临界位置，结合图象可得结论.【解析】解：(1)①由折线距离的定义式：d(M,N)|xiX2||yiy2|,及点P(3,2),A(2,1)得：d(P,A)|3(2)||2(1)|6.故答案为：6.②d(P,B)|3b||(2)2|13b|45|3b|1,b2或4.故答案为：2或4.③Q点C(m,n)是直线y x上的一个动点，nm,d(P,C)|3m||(2)n||3m||2m||m3||m2|32的点的距离之和小于 3,所以1m4.2的点的距离之和小于 3,所以1m4.答：m的取值范围为1m4.(2))QeF的半径为1,圆心F的坐标为(0,t),如图所示，当点F位于(0,3)或(0,3)时，刚好存在唯一一个点 E,使得d(E,O)2;