等差数列的性质

第二章 数列2.2 等差数列第2课时 等差数列的性质A级 基础巩固一、选择题1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且 a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第 37项值为( )A．0 B．37 C．100 D．－37解析：设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2100，故d＝c2－c1＝0，故cn＝100(n∈N*)，从而c37＝100.答案：C2．如果数列{an}是等差数列，则下列式子一定成立的有 ( )A．a1＋a8＜a4＋a5 B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8＞a4＋a5 D．a1a8＝a4a5解析：由等差数列的性质有 a1＋a8＝a4＋a5.答案：B3．由公差 d≠0的等差数列 a1，a2，⋯，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，⋯下列说法正确的是( )A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为 d的等差数列C．新数列是公差为 2d的等差数列D．新数列是公差为 3d的等差数列解析：因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1＋an)＋(an＋3－an＋2)2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，⋯是公差为2d的等差数列．答案：C14．在数列{an}中，a3＝2，a7＝1，如果数列 an＋1是等差数列，那么a11等于()112A.3B.2C.3D．1解析：依题意得1＋1＝2·1，a3＋1a11＋1a7＋1所以1＝2－1＝2，a11＋11＋12＋13所以11＝1.a2答案：B5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是 ( )A．－2 B．－3 C．－4 D．－5解析：设该数列的公差为 d，则由题设条件知：a6＝a1＋5d>0，a7＝1＋6d<0.a又因为a1＝23，d>－235，2323所以23即－5<d<－6，d<－6，又因为d是整数，所以d＝－4.答案：C二、填空题6．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的根，则a5a8＝________．解析：由已知得a3＋a10＝3.又数列{an}为等差数列，所以a5＋a8＝a3＋a10＝3.答案：37．数列{an}满足递推关系 an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，a1＝5，则使得数列an＋m为等差数列的实数的值为．3nm________解析：a1＝，2＝×＋2－＝，5a353123a3＝3×23＋33－1＝95，5＋m 23＋m 95＋m依题意得 3 ， 32，33成等差数列，23＋m 5＋m 95＋m所以2·32 ＝ 3 ＋ 33，1所以m＝－2.1答案：－2an an＋18．已知数列{an}满足a1＝1，若点n，n＋1在直线x－y＋1＝0上，则an＝________________．anan＋1an＋1nana解析：由题设可得n－＋1＝0，即－n＝1，所以数列nn＋1n＋1an是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式n＝n，所以an＝n2.答案：n2三、解答题9．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋⋯＋a5＝30，a6＋a7＋⋯＋a1080，求a11＋a12＋⋯＋a15.解：法一：因为1＋11＝6＋6，2＋12＝7＋7，⋯，5＋15＝10＋10，所以a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，⋯，a5＋a15＝2a10.所以(a1＋a2＋⋯＋a5)＋(a11＋a12＋⋯＋a15)＝2(a6＋a7＋⋯＋a10)．所以a11＋a12＋⋯＋a15＝2(a6＋a7＋⋯＋a10)－(a1＋a2＋⋯＋a5)＝2×80－30＝130.法二：因为数列{an是等差数列，所以a1＋2＋⋯＋5，6＋7}aaaa＋⋯＋a10，a11＋a12＋⋯＋a15也成等差数列，即30，80，a11＋a12＋⋯＋a15成等差数列．所以30＋(a11＋a12＋⋯＋a15)＝2×80，所以a11＋a12＋⋯＋a15＝130.10．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求数列{bn}的通项公式；(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？解：(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为 an＝3＋(n－1)(－5)8－5n，设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N*，所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，所以新数列{bn}也为等差数列，且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.(3)因为m＝4n－1，n∈N*，所以当 n＝110时，m＝4×110－1439，所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．B级 能力提升1．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为 14的等差数列，则|m－n|＝( )3 1 3A．1 B.4 C.2 D.8解析：设方程的四个根 a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则 a1＋a4＝a2＋a3＝2，再设此等差数列的公差为 d，则2a1＋3d＝2，1 1因为a1＝4，所以d＝2，1 1 3所以a2＝4＋2＝4，5a3＝4＋1＝4，137a4＝4＋2＝4，17351所以|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝4×4－4×4＝2.答案：C2．若数列{an}为等差数列，p＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝a______________．解析：法一：因为ap＝q＋－，a(pq)d所以q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d，因为p≠q，所以d＝－1.所以ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q×(－1)＝0.法二：因为数列{an}为等差数列，所以点(n，an)在一条直线上．不妨设p＜q，记点A(p，q)，B(q，p)，则直线AB的斜率p－qk＝ ＝－1，如图所示，由图知OC＝p＋q，即点C的坐标为q－p(p＋q，0)故ap＋q＝0.答案：03．在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．1(1)求证：数列 an是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明：由3anan－1＋an－an－1＝0，得