最短路径将军饮马造桥选址

郧西县河夹中学段廉洁最短路径问题将军饮马问题造桥选址问题最短路径问题①垂线段最短。②两点之间，线段最短。LABABLC问题1

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ABCL两种情形点A，B分别是直线l异侧的两个点点A,B分别是直线l同侧的两个点ABllABCB′C解决问题1①作图lABB′C②证明lABB′CC′lABB′CC′证明:问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）ABMNab解决问题2①作图②证明ABMNabA′ABMNabA′M′N′证明:ABMNabA′M′N′练习

1、如图1，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球?

2、如图2，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为多少？

DBAC图1ABDC图2A′A″NM郧西西县县河河夹夹镇镇初初级级中中学学段廉廉洁洁造桥桥选选址址问问题题的的延延伸伸探探索索造桥桥选选址址问问题题如图图，，A和和B两两地地在在一一条条河河的的两两岸岸，，现现要要在在河河上上造造一一座座桥桥MN.乔乔早早在在何何处处才才能能使使从从A到到B的的路路径径AMNB最最短短？？（（假假定定河河的的两两岸岸是是平平行行的的直直线线，，桥桥要要与与河河垂垂直直））BA思维维分分析析BA1、、如如图图假假定定任任选选位位置置造造桥桥ＭＭＮＮ，，连连接接ＡＡＭＭ和和ＢＢＮＮ，，从从A到到B的的路路径径是是AM+MN+BN，，那那么么怎怎样样确确定定什什么么情情况况下下最最短短呢呢？？ＭＮ2、、利利用用线线段段公公理理解解决决问问题题我我们们遇遇到到了了什什么么障障碍碍呢呢？？我们们能能否否在在不不改改变变AM+MN+BN的的前前提提下下把桥桥转转化化到到一一侧侧呢？？什什么么图图形形变变换换能能帮帮助助我我们们呢呢？？思维维火火花花各抒抒己己见见1、、把把A平平移移到到岸岸边边.2、、把把B平平移移到到岸岸边边.3、、把把桥桥平平移移到到和和A相相连连.4、、把把桥桥平平移移到到和和B相相连连.上述述方方法法都都能能做做到到使使AM+MN+BN不不变变呢呢？？请请检检验验.合作作与与交交流流1、、2两两种种方方法法改改变变了了.怎样样调调整整呢呢？？把A或或B分分别别向向下下或或上上平平移移一一个个桥桥长长那么么怎怎样样确确定定桥桥的的位位置置呢呢?问题题解解决决BAA1MN如图图，，平平移移A到到A1，，使使ＡＡA1等等于于河河宽宽，，连连接接A1ＢＢ交交河河岸岸于于ＮＮ作作桥桥ＭＭＮＮ，，此此时时路路径径ＡＡＭＭ＋＋ＭＭＮＮ＋＋ＢＢＮＮ最最短短.理由由；；另另任任作作桥桥ＭＭ１Ｎ１，连连接接ＡＡＭＭ１，ＢＢＮＮ１，ＡＡ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平平移移性性质质可可知知，，ＡＡＭＭ＝＝ＡＡ１Ｎ，，ＡＡＡＡ１＝ＭＭＮＮ＝＝ＭＭ１Ｎ１，ＡＡＭＭ１＝ＡＡ１Ｎ１.AM+MN+BN转转化化为为ＡＡＡＡ１＋ＡＡ１Ｂ，，而而ＡＡＭＭ１＋ＭＭ１Ｎ１＋ＢＢＮＮ１转化化为为ＡＡＡＡ１＋ＡＡ１Ｎ１＋ＢＢＮＮ１.在△△ＡＡ１Ｎ１Ｂ中中，，由由线线段段公公理理知知A1N1+BN1＞A1B因此此ＡＡＭＭ１＋ＭＭ１Ｎ１＋ＢＢＮＮ１＞AM+MN+BN问题题延伸伸一一如图图，，A和和B两两地地之间间有有两两条河河，，现现要要在在两条条河上上各造一一座座桥桥MN和PQ.桥分分别别建建在何何处处才才能能使使从从A到到B的的路路径径最最短短？？（（假假定定河河的的两两岸岸是是平平行行的的直直线线，，桥桥要要与与河河岸垂直直））思维维分分析析如图图，，问问题题中中所所走走总总路路径径是是AM+MN+NP+PQ+ＱＱＢＢ．．桥MN和和PQ在在中中间间，，且且方方向向不不能能改改变变，，仍仍无无法法直直接接利利用用““两两点点之之间间，，线线段段最最短短””解解决决问问题题，，只只有有利利用用平平移移变变换换转转移移到到两两侧侧或或同同一一侧侧先先走走桥桥长长.平移移的的方方法法有有三三种种：：两两个个桥桥长长都都平平移移到到A点点处处、、都都平平移移到到B点点处处、、MN平平移移到到A点点处处，，PQ平平移移到到B点点处处思维维方方法法一一1、、沿沿垂垂直直于于第第一一条条河河岸岸的的方方向向平平移移A点点至至AA1使使AA1=MN，，此此时时问问题题转转化化为为问问题题基基本本题题型型两两点点（（A1、、B点点））和和一一条条河河建建桥桥（（PQ））2、、利利用用基基本本问问题题的的解解决决方方法法确确定定桥桥PQ：：（1））在在沿沿垂垂直直于于第第二二条条河河岸岸的的方方向向平平移移A1至至A2，，使A1A2=PQ.（2））连连接接A2B交交A2的的对对岸岸Q点点，，在在点点处处建建桥桥PQ.3、、确确定定PQ的的位位置置，，也也确确定定了了BQ和和PQ，，此此时时问问题题可可转转化化为为由由A点点、、P点点和和第第一一条条河河确确定定桥桥MN的的位位置置.连接接A1P交交ＡＡ１１的的对对岸岸于于ＮＮ点点，，在在ＮＮ点点处处建建桥桥ＭＭＮＮ．．问题题解解决决沿垂垂直直于于河河岸岸方方向向依依次次把把ＡＡ点点ＡＡ１１、、ＡＡ２２，，使使ＡＡＡＡ１１＝＝ＭＭＮＮ，，ＡＡ１１ＡＡ２２＝＝ＰＰＱＱ；；连接Ａ２２Ｂ交于于Ｂ点相相邻河岸岸于Ｑ点点，建桥桥ＰＱ；；连接Ａ１１Ｐ交ＡＡ１的对对岸于ＮＮ点，建建桥ＭＮＮ；从Ａ点到到Ｂ点的的最短路路径为ＡＡM＋MN＋ＮＮＰ＋ＰＰＱ＋ＱＱＢ．思维方法法二沿垂直于于第一条条河岸方方向平移移Ａ点至至Ａ１点点，沿沿垂直于于第二条条河岸方方向平移移Ｂ点至至Ｂ１点点，连接接A1B1分分别交A、B的的对岸于于N、P两点，，建桥MN和PQ.最短路径径AM+MN+NP+PQ+QB转转化为AA1+A1B1+BB1.思维方法法三沿垂直于于河岸方方向依次次把B点点平移至至B１、、B２，，使BB１＝PQ，B１B２２＝MN；；连接B２２A交于于A点相相邻河岸岸于M点点，建桥桥MN；；连接B１１N交B１的对对岸于P点，建建桥PQ；从Ａ点到到Ｂ点的的最短路路径为ＡＡM＋MN＋NP＋ＭＭＮ＋ＮＮＰ＋ＰＰＱ＋ＱＱＢ转化化为AB2+B2B1+B1B．问题延伸二如图，A和B两两地之间有三三条河，现现要在两条河上各造一座桥桥MN、PQ和和GH.桥分别建建在何处才才能使从从A到B的路径径最短？？（假定定河的两两岸是平平行的直直线，桥桥要与河河岸垂直）思维分析析如图，问问题中所所走总路路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＱG+GH+HB．桥MN、、PQ和和GH在在中间，，且方向向不能改改变，仍仍无法直直接利用用“两点点之间，，线段最最短”解解决问题题，只有有利用平平移变换换转移到到两侧或或同一侧侧先走桥桥长.平移的方方法有四四种：三三个桥长长都平移移到A点点处；都都平移到到B点处处；MN、PQ平移到到A点处处；PQ、GH平移到到B点处处问题解决决沿垂直于于河岸方方向依次次把A点点平移至至A１、、A２、、A3，，使AA１＝MN，A１A２２＝PQ，A2A3=GH；；连接A3B交于于B点相相邻河岸岸于H点点，建桥桥GH；；连接A2G交第第二河与与G对岸岸的P点点，建桥桥PQ；；连接A1P交第第一条河河与A的的对岸于于N点，，建桥MN.此时从A到B点点路径最最短.沿垂直于于河岸方方向依次次把A点点平移至至A１、、A２、、A3，，使AA１＝MN，A１A２２＝PQ，A2A3=GH；；连接A3B交于于B点相相邻河岸岸于H点点，建桥桥GH；；连接A2G交第第二河与与G对岸岸的P点点，建桥桥PQ；；连接A1P交第第一条河河与A的的对岸于于N点，，建桥MN.此时从A到B点点路径最最短.问题解决决沿垂直于于河岸方方向依次次把A点点平移至至A１，，使AA１＝MN，平平移B点点至B1、B2,使使BB1＝GH，B1B2=PQ；连接A1B2交交第一条条河与A点相对对河岸于于N点，，交第二二条河与与N相邻邻河岸于于P点，，建桥MN、PQ；连接B1Q交第第三条河河与Q相相邻河岸岸的G点点，建桥桥GH；；此时从A到B点点路径最最短.问题解决决沿垂直于于河岸方方向依次次把A点点平移至至A１、、A2，，使AA１＝MN，ＡＡ１Ａ２２＝ＰＱＱ，平移移B点至至B1,使BB1＝＝GH；；连接A２２B１交交第三条条河与ＢＢ点相对对河岸于于Ｇ点，，交第二二条河与与Ｇ相邻邻河岸于于Ｑ点，，建桥ＧＧＨ、PQ；连接Ａ1Ｐ交第第一条河河与Ｐ相相邻河岸岸的Ｎ点点，建桥桥ＭＮ；；此时从A到B点点路径最最短.问题解决决沿垂直于于河岸方方向依次次把A点点平移至至A１、、A2，，使AA１＝MN，ＡＡ１Ａ２２＝ＰＱＱ，平移移B点至至B1,使BB1＝＝GH；；连接A２２B１交交第三条条河与ＢＢ点相对对河岸于于Ｇ点，，交第二二条河与与Ｇ相邻邻河岸于于Ｑ点，，建桥ＧＧＨ、PQ；连接Ａ1Ｐ交第第一条河河与Ｐ相相邻河岸岸的Ｎ点点，建桥桥ＭＮ；；此时从A到B点点路径最最短.问题解决决9、静夜四四无邻，，荒居旧旧业贫。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黄叶树树，灯下白头头人。。16:47:0716:47:0716:471/6/20234:47:07PM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。1月月-2316:47:0716:47Jan-2306-Jan-2312、故人人江海海别，，几度度隔山山川。。。16:47:0716:47:0716:47Friday,January6,202313、乍见翻翻疑梦，，相悲各各问年。。。1月-231月-2316:47:0716:47:08January6,202314、他乡生白发发，旧国见青青山。。06一月20234:47:08下午16:47:081月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。一月234:47下午午1月-2316:47January6,202316、行动出出成果，，工作出出财富。。。2023/1/616:47:0816:47:0806January202317、做前，能能够环视四四周；做时时，你只能能或者最好好沿着以脚脚为起点的的射线向前前。。4:47:08下下午4:47下下午16:47:081月-239、没有失败，，只有暂时停停止成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有结结果果，，但但是是不不努努力力却却什什么么改改变变也也没没有有。。。。16:47:0816:47:0816:471/6/20234:47:08PM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。1月-2316:47:0816:47Jan-2306-Jan-2312、世间成事事，不求其其绝对圆满满，留一份份不足，可可得无限完完美。。16:47:0816:47:0816:47Friday,January6,202313、不知知香积积寺，，数里里入云云峰。。。1月-231月-2316:47:0816:47:08January6,202314、意意志志坚坚强强的的人人能能把把世世界界放放在在手手中中像像泥泥块块一一样样任任意意揉揉捏捏。。06一一月月20234:47:08下下午午16:47:081月-2315、楚塞三湘湘接，荆门门九派通。。。。一月234:47下下午1月-2316:47January6,202316、少少年年十十五五二二十十时时，，步步行行夺夺得得胡胡马马骑骑。。。。2023/1/616:47:0816:47:0806January202317、空山山新雨雨后，，天气气晚来来秋。。。4:47:08下下午4:47下下午午16:47:081月-239、杨柳散散和风，，青山澹澹吾虑。。。1月-2