探究问题归类在初中数学教学中的有效运用

探究问题归类在初中数学教学中的有效运用

Summary：归类是初中生必备的数学思想方法之一，也是学生高效解题的思维支架。在初中数学教学中有效运用问题归类，帮助学生掌握一类问题的解决思路及方法，可以促成学生对数学问题的举一反三与触类旁通。基于此，文章结合实际教学经验，围绕具体教学案例，例题讲解、课堂检测、作业设计、复习课教学四大方面探究问题归类在初中数学教学中的有效运用路径，以供参考。Keys：问题归类；初中；数学教学；探究能力义务教育数学新课标指出，在数学教学中要高度重视数学知识的整体性、系统性、实践性与应用性，不仅要以科学的教学指导方式帮助学生学习重要知识点，提高学生对数学知识的内化与吸收程度，还需要遵循数学知识的整体性原则，将分散、碎片的数学知识还原至数学体系框架内，让学生意识到可以从不同维度分析数学知识、从不同角度探索数学知识的应用方法、从不同层次理解数学知识，继而提高学生数学认知水平、强化学生数学综合能力。因此，在新课标导向下，初中数学教师应当注重在新课讲授与复习课教学中有效应用问题归类，为学生提供某一类数学问题的解决思路在，指导学生自主探究某一类问题的解决策略，让学生将问题内隐藏的数学思想方法同化或顺应至自身认知结构内，逐步完善学生数学认知体系并达成“授人以渔”的教学效果。问题归类在初中数学例题呈现中的有效运用理论依据例题是初中数学教材内重要的教学资源。在传统的例题教学模式下，教师倾向于直接教授学生解答例题的方法，或是提示学生解题思路，或是提醒学生分析题干，亦或是直接讲授解题步骤。此种教学方式将学生置于例题解答的被动地位，可能会导致学生陷入定式思维，造成学生解题能力低下的问题。叶圣陶先生曾指出，教材只是教师教学的依据，而非全部的教学资源，若想教得好便需要对教材进行合理利用，挖掘教材内数学知识的生发点、延伸点，让学生从多维度、多角度学习、理解与习练数学知识。问题归类可以满足上述教材使用要求，教师以教材例题为基础，运用问题归类思想对例题进行变式或创新，进一步强化例题对学生数学综合能力的考察，提升例题的教育功能，让学生从例题及归类问题的分析与解决中逐步获得灵动思维，感受数学知识的生活使用价值[1]。实践策略以浙教版九年级上册数学《相似三角形的性质及其应用》新课讲授为例，教师可以借助多媒体技术直观化呈现例题3及其配图，以此调动学生解答例题的内在动因。结合浙教版初中数学教材编写意图、课程标准及知识模块设计可以发现，例题3的设计意图有三：将数学问题置于真实可感、学生熟悉的生活情境之内，调动学生头脑内已有图式并与之产生交互，以此激发学生认知及思维活动；锻炼学生对相似三角形性质的应用能力；为学生提供更加多元的解决现实问题的思路[2]。例题：数学兴趣小组测校园内一棵树的高，有以下两种方法：方法1：如图1，把镜子放在离树8m的点E处，沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢定点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m。图1方法2：如图2，把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量得树影长为2.80m，标杆的影长为1.47m。图2分别根据上述两种方法求出树高。在例题讲解中，教师可以采用小组合作教学模式，请各小组成员分析题干，提炼关键信息，建构数量关系，并写出树高的求解过程。完成后请各小组代表上台讲解解题思路及方法，其余小组对其进行补充与完善，以此深化学生对例题的理解，让学生在交互中习得解决例题的策略。例题讲解后，教师结合学生实际学习成效引入与之同类的数学问题：问题1：如图3所示，距离建筑外墙4m处有一棵树AB。在某一时刻，垂直于地面的1.2m长的主干A’B’因影子长度B’B长度为2m，请问这棵树在建筑外墙上影子部分CD的高度为多少？这棵树的高度为多少？图

3上述问题与例题的解题原理相同，但所涉及的生活情境与限制条件不同，学生经过例题学习后可以顺利求解树AB的高度，但在计算影子CD的长度时遇到困难。教师引导学生想象将建筑外墙去除，将问题1化归为例题情形，让学生意识到求解CD长度，即求解直角三角形斜边长度再减掉4m，以此通过问题归类使得数学问题直观化、简单化。问

题2：如图4所示，在斜坡顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD为水平。在阳光照射下影子DE留在斜坡上，已知铁塔底座宽度CD=12m，DE为18m，小李与小张身高均为1.6m，同一时刻小李与小张分别站位E点与地面上，影子长分别为2m与1m，则塔高AB为？图4上述问题2是对例题及问题1的进一步延伸，融入了斜面问题，难度及复杂性明显提升。教师要指导学生抵达此类问题的本质，找准其中不变的量与因素，即物体高度与影子长度之间的比值，按照这一思路再适度渗透数形结合思想，请学生将题干内的已知条件抽象为图形，自主构造相似三角形，如图5所示，引导学生将求塔高抓化为在两对相似三角形内求AB’与BB’长度之和，以此求解问题。这种对例题进行归类拓展的教学方式，可以开拓学生解题思路、提高学生思维品质。

图5问题归类在初中数学课堂检测中的有效运用理论依据课堂检测是初中数学教学流程的关键环节。对于学生而言，课堂检测可以帮助其通过做题巩固课堂所学，实现对本节课数学知识的当堂内化，并且可以激发学生反思意识、争先意识，使学生认识到自身的不足之处与薄弱环节，继而进行自我调试与完善。对于教师而言，课堂检测结果可以反映出学生对数学知识的理解与掌握程度，评价本节课教学效果及学生的学习成效，通过对学生共性及个性问题的着重讲解实现一课一结。但传统的课堂检测以“题海战术”为主，教师选择或设计的课堂练习题缺乏系统性与整体性，将数学知识划分为相对独立的单元，导致学生难以从整体上认知数学知识。问题归类的有效运用可以改善课堂检测现状，将同一类型的课堂检测题结合为有机整体，帮助学生夯实数学知识基础，获得数学能力的综合锻炼[3]。实践策略以浙教版七年级下册数学“整式的乘法”教学为例。教师需要对教材内的课后练习题进行精挑细选，结合本班学生数学基础、认知水平、学习特点等以教材练习题为基础广泛整合形式多样、融合多重视数学思想及解题方法的拓展性课内练习题，让学生获得问题归类的启发，并能够对新旧知识进行融汇贯通。课内练习1：已知：，，求的值（）；的值（）。上述练习题来源于教材，是对整式乘法运算法则的正向及直接运用，学生对照整式乘法相关公式、原理等便可以顺利解决上述课内练习题。对于该练习题的归类拓展，教师可以从“逆向思维”角度入手，遵循由易到难的基本原则，围绕初中生数学基础水平及学习理解能力，对上述问题进行拓展延伸，注重考察学生逆向思维能力，引导学生突破思维定式，使学生可以从不同维度及角度分析并解决数学问题。问题1：，，求的值（）。问题1是对教材课后习题的归类延伸，所涉及的问题情形与计算步骤更加复杂，需要学生耐心细致的分析提干并计算出得数，可以强化学生对整数乘法运算法则的理解与记忆，为后续的思维拓展及提升奠定坚实、有力的基础。问题2：已知：，，尝试运用含有a、b的式子表示。问题2渗透了逆向思维，引导学生从入手，逆向运用整式乘法运算法则，将7视作4+3，将4视作2+2，再结合所学知识以表示，以b直接表示，最后以b表示。问题3：已知：，求的值。问题3看似复杂，实则简单，教师鼓励学生自主解答，引领学生分析与之间的关系，便可以达到解题目标。问题归类在初中数学作业设计中的有效运用理论依据作业作为初中数学课堂的延伸，具有诊断、学情分析等多元化功能。教师在作业设计中要高度重视减轻学生的课后作业负担，保证学生作业完成的独立性与自主性，让学生在完成作业中巩固课堂所学的数学知识。但当前作业设计中问题归类意识较为薄弱，试图以作业的量引发学生学习成效上质的变化。实际上，针对性不足的作业会导致学生逆反、厌倦、抵触、逃避等不良心理，也会造成部分学生吃不饱、部分学生难消化，继而降低作业设计的实效性。因此，初中数学教师除了在例题讲解与课堂检测中应用问题归类之外，还需要注重问题归类意识在作业设计内的有效渗透，通过作业让学生融汇数学知识，掌握以数学知识解决现实问题的方法[4]。实践策略以浙教版八年级上册数学“平行线的性质”作业设计为例，教师可以设计如下体现问题归类思想的课后作业：作业1：当AB//CD时，图4中∠APC与∠PAB，∠PCD之间存在一定的关系，即∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，理由为：连接AC……按照此种思路你能找到图6中∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系吗？

图6教师指导学生自主完成作业，在作业批改中会发现多种做辅助线的形式，教师对此进行归类。在作业讲解中分类呈现学生作辅助线的方法，如构建三角形、构造平行线等，请学生思考各种辅助线形式还可以应用于哪些数学问题中。同时，教师对作业问题进行变式，以进一步提升学生思维品质。问题：当AB//CD时，可以找出图7、图8中∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系吗？上述归类拓展问题通过对点P位置的变化对作业题进行变式，让学生初步树立动点问题思维，拓宽学生思维空间，让学生自主探索动点问题的一般规律及解题方法。

图7图8问题归类在初中数学知识复习中的有效运用理论依据初中数学复习课是对单元或本学段知识的全面梳理与综合性复习。传统复习课教学模式下，教师通常以练习题作为知识依托的载体，让学生做大量练习题以巩固所学的数学知识。此种方法枯燥乏味，在教学方法上缺乏灵活性与趣味性；在教学成效上缺乏针对性与精准化；在教学过程上僵化固定，导致学生难以把握复习要点，不能认识到自身的劣势。因此在问题归类视域下，教师要以问题归类突破单元或学段设置界限，将各单元数学知识结合为有机整体，指导学生从问题解决中掌握通法[5]。实践策略以浙教版初中数学基本图形应用为例。教师可以从教材习题、例题内提炼出如下图9所示基础图形。图9案例：已知∠ABC+∠C=180°，BD平分∠ABC。∠CBD与∠D相等吗？为什么？上述问题是角平分线与平行线知识的融汇，该基础图形在复杂几何图形问题内的应用十分广泛，教师需要结合初中数学课程标准、中考考察范围、初中生必备的数学能力与品格等对上述基础图形的应用进行分类呈现，让学生了解该基础图形在题目内的主要体现形式，在解题时能够有意识地应用该基础图形的一般规律以突破解题难点。应用1：在平行四边形ABCD中，∠DAB平分线交CD于点E，BC=9，AB=13，则CE=（）。上述应用1是基础图形在平行四边形内的应用，可以直接利用基础图形内三角形BDE为等腰三角形这一结论。应用2：已知平行四边形ABCD的周长为32cm，∠DAB的角平分线交CD所在的直线于点E，且DE：EC=3:2，求AB的长。应用2是对基础图形的进一步延伸，所规定的限制条件更多，但都不会脱离基础图形的规律，教师引导学生在复杂图形内描绘出基础图形，将基础图形规律迁移至问题解决中。上述基于基础图形应用问题的归类可以让学生解题思维更加活跃，提高学生对题干的分析能力，为学生提供更加多元的解题方法，并且使学生形成举一反三的解题思维，有助于提高学生解题效率，消除学生对复杂问题的畏难心理。结束语问题归类是一种以分类为基础，将数学知识整合并还原与具体问题类型内的数学教学理念、教学方法。在初中数学教学中教师有效应用问题归类，需要根据例题讲解、课堂检测、作业设计及复习课教学的实际需求提炼并分析数学问题。同时要积极采用启发式、探究式与合作式教学方法，赋予学生学习新知与解决问题的自主权，让学生以灵动思维参与到数学学习活动中。此外，教师要有意识地引导学生应用问题分类，在日常学习及作业完成中注意积累同类数学问题，逐步形成个性化的数学知识体系与解题策略，以此充分发挥问题归类在初中数学教学中的应用价值，循序渐进地培养学生数学综合素养。Reference[1]马淑丽.