利用导数解决恒成立能成立问题

JbV3/2bV9/4,即：1VbV9/4综上：bV9/4点评：考查学生的解题思维，万变不离其宗，只要会了函数的求导就不难解该题了．8.不等式x3-3x2+2-aV0在区间x£[-1,1]上恒成立，则实数a的取值范围(2,+8).考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：变形为x3-3x2+2Va在闭区间£[-1,1]上恒成立，从而转化为三次多项式函数在区间上求最值的问题，可以分两步操作：①求出f(x)=x3-3x2+2的导数，从而得出其单调性；②在单调增区间的右端求出函数的极大值或区间端点的较大函数值，得出所给函数的最大值，实数a要大于这个值.解答：解：原不等式等价于x3-3x2+2Va区间x£[-1,1]上恒成立，设函数f(x)=x3-3x2+2,xE[-1,1]求出导数：f/(x)=3x2-6x,由f/(x)=0得x=0或2可得在区间(-1,0)上f/(x)>0,函数为增函数，在区间(0,1)上f/(x)V0,函数为减函数，因此函数在闭区间[-1,1]上在x=0处取得极大值f(0)=2,并且这个极大值也是最大值所以实数a>2故答案为：(2,+8)点评：本题利用导数工具研究函数的单调性从而求出函数在区间上的最值,处理不等式恒成立的问题时注意变量分离技巧的应用,简化运算．.当x£(0,+8)时，函数f(x)=ex的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k的取值范围是(-8,1].考点：利用导数求闭区间上函数的最值.专题：常规题型.分析：构造函数G(x)=f(x)-y=ex-kx+1求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，求出最小值，最小值大于0时k的范围，即k的取值范围解答：解：G(x)=f(x)-y=ex-kx+1,G'(x)=ex-k,,/x£(0,+8).,.Gz(x)单调递增，当x=0时G，(x)最小，当x=0时G，(x)=1-k当G，(x)>0时G(x)=f(x)-y=ex-kx+1单调递增，在x=0出去最小值0所以1-k20SPkE(-oo,1].故答案为：(-8,1L点评：构造函数，利用导数求其最值，根据导数的正负判断其增减性，求k值，属于简单题..设函数f(x)=ax3-3x+1(x£R),若对于任意的x£[-1,1]都有f(x)20成立，则实数a的值为4.考点：利用导数求闭区间上函数的最值.专题：计算题.分析：弦求出f'(x)=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f(x)的最小值，对于任意的x£[-1,1]都有f(x)20成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围.解答：解：由题意，f,(x)=3ax2-3,当aW0时3ax2-3V0,函数是减函数，(0)=1,只需(1)20即可，解得a22,与已知矛盾，_当a>0时，令f,(x)=3ax2-3=0解得x=土工^,a①当xV-时，f,(x)>0,f(x)为递增函数，②当-VxV时，f,(x)V0,f(x)为递减函数，③当x>时，f(x)为递增函数.所以f()20,且f(-1)20,且f(1)20即可由千()20,即a•-3^+120,解得a24,由f(-1)20,可得aW4,由f(1)20解得2WaW4,综上a=4为所求.故答案为：4.点评：本题以函数为载体，考查学生解决函数恒成立的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题..若关于x的不等式x2+12kx在[1,2]上恒成立，则实数k的取值范围是(-8,2].考点：利用导数求闭区间上函数的最值.专题：计算题.分析：被恒等式两边同时除以X,得到kWx+工，根据对构函数在所给的区间上的值域，得到当式子恒成立时，k要小于函数式的%小值.解答：解：..・关于X的不等式x2+12kx在[1,2]上恒成立,，kWx+,V在[1,2]上的最小值是当x=2时的函数值2,，kW2,・•.k的取值范围是(-8,2]故答案为：(-8,2].点评：本题考查函数的恒成立问题，解题的关键是对于所给的函数式的分离参数，写出要求的参数，再利用函数的最值解决.12.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=()x-m,若Vx[£[O,3],3x2G[1,2],使得f(x)2g(x2),则实数m的取值范围是()A.[,+8)B.(-°°,]C.[,+8)D.(-°0,-]考点：利用导数求闭区间上函数的最值.专题：计算题.分析：先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围.解答：解：因为々£[0,3]时，f(x)G[0,In4];x2G[1,2]时，g(x2)G[-m,-m].故只需02-mom》.故选A.点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题.13.已知,,若对任意的2],总存在2],使得g(x)=f(x2),则m的取值范围是()A.[0,]B.[,0]C.[,]D.[,1]考点：利用导数求闭区间上函数的最值；特称命题.专题：综合题.分析：根据对于任意x1£[-1,2],总存在%£[-1,2],使得g(x1)=f(x2),得到函数g(x)在[-1,2]上值域是f(x)在[-1,2]上值域的子集，然后利用求函数值域的方法求函数f(x)、g(x)在[-1,2]上值域，列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围即可.解答：解：根据对于任意〜-1,2］,总存在2］,使得g(x)=f(x2),得到函数w(x)在［-1,2］上值域是f(x)在［-1,2］上值域的子集3f⑺二、■一工求导函数可得：/(x)=X2-1=(x+1)(X-1)，，函数f(x)在［-1,1)上单调减，在(1,2］上单调增.-.f(-1)=,f(1)=-,f⑵=，(x)在［-1,2］上值域是［-,］；m>0时，函数g(x)在［-1,2］上单调增，"(x)在［-1,2］上值域是［-m+,2m+］-m+-且22m+「.OVmWmR时，g(x)=满足题意；mVO时，函数g(x)在［-1,2］上单调减，「.g(x)在［-1,2］上值域是［2m+,-m+1.,.2m+2-且2-m+-WmVO综上知m的取值范围是［,］故选C.点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题..已知集合A={x£R|W2},集合B={a£R|已知函数f(x)=-1+lnx,3xq>0,使f(xo)WO成立},则AC1B=()A.{x|x<}B.{x|xW或x=1}C.{x|x<或x=1}D.{x|x<或x21}考点：利用导数求闭区间上函数的最值；交集及其运算.专题：计算题.分析：解分式不等式求出集合A,根据集合B可得aWx-xlnx在(0,+-)上有解.利用导数求得h(x)=x-xlnx的值域为(-8,1］,要使不等式aWxInx在(0,+8)上有解，只要a小于或等于h(x)的最大值即可，即aW1成立，故B={a|aW1},由此求得AAB.解答：解：集合A={x£R|W2}={x|}={x|}={x|(x-1)(2x-1)20,且2x-1十0}={x|x<，或x21}.由集合B可知f(x)的定义域为{x|x>0},不等式-1+lnxW0有解,即不等式aWx-xlnx在(0,+-)上有解.令h(x)=x-xlnx,可得h，(x)=1-(lnx+1)=-Inx,令h，(x)=0,可得x=1.再由当0VxV1时，h，(x)>0,当x>1时，h，(x)<0,可得当x=1时，h(x)=x-xlnx取得最大值为1.要使不等式aWx-xlnx在(0,+-)上有解，只要a小于或等于h(x)的最大值即可.即aW1成立，所以集合B={a|aW成.所以AAB={x|xV,,或x=1}.故选C.点评：本题主要考查集合的表示方法、分式不等式的解法，利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性求函数的值域，两个集合的交集的定义和求法，属于中档题..设函数，(P是实数，e为自然对数的底数)(1)若f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；(2)若在［1,e］上至少存在一点x°,使得f(x0)>g(xo)成立，求p的取值范围.考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.专题：计算题.分析：(1)求导/(x)=,要使“f(x)为单调增函数”，转化为叶，(x)20恒成立"，再转化为“p»=恒成立"，由最值法求解.同理，要使“f(x)为单调减函数”，转化为“产(x)W0恒成立"，再转化为“PW=恒成立"，由最值法求解，最后两个结果取并集.(2)因为“在［1,e］上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(xo)成立”，要转化为“f(x)喇,g(x)解决，易知g(x)=在［1,e］上为减函数，所以g(x)e［2,2e］,①当pWO时，千6)在［1,e］上递减;②当p21时，f(x)在［1,e］上递增；③当0VpV1时，两者作差比较.解答：解：(1)f'(x)=，要使“f(x)为单调增函数”，转化为“f,(x)20恒成立"，即p2=恒成立，又，所以当p21时，f(x)在(0,+8)为单调增函数.同理，要使“f(x)为单调减函数”，转化为“f,(x)W0恒成立，再转化为“pW=恒成立"，又，所以当pW0时，f(x)在(0,+8)为单调减函数.综上所述，f(x)在(0,+8)为单调函数，p的取值范围为p21或pW0(2)因g(x)=在［1,e］上为减函数，所以g(x)e［2,2e］①当pW0时，由(1)知f(x)在［1,e］上递减nf(x)max=f(1)=0V2,不合题意②当p21时，由(1)知f(x)在［1,e］上递增，f(1)<2,又g(x)在［1,e］上为减函数，故只需f(x)(x)xe［1,e］,即：f(e)=p(e-—)-21ne>2=>p>.e③当0VpV1时，因X-20,x£［1,e］所以f(x)=p(x-)-2lnxW(x-)-2lnxWe--2lneV2不合题意综上，P的取值范围为(，+8)点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题..若函数y=f(x),x£D同时满足下列条件：(1)在D内的单调函数；(2)存在实数m,n,当定义域为［m,n］时，值域为［m,n］.则称此函数为D内可等射函数，设(a>0且a十1),则当f(x)为可等射函数时，a的取值范围是(0,1)U(1,2).考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的定义域及其求法；函数的值域.专题：新定义.分析：求导函数，判断函数为单调增函数，根据可等射函数的定义，可得m,n是方程的两个根，构建函数g(x)=，则函数g(x)=有两个零点，分类讨论，即可确定a的取值范围.解答：解：求导函数，可得f,(x)=ax>0,故函数为单调增函数・・・存在实数m,n,当定义域为［m,n］时，值域为［m,n］./.f(m)=m,f(n)=n・•.m,n是方程的两个根构建函数g(x)=，则函数g(x)=有两个零点，g,x)=ax-1①0VaV1时，函数的单调增区间为(-8,0),单调减区间为(0,+8)・•・g(0)>0,.•・函数有两个零点，故满足题意；②a>1时，函数的单调减区间为(-8,0),单调增区间为(0,+8)要使函数有两个零点，则g(0)V0,...,Aa<2/.1<a<2综上可知，a的取值范围是(0,1)U(1,2)故答案为：(0,1)U(1,2).点评：本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确理解新定义是关键..存在xVO使得不等式x2V2-|x-t|成立，则实数t的取值范围是（-厘，2）.4考点：绝对值不等式.专题：计算题.分析：本题利用纯代数讨论是很繁琐的，要用数形结合.原不等式x2V2-即|x-t|<2-x2,分别画出函数y2=2-x^,这个很明确，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在xVO使不等式|x-t|V2-x2成立，则y1的图象应该在第二象限（xV0）和y2的图象有交点，再分两种临界讲座情况，当tW0时，y1的右半部分和y2在第二象限相切；当t>0时，要使y1和y2在第二象限有交点，最后综上得出实数t的取值范围.解答：解：不等式x2V2-|x-t|,即|x-t|V2-x2,令y1=|x-t|,y1的图象是关于x二t对称的一个V字形图形，其象位于第一、二象限；y2=2-x2,是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在xV0,使不等式|x-t|V2-x2成立，则y1的图象应该在第二象限和^的图象有交点，两种临界情况，①当tW0时，y1的右半部分和y2在第二象限相切：y1的右半部分即y1=x-t,联列方程y=x-t,y=2-x2,只有一个解；即x-t=2-x2,即x2+x-t-2=0,△=1+4t+8=0,得:t=-；此时匕恒大于等于y2,所以t二-取不到；所以-VtW0；②当t>0时，要使y1和y2在第二象限有交点，即y1的左半部分和y2的交点的位于第二象限；无需联列方程，只要y1与y轴的交点小于2即可；y1=t-x与y轴的交点为（0,t）,所以tV2,又因为t>0,所以0VtV2；综上，实数t的取值范围是：-VtV2;故答案为：（-,2）.点评：本小题主要考查函数图象的应用、二次函数、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题..存在实数x,使得x2-4bx+3bV0成立，则b的取值范围是b>至或bV0.考点：函数恒成立问题.专题：计算题；转化思想.分析：先把原命题等价转化为存在实数x,使得函数y=x2-4bx+3b的图象在X轴下方，再利用开口向上的二次函数图象的特点，转化为函数与X轴有两个交点，对应判别式大于0即可解题.解答：解：因为命题：存在实数x,使得x2-4bx+3bV0成立的等价说法是：存在实数x,使得函数y=x2-4bx+3b的图象在X轴下方，即函数与X轴有两个交点，故对应的△=(-4b)2-4X3b>00bV0或b>.故答案为：bV0或b>.点评：本题主要考查二次函数的图象分布以及函数图象与对应方程之间的关系，是对函数知识的考查，属于基础题..已知存在实数x使得不等式|x-3|-|x+21213a-1|成立则实数a的取值范围是.考点：绝对值不等式.专题：数形结合；转化思想.分析：由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，令其大于等于13a-1|,即可解出实数a的取值范围解答：解：由题意借助数轴，|x-3|-|x+2|e[-5,5]・・・存在实数x使得不等式|x-3|-|x+21213a-1|成立，.•・52|3a-l|,解得-5W3a-1W5,即-WaW2故答案为点评：本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，故取|3a-l|W5,即小于等于左边的最大值即满足题意，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误..存在实数a使不等式aW2-x+i在[-1,2]成立，则a的范围为(-8,4].考点：指数型复合函数的性质及应用.专题：计算题.分析：由x的范围可得1-x的范围，由此得到2-x+i的范围，从而得到a的范围.解答：解：由于-1WxW2,，-1W1-xW2,「.W2-x+1W4.・・・存在实数a使不等式aW2-x+1在[-1,2]成立，.言・4.故a的范围为(-8,4],故答案为(-8,4].点评：本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，属于中档题..若存在x£[-E,—],使成立，则实数a的取值范围为.34考点：正弦函数的图象；函数的图象与图象变化.专题：计算题.分析：根据正弦函数的单调性，分别求出当OWxW和WxWO时|sinx|的范围，进而推知乂金时，|sinx|的最大值.进而可知要使成立，只需小于其最大值即可.解答：解：当OWxW时，O^|sinx|=sinxW当WxWO时，OWsinx|二-sinxW即当x£,OW|sinx|W・•.要使成立，则需V即故答案为：点评：本题主要考查了正弦函数的单调性.属基础题..设存在实数，使不等式成立，则实数t的取值范围为t.考点：函数恒成立问题.专题：计算题；函数的性质及应用.分析：考虑关键点x=1处，分为以下两端：①x£(,1]时，t>:②乂金。，3]时，t2，综上所述，t>.解答：解：考虑关键点x=1处，分为以下两端：①x£(,1]时，-x20,lnxW0,于是t+-x>e-lnx,即t>—+x+=x>，此时t>.②x£(1,3]时，-x<0；lnx>0,于是t-+x>elnx,即t>-x+x=，此时t2,综上所述，t>.故答案为：t.点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用..若存在实数p£[-1,1],使得不等式px2+(p-3)x-3>0成立，则实数x的取值范围为(-3,-1).考点：函数恒成立问题；一元二次不等式的解法.分析：把已知不等式整理为关于P的一元一次不等式，而不等式左边为关于P的一次函数，根据一次函数的性质可得此函数的最值只有在［-1,1］的端点取得，根据题意不等式恒成立可得当p=-1时，最小值大于0即可，故把p=-1代入不等式，得到关于X的不等式，求出不等式的解集即可得到X的取值范围.解答：解：不等式px2+(p-3)x-3>0可以化为：p(x2-3x)-3x-3>0,这是一个关于P的一元一次不等式，函数p(x2-3x)-3x-3是关于p的一次函数，一次函数图象是直线，在定义域上是单调递增或递减，P£［-1,1］时，函数p(x2-3x)-3