22微分中值定理

2・2微分中值定理§2.2微分中值定理TOC\o"1-5"\h\z一、罗尔定理 「设函数畑满足 /TV怙⑴在闭区间［a加上/11JK连续；o\at L（2）在开区间（a#）内可导；（3） .f（a）=f（b）・则至少存在一点b，使得f0・a，b f 0几何意义：条件Q）说明曲线J=f（x）在aw和B（b,f（b））之间是连续曲线［包括点A和点B］・条件（2）说明曲线y=f⑴在A,B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线［不包括点A和B］条件（3）说明曲线y=f（x）在端点A和B处纵坐标相等。结论说明曲线y=f（x）在A点和B点之间［不包括点A和B］至少有一点，它的切线平行于

轴。注意：构造辅助函数时，可考虑以下形式(1)F(x)=xkf(x)(加法)⑵"乎(加法)(3)F(Q=/⑴才(函数加导数)【例1】设/⑴在［0,3］上连续，在(0,3)内可导,且/(0)+/(1)+/(2)=3,/⑶=1,试证：必存在^(0,3),使八沪0。证 ・・・/⑴在［0,3］上连续，⑴在［0,2］上连续,且有最大值M且有最大值M和最小值加,于是m</(0)<Afm</(l)<M； m<f(2)<M9故建<j[f(0)+f(l)+f(2)]<Mo由连续函数介值定理可知，至少存在一点cw[0,2]9使得/(c)=|[/(0)+/(l)+/(2)]=l因此/(c)=/(3),且/⑴在[c,3]上连续，(c,3)内可导，由罗尔定理得出必存在^(c,3).(0,3),使得f(g)=0°【例2】设f(X)在I。,i］上连续，在(oi)内可导，且3卜f(x)dx=f(0)•23求证：存在0,1使f0证由积分中值定理可知，存在2'c ' c3使得J1f(x)dx=f(c)f1--] w23得到k 3丿f(c)=3J1f(x)dx=f(0)23对f(x)在［。,』上用罗尔定理(三个条件都满足),故存在0,c(0,1),使f 0【例3】卩7)设函数f(x)J*在点］上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b)9 ”，使得f“点)=g，，点)0分析：令F(x) (a,b)可导，在题设条件下，要证存在淞(讪，f乜)二0。已知F(a)=F(b)=0，只需由题设再证玄e(a,b)，

F(c)=0证明：由题设 ，3xg(a,b),M=F(c)=0证明：由题设 ，3xg(a,b),M=maxf(x)=f(x)1 [a,b] 13xg(a,b),M=maxg(x)=g(x)

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若x=x，取:=x=x，则F(c)=0。12x丰x12c=x=x12，不妨设x<x12，则F(x)=f(x)-g(x)>0,1113cg［x,x］9 F(c)=012由F(a)=F(c)=F(b)=0，对F(x)分别在［a,c］和［c,b］用罗尔定理 ，使得 。疋理n也g(a,c),北2g(c,b)，使得F佗)=F®=0。再对F，(x)用罗尔定理齐点上)u(a,b)，使得12F〃忆)=0，即f农)=g农)。二、拉格朗日中值定理设函数f(x)满足o\(2)在开区间(a,小内可导。则存在ib)，使得f(b)-o\(2)在开区间(a,小内可导。则存在ib)，使得f(b)-f(a)=广Q或写成f(b)-f(a)=f《)(b-a)(a<^<b)

月昭 血f6佔)_f(%)=广(x/Ax)Ax(0<0<1)000这里x相当a或b都可以，心可正可负。几何意义：条件(1)说明曲线y=f(x)在点A(af(a))和点BC,f(b))之间［包括点A和点B］是连续曲线。条件(2)说明曲线y=f(%)［不包括点A和点B］是光滑曲线。结论说明曲线y=f(J在A、B之间［不包括点A和点B］至少有一点，它的切线与割线AB是平行的。推论1若f(x)在(ab)内可导，且f，(x)三0，则f(x)在(a,b)内为常数。推论2若f(%)，g(%)在-)内皆可导，且广(亠g(x)，则在(a,b)内f(x)=g(x)+c，其中c为一个常数。推论3设f(x)，g(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，则f(xf(x)=g(x)(xe[a,b])of'(x)=g'(x),xe(a,b)3xe[a,b],f(x)=g(x)000(注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当/(»(b)时的特殊情形，就是罗尔定理)【例1】设不恒为常数的函数f(丿在上连续，(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，证明(a,b)内至少有一点&，使得徒)〉°・证 由题意可知存在c(a,b)使得f(cf(a)=f(b)如果f(c)>f(a)，则f(x)在hc］上用拉格朗日中值定理存在c)，使f处)=f(c)-f(a)>o1 1c-a，使广of(b)-f(c)>o，2 b-c使得f©>°成立.f(O)o，证明对任意x0，，使广of(b)-f(c)>o，2 b-c使得f©>°成立.f(O)o，证明对任意x0，因此，必有(a,b)，【例2】设")<0x0恒有2〉f(专勺fWf(X2)，由拉格朗日中值定理X1X2〉证+，由拉格朗日中值定理X1X2f(X1)f(X1)f(X1)f(0) (X1 0)f(1)，f(XlX2)f(X2) (Xl X2)算fj而可知31七01x1x，从2X2舟Xi+—f3o，丁f(X)单调减少,这样由①②两式可知<因此，f(x1x2)f(x1)f(x2)【例3】(04)设e<a十b<e2<+于是f(1)f(2)f(X]x2)&(痴)Ef(xl)成立.>+-，证明i「 4“、ln2b-ln2a> (b-a)e2分析：即证ln2b-ln2a>4，符合拉格朗日中值(b-a) e2定理。证明：令f(X)=ln2X，在［a,b］上用拉格朗日中值定理得f(b)-f(a)=ln2b-ln2a=脛)=2ln，b-abb-ab-a其中耙(a,b)u(e,e2)。注意到.(x)=叱X则0(X)=1-lnx<0(X>eU申(X)在(e,+<x))单调下降X2lng/、lne2 2，因 ln2b-ln2a4。K(g)= >p(e2)= = > -g e2 e2 (b-a) e2解法二引入辅助函数，利用函数单调性三、柯西中值定理设函数f(x)和g(x)满足：在闭区间［a,b］上皆连续；在开区间(a,)内皆可导且gS0。则存在4)使得f(b)_f(a)=f(g)g(b)-g(a)gO注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g(宀兀时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理)几何意义：考虑曲线AB的参数方程x二g(t)x二g(t)tG[y二f(t)[a,b]，点A(g(a),f(a))，点B(g(b),f(b))曲线AB上值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，,用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。【例1】设f(x)在上连续，(a,b)内可导,且b>a>0，证明：存在⑺劝，(a,b)使f()-b心22 'c证 考虑柯西中值定理(g(x)待定).ef fbfafbag/ gbgag/bga最后一步是把分子用拉格朗日中值定理.再把欲证的结论变形：-f f fba两式比较，看出令类似地，欲证2ab/b2a2两式比较，看出令类似地，欲证"2即可.gxx2-gx x3b2aba2f，gx x3即可r]= ・*四、泰勒定理（泰勒公式）

定理1(皮亚诺余项的n阶泰勒公式)设⑺在尢处有n阶导数，则有公式0f(x)f(x)=f(x)+0兽(x-讣哮(x-x0)2+f(n)(x)(+ 0x—xn! 0)n+R(x)n其中R其中R(x)=o「(x—x)](xn L 0 _(xTx)0Tx)称为皮亚诺余项。0limJxTxlimJxTxoR(x)0前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n，所以对常用的初等函数如ex,sinx,cosx,ln(l+x)和(1+x)a(a为实常数)等的n阶泰勒公式都要熟记。定理2(拉格朗日余项的n阶泰勒公式)设f(x)在包含x的区间(a,b)内有n+1阶导数,0在bb］上有n阶连续导数，则对x虬,b］，有公式f(x)f(x)=f(x)+0兽(x—讣哮(x—xo)2+f(n)(x)(+ 0x—xn! 0)n+R(x)n其中R(宀曾(x—x沟J在x与x之间)称为拉格n (n+1)! 0 0朗日余项

上面展开式称为以x为中心的n阶泰勒公xn式。当x=0时，也称为n阶麦克劳林公式。如果limR(x)=0，那么泰勒公式就转化为泰勒n级数，这在后面无穷级数中再讨论。【例1】设函数f(x)在［01］上二阶可导，且f(0)=f,(0)=f,(1)=0，f(1)=1•求证：存在0,1，使得|f()|4证 先把烈x)在x°处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式f(x)=f(0)+广(0)x+厂(\片2 (0<%<x)再把f(x)在x1处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式f(x)=f(1)+f,(1)(x一1)+-f〃(g)(x-02 (x<g<1)2!22在上面两个公式中皆取x 1则得22丿81(02丿81