期权定价的二项式方法

期权定价的二项式方法

1).定价原理2).二项式定价的基本过程3).期权定价的二项式公式4).二项式定价公式推导5).美式期权的定价1).定价原理无套利定价原理:

具有相同收益不同头寸的价格应该相同。在到期日现金流完全相同的两个组合，它们期初的现金流必定也完全相同(债券期货为例).期权在到期日的执行与否是不确定的，这种不确定性使得在到期日的收益变得不确定,因而难于直接利用无套利原理对期权进行定价。

克服困难不确定性,以便采用无套利原理对期权进行定价:

二项式定价方法，布莱克—舒尔斯定价方法,蒙特卡罗模拟法。二项式方法(二叉树方法)把整个持有期分成若干个时间区间,并假定在每个时间区间内股票的价格只有上升和下降两种状态,且价格上升和下降的百分比也已知,这样可以得出股票在期权到期日有限个确定的价格状态,从而克服了不确定性.期权的价格就可以利用无套利原理从这有限个确定的股票价格(期权的收益)来进行估计.表面看把股票价格的变动只有两种可能,现实中,股票价格可是千变万化.不过我们可以通过增加期数来扩大股票价格变动的范围.时间区间分得越小,在到期日确定的股票价格状态越多,计算越复杂,所得期权价格估计越接近于真实的价格.2).二项式定价的基本过程

设有这样一个以某股票为标的资产的3月期欧式买入期权，股票现行的市场价格为30元，期权确定的执行价格为31元。设已知3个月后股票价格要么上升10%，要么下降10%，市场的无风险利率为10%(年利率)，试确定该期权的价格。股票价格树:给出股票在不同阶段不同状态确定的价格.期权价值树:根据股票在不同阶段不同状态确定的价格以及期权确定的执行价格,给出期权在相应状态的价值,其在初始状态的价值就是要确定的期权价格.无风险收益树:无风险资产在不同阶段不同状态的价格,这是进行无套利定价的标准.303327(a)股票价格树11.0251.025(c)无风险收益树?20(b)期权价值树无风险资产在每个阶段的收益率应该根据无风险资产的年收益率及每个阶段的时间长度来确定.在本例中,每阶段无风险资产的收益率为10%/4=0.025确定期权的价格无套利定价:考虑组合买入A股该股票和卖出该股票的一份买入期权组成。要求组合在期权到期日的收益无论股票价格是升还是降都应同无风险投资的收益相等。

买权未来价值是不确定的,有风险.买权和股票组合可以消除这种风险.同时来考虑是否能从中找到期权的价值.如果按比例持有股票和卖出相应的期权,股票上涨的收益可能被期权的损失弥补首先确定应买入的股票数A使得组合在期末的收益在两种状态(价升或价降)下都相同。如果股票价格上升至33元，组合在到期日的价值为，其中2是期权被执行后投资者的付出；如果股票价格下降至27元，期权不被执行，组合的价值为。在到期日这两个值应相等，且应等于无风险投资的收益。

令，解之得，即该组合应由买入1/3股该股票和卖出一份该股票的买入期权组成。无论股票的价格是升还是降，组合在期末的价值根据无套利原原理，这就要要求无风险投投资在期末的的收益同为9元，因而期期初用于无风风险投资的资资金应为这也应该是期期初用于投资资组合的资金金，由此得买入期权的价价格应该定为为1.22元元3).期权权定价的二项项式公式符号:股票在期初的的价格,期权确定的执执行价格,股票价格在单单个时间阶段段内的上升因因子股票价格在单单个时间阶段段内的下降因因子(-)期权在股票价价格上升状态态下的收益期权在股票价价格下降状态态下的收益年无风险收益益率期权的期限期权在股票价价格上升状态态下的收益期权在股票价价格下降状态态下的收益构建一个组合合，买入A股股票，卖出出一份买入期期权组成，要要求在期权到到期日无论何何种情况出现现，组合的价价值相同根据无套利原原理,买入期期权的价格C应满足方程将A代入得市场的上升状状态价格因子子市场的下降状状态价格因子子上升状态价格格因子和下降降状态价格因因子仅同股票票价格在每个个阶段的上升升因子、下降降因子、期权权有效期(每每个时段)的的长短以及期期权有效期内内的无风险收收益率有关，，而同股票价价格和期权确确定的执行价价格无关。对上述例子的的应用在期权价值树树上进行计算算C1.22200.36420.61111计算期权价格格的价格树(二叉树)四个时段的情情形考虑以某一股股票为标的资资产、执行期期限为T的买入期权，，设股票的现现行价格为元元，，期权确定的的执行价格为为。。设把期权的的有效期分为为时间相同的的4个阶段，，预计股票价价格在每阶段段要么上升10%，要么么下降5%，，每阶段内无无风险收益率率为5%,确确定期权的的价格.生成股票价格格树606672.679.8687.8465754.1562.751.442568.9759.56548.870465.521575.86756.5868股票价格树到第四阶段末末，即期权的的到期日，股股票价格已经经有5个状态态。如果我们们把整个有效效期分成n个阶段，那么么到期权的到到期日(最后后一个阶段末末)，股票价价格将有n+1个可能的的状态。计算相关数据据根据期权确定定的执行价格格以及股票在在最后阶段不不同状态的价价格，计算期期权在最后阶阶段各状态的的价值.7.5710.313.7918.0322.8463.080.224.690.07.140.3300.521510.8670计算期权在不不同状态的价价值期权价格树4).二项项式定价公式式推导对于第3阶段段各状态的期期权价值有对于第2阶段段各状态期权权价值有对于第1阶段段各状态的期期权价值有期初的价值(期权的价格格)把持有期分成成n个相同时段的的情形假定每阶段内内股票价格上上升或下降的的因子相同,无风险收收益率相同.欧式卖出期权权的二项式定定价公式例7：计算在在下列股票上上执行期限为为一年的欧式式买入和卖出出期权的价格格，已知该股股票的现行价价格为60元元，无风险年年收益率为5%，买入期期权的执行价价格为62元元，卖出期权权确定的执行行价格为61元。设把执执行期限等分分为两个阶段段，经估计得得每阶段股票票价格要么上上升8%，要要么下降4%。首先计算相相关参数对于买入期权权对于卖出期权权参数计算的简简化设每个阶段的的无风险收益益率则有在一般情况下下，假定无风风险收益率是是几何收益率率，则无风险险资产在每个个时段的收益益率为为每个时段的的时间长度又可设股票价价格的上升与与下降幅度完完全由其价格格的波动率确确定，则价格格在每个时段段的上升因子子和下降因子子为分别将它们代代入得例:右表给出出了某股票过过去15周(包括本周)的收盘价.现在有一以以该股票为标标的资产,期期限为3个月月(13周),执行价格格为7.5元元的欧式买入入期权,已知知无风险资产产的年收益率率为6%,试试把期限分成成13个时段段,用二项式式方法计算该该期权的价格格.计算过程:(1)先估计计股票价格的的波动性,(2)计算算二项式公式式中的上升状状态因子和下下降状态因子子,(3)计算股股票在期权到到期日各状态态的价格,以以及期权在到到期日各状态态的价值,(4)利用用二项式公式式计算期权的的价格.计算结果5).美式式期权的定价价买入期权:用欧式买入期期权的定价公公式或方法.卖出期权:由于在某些状状态下，提前前执行会优于于继续持有期期权，因此在在美式卖出期期权定价的价价格树上需要要确定期权在在每一个结点点状态的价值值时都要对持持有期权的价价值和执行期期权的价值加加以比较，并并选取其中的的大者作为期期权在该结点点的价值.表示期权在时时间t的某状态结点点处的价值期权在该状态态结点的市场场价值，即持持有期权的价值期权在该结点点的右端上方方相邻结点的的价值期权在该结点点的右端下方方相邻结点的的价值期权在该结点点提前执行的的价值上述三式结合合得出期权在在期权价格树树上某结点处处的价值美式卖出期权权定价的例:606672.65754.1562.7二阶段股票价价格树0.000.006.850.004.0

1.47美式卖出期权权价格树谢谢1月-2301:28:5901:2801:281月-231月-2301:2801:2801:28:591月-231月-2301:28:592023/1/61:28:599、静夜夜四无无邻，，荒居居旧业业贫。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中中黄叶叶树，，灯下下白头头人。。。01:28:5901:28:5901:281/6/20231:28:59AM11、以我独沈沈久，愧君君相见频。。。1月-2301:28:5901:28Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。01:28:5901:28:5901:28Friday,January6,202313、乍见翻疑疑梦，相悲悲各问年。。。1月-231月-2301:28:5901:28:59January6,202314、他乡生白发发，旧国见青青山。。06一月20231:28:59上午01:28:591月-2315、比比不不了了得得就就不不比比，，得得不不到到的的就就不不要要。。。。。一月月231:28上上午午1月月-2301:28January6,202316、行动动出成成果，，工作作出财财富。。。2023/1/61:28:5901:28:5906January202317、做前，能能够环视四四周；做时时，你只能能或者最好好沿着以脚脚为起点的的射线向前前。。1:28:59上上午1:28上上午01:28:591月-239、没有失败，，只有暂时停停止成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有结结果果，，但但是是不不努努力力却却什什么么改改变变也也没没有有。。。。01:29:0001:29:0001:291/6/20231:29:00AM11、成功就是是日复一日日那一点点点小小努力力的积累。。。1月-2301:29:0001:29Jan-2306-Jan-2312、世间成事，，不求其绝对对圆满，留一一份不足，可可得无限完美美。。01:29:0001:29:0001:29Friday,January6,202313、不知香香积寺，，数里入入云峰。。。1月-231月-2301:29:0001:29:00January6,202314、意志坚强的的人能把世界界放在手中像像泥块一样任任意揉捏。06一月20231:29:00上午01:29:001月-2315、楚塞三湘接接，荆门九派派通。。。一月231:29上上午1月-2301:29January6,202316、少年年十五五二十十时，，步行行夺得得胡马马骑。。。2023/1/61:29:0001:29:0006January202317、空山新新雨后，，天气晚晚来秋。。。1:29:00上午午1:29上午午01:29:001月-239、杨杨柳柳散散和和风风，，青青山山澹澹吾吾虑虑。。。。1月月-231月月-23Friday,January6,202310、阅读一切好好书如同和过过去最杰出的的人谈话。01:29:0001:29:0001:291/6/20231:29:00AM11、越是没没有本领领的就越越加自命命不凡。。1月-2301:29:0001:29Jan-2306-Jan-2312、越是无能的的人，越喜欢欢挑剔别人的的错儿。01:29:0001:2