高一数学暑假复习资料20讲

...wd......wd......wd...课题1函数及其表示一、课时目标1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．二、主要知识点1．函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素：．(3)函数的表示法：．(4)两个函数只有当都分别一样时，这两个函数才一样．2．分段函数在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．三、经典例题题型一函数与映射的概念【例1】以下对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数①A＝N，B＝Q，f：a→b＝eq\f(1,a＋1)；②A＝{x|x＝n，n∈N*}，B＝{y|y＝eq\f(1,n)，n∈N*}，f：x→y＝eq\f(1,a)；③A＝{x|x≥0，x∈R}，B＝R，f：x→y，y2＝x；④A＝{平面M内的矩形}，B＝{平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．【探究1】(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A、B为非空数集时，即成为函数．(3)高考对映射的考察往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时【变式1】(1)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，以下不表示从A到B的函数的是()A．f：x→y＝eq\f(1,2)x B．f：x→y＝eq\f(1,3)xC．f：x→y＝eq\f(2,3)x D．f：x→y＝eq\r(x)(2)设a在映射f下的象为2a＋a，那么20在映射f下的原象为________【例2】以下给出的同组函数中，是否表示同一函数为什么(1)f1：y＝eq\f(x,x)；f2：y＝1.(2)f1：y＝|x|；f2：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，,－x，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x<0.))(3)f1：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2.))f2：xx≤11<x<2x≥2y123(4)f1：y＝2x；f2：如以下列图．【探究2】(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法那么一样，那么值域一定一样．(2)两个函数当且仅当定义域和对应法那么一样时，是一样函数．【变式2】以下各对函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgxB．y＝f(x)与y＝f(x＋1)C．f(u)＝eq\r(\f(1＋u,1－u))，g(v)＝eq\r(\f(1＋v,1－v))D．f(x)＝x，g(x)＝eq\r(x2)题型二函数的解析式【例3】求以下函数的解析式：(1)f(x)是一次函数，并且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)；(2)f(2x＋1)＝4x2＋8x＋3，求f(x)；(3)f(x＋eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)－3，求f(x)；(4)f(x)－2f(eq\f(1,x))＝3x＋2，求f(x)．【探究3】函数解析式的求法(1)凑配法：由条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：假设函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)方程思想：关于f(x)与f(eq\f(1,x))或f(－x)等的表达式，可根据条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．【变式3】(1)f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)的解析式．(2)f(x－2)＝2x2－9x＋13，求f(x)的解析式．(3)假设函数f(x)满足f(x)＋2f(1－x)＝x，那么f(x)的解析式为____．题型三分段函数与复合函数【例4】函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x∈－∞，0，,x2，x∈[0，＋∞.))g(x)＝x＋1，求：(1)g[f(x)]；(2)f[g(x)]．探究4分段函数、复合函数是高考热点，分段函数表达在不同定义域的子集上，对应法那么不同，因此注意选择法那么，而复合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量，因此要注意复合函数定义域的变化．【变式4】(1)(2013·北京)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x，x≥1，,2x，x<1))的值域为________．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4x≤4，,－log2x＋1x>4，))假设f(a)＝eq\f(1,8)，那么f[f(a＋6)]＝________.题型四抽象函数【例5】偶函数f(x)，对任意的x1，x2∈R恒有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋2x1x2＋1，那么函数f(x)的解析式为________．【探究5】抽象函数问题的处理一般有两种途径：(1)看其性质符合哪类具体函数形式，用具体函数代替抽象解决问题．(2)利用特殊值代入寻求规律和解法．【变式5】设f(x)是R上的函数，且f(0)＝1，对任意x，y∈R恒有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的表达式．四、本课总结1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！2．函数问题定义域优先！3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！4．分段函数分段算，然后并到一起保安全．五、课堂作业1．f()＝eq\f(1,x)，那么f(1)＝________.2．电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3min收费0.2元；超过3min以后，每增加1min收费0.1元，缺乏1min按1min计费，那么通话收费s(元)与通话时间t(min)的函数图像可表示为图中()3．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,－x，x>1，))假设f(x)＝2，那么x等于()A．log32 B．－2C．log32或－2 D．24．集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{0,1,2}，给出以下四个对应法那么：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝2x，④y＝log2|x|，其中能构成从M到N的函数的是________．5．f(x－eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)，那么f(3)＝______.6．如以下列图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，那么f(f(0))＝________.课题2函数的定义域与值域一、课时目标1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解简单的分段函数，并能简单应用．二、主要知识点1．函数的定义域(1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)(2)基本初等函数的定义域：①整式函数的定义域为.②分式函数中分母.③偶次根式函数被开方式.④一次函数、二次函数的定义域均为.⑤函数f(x)＝x0的定义域为．⑥指数函数的定义域为.对数函数的定义域为．2．函数的值域基本初等函数的值域：(1)y＝＋b(k≠0)的值域是.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为．(3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是．(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是．(5)y＝(a>0且a≠1)的值域是.三、经典例题题型一函数的定义域【例1】(1)函数y＝eq\f(1,\r(log0.5x－1))的定义域为________．(2)函数y＝eq\f(1,\r(logax－1))(a>0且a≠1)的定义域为________．(3)函数f(x)＝eq\f(\r(x＋2x2),lg|x|－x)的定义域为________．【探究1】(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．【变式1】求函数y＝eq\r(25－x2)＋的定义域．【例2】y＝f(x)的定义域为[1,2]，求y＝f(3x－1)的定义域．y＝f(log2x)的定义域为[1,2]，求y＝f(x)的定义域．【探究2】(1)假设y＝f(x)的定义域为[a，b]，那么y＝f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出．假设y＝f[g(x)]的定义域为[a，b]，那么y＝f(x)的定义域即为g(x)的值域．【变式2】(1)(2013·大纲全国)函数f(x)的定义域为(－1,0)，那么函数f(2x＋1)的定义域为________．(2)假设函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域．题型二函数的值域【例3】求以下函数的值域：y＝eq\f(1－x2,1＋x2)；(2)y＝eq\r(－2x2＋x＋3)；(3)y＝x＋eq\f(1,x)＋1；(4)y＝x－eq\r(1－2x)；(5)y＝x＋eq\r(4－x2)；(6)y＝|x＋1|＋|x－2|.【探究3】求函数值域的一般方法有：①别离常数法；②反解法；③配方法；④不等式法；⑤单调性法；⑥换元法．【变式3】(1)函数的值域为()A．(－∞，eq\f(1,2)] B．[eq\f(1,2)，1]C．[eq\f(1,2)，1) D．[eq\f(1,2)，＋∞)(2)函数y＝eq\f(2－sinx,2＋sinx)的值域是________．(3)函数y＝eq\f(x2＋x＋1,x＋1)的值域为________．题型三函数定义域与值域的应用【例4】函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．(1)假设f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)假设f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．【探究4】值域求参数的值或范围是值域应用中的一类比较典型的题目．【变式4】函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6，x∈R.(1)假设函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)假设函数的值域为非负数集，求函数f(a)＝2－a|a＋3|的值域．四、本课总结求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的构造特征来选择对应的方法求解，因此，对函数解析式构造特征的分析是十分重要的．常见函数解析式的构造模型与对应求解方法可归纳为：1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0)可用换元法．2．形如y＝eq\f(a1x2＋b1x＋c1,a2x2＋b2x＋c2)(其中a1，a2不全为0且a2x2＋b2x＋c2≠0)的函数可用判别式法．3．形如y＝ax＋b±eq\r(cx＋d)(a、b、c、d为常数，ac≠0)的函数，可用换元法或配方法．4．形如y＝eq\f(ax＋b,cx＋d)(c≠0)或y＝eq\f(2x－1,2x＋1)或y＝eq\f(sinx－1,sinx＋2)的函数，可用反函数法或别离常数法．5．形如y＝x＋eq\f(k,x)(k>0，x>0)的函数可用图像法或均值不等式法．6．对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如y＝|x－1|＋|x＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法．7．定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值，其解题程序为第一步求导，第二步求出极值及端点函数值，第三步求最大、最小值．五、课堂作业1．函数的定义域是()A．(－3，＋∞) B．[－2，＋∞)C．(－3，－2) D．(－∞，－2]2．(2013·山东)函数f(x)＝eq\r(1－2x)＋eq\f(1,\r(x＋3))的定义域为()A．(－3,0] B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]3．对函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)作x＝h(t)的代换，那么总不改变函数f(x)的值域的代换是()A．h(t)＝10t B．h(t)＝t2C．h(t)＝ D．h(t)＝log2t4．函数y＝eq\f(\r(4,x2－3x－43),|x＋1|－2)的定义域为________．5．函数y＝eq\f(10x＋10－x,10x－10－x)的值域为________．课题3函数的单调性和最值一、课时目标1．理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用函数图像理解和研究函数的性质．3．会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义．二、主要知识点1．单调性定义(1)单调性定义：给定区间D上的函数y＝f(x)，假设对于∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)f(x2)，那么f(x)为区间D上的增函数，否那么为区间D上的减函数．单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间．(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手．①利用定义证明单调性的一般步骤是a.∀x1，x2∈D，且，b.计算并判断符号，c.结论．②设y＝f(x)在某区间内可导，假设f′(x)0，那么f(x)为增函数，假设f′(x)0，那么f(x)为减函数．2．与单调性有关的结论(1)假设f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，那么f(x)＋g(x)为某区间上的函数．(2)假设f(x)为增(减)函数，那么－f(x)为函数．(3)y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，假设f(x)与g(x)的单调性一样，那么y＝f[g(x)]是．假设f(x)与g(x)的单调性相反，那么y＝f[g(x)]是．(4)奇函数在对称区间上的单调性，偶函数在对称区间上的单调性．(5)假设函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，那么f(x)的最大值为，最小值为，值域为．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有，②存在x0∈I，使得，那么称M是函数y＝f(x)的最大值；类比定义y＝f(x)的最小值．三、经典例题题型一单调性的判断与证明【例1】判断函数f(x)＝eq\f(ax,x2－1)(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．【探究1】(1)判断函数的单调性有三种方法：①图像法；②利用函数的单调性；③定义法．(2)证明函数的单调性有两种方法：①定义法；②导数法．【变式1】设函数f(x)＝2x＋a·2－x－1(a为实数)．假设a<0，用函数单调性定义证明：y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．题型二求函数的单调区间例2求以下函数的单调区间．f(x)＝－x2＋2|x|＋3；(2)f(x)＝logeq\f(1,2)(－x2－2x＋3)；〔4〕y＝3x2－6lnx.【探究2】求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用函数的单调性，即转化为函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间．4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减〞．(6)求函数单调区间，定义域优先．【变式1】求以下函数的单调区间．(1)f(x)＝eq\f(1,\r(3－2x－x2))；(2)f(x)＝logeq\f(1,2)(－x2＋4x＋5)；(3)y＝x－(x－1)．题型三利用单调性求最值【例3】求函数f(x)＝x－eq\f(1,x)在[1,3]上的最值．【探究3】(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)函数的最值与单调性的关系假设函数在闭区间[a，b]上是减函数，那么f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；假设函数在闭区间[a，b]上是增函数，那么f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．【变式3】f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝eq\f(1,2)时，求函数f(x)的最小值；(2)假设对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．题型四单调性的应用【例4】(1)函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，那么满足f(x2＋2x＋3)<f(6)的x的取值范围为________．(2)函数y＝(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，那么a的取值范围是________．【探究4】单调性求参数值或利用单调性解不等式是高考中热点，主要表达对性质的应用．【变式4】(1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－ax＋1，x<1，,ax，x≥1))是R上的增函数，那么a的取值范围是________．f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在其上为增函数，满足f()＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1，试解不等式f(x)＋f(x－2)＜3.四、本课总结1．单调区间是定义域的子区间，求单调区间、定义域优先．2．熟记各基本初等函数的单调区间，是求单调区间的前提、根基．3．对于对勾函数y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)，单调增区间：(－∞，－eq\r(a)]，[eq\r(a)，＋∞)；单调减区间：[－eq\r(a)，0)，(0，eq\r(a)]．4．函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，〞隔开，不能用“∪〞符号连接．5．假设f(x)具有对称轴x＝a，那么在x＝a两侧的对称区间上f(x)具有相反的单调性；假设f(x)具有对称中心(a，b)，那么在x＝a两侧的对称区间上f(x)具有一样的单调性．6．函数图像的平移不影响单调性；其中左右平移能改变单调区间，上下平移不改变单调区间．自助专题求函数最值的常用方法1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法．【例1】函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．2.换元法【例2】(1)函数f(x)＝x＋2eq\r(1－x)的最大值为________．求函数y＝x－eq\r(4－x2)的值域．3.不等式法【例3】设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，那么eq\f(y2,xz)的最小值为________．4.单调性法【例4】设a>1，函数f(x)＝在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为eq\f(1,2)，那么a＝________.5.平方法【例5】函数y＝eq\r(1－x)＋eq\r(x＋3)的最大值为M，最小值为m，那么eq\f(m,M)的值为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)6.数形结合法【例7】对a，b∈R，记max|a，b|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b，))函数f(x)＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________．五、课堂作业1．以下函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是()A．y＝1－x2 B．y＝x2＋xC．y＝－eq\r(－x) D．y＝eq\f(x,x－1)2．假设f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是()A．a<－3 B．a≤－3C．a>－3 D．a≥－33．假设函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，假设a＋b>0，那么有()A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)4．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是()A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，－1)5．给出以下命题①y＝eq\f(1,x)在定义域内为减函数；②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y＝－eq\f(1,x)在(－∞，0)上为增函数；④y＝kx不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．课题4函数的奇偶性一、课时目标1.了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2.掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．二、主要知识点1．奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性．2．证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于对称；(2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数．3．奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于对称，偶函数图像关于对称；(2)假设奇函数f(x)在x＝0处有意义，那么f(0)＝；(3)假设奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，那么其单调性；假设偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，那么其单调性．(4)假设函数f(x)为偶函数，那么f(x)＝f(|x|)，反之也成立．4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)＝ax＋a－x为函数，函数f(x)＝ax－a－x为函数；(2)函数f(x)＝eq\f(ax－a－x,ax＋a－x)＝eq\f(a2x－1,a2x＋1)(a>0且a≠1)为函数；(3)函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)为函数；(4)函数f(x)＝(x＋eq\r(x2＋1))为函数．5．周期函数假设f(x)对于定义域中任意x均有(T为不等于0的常数)，那么f(x)为周期函数．6．函数的对称性假设f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，那么函数f(x)关于对称．三、经典例题题型一：判断函数的奇偶性【例1】判断以下函数的奇偶性，并证明．f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝x3＋x＋1；f(x)＝x2－|x|＋1x∈[－1,4]；(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(5)f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2)；(6)f(x)＝(x－1)eq\r(\f(1＋x,1－x))x∈(－1,1)．【探究1】判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：假设函数的定义域不是关于原点对称的区间，那么立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；假设函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f(x)．(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)【变式】1判断以下函数的奇偶性．f(x)＝eq\f(2－x,2＋x)；(2)f(x)＝eq\f(1,ax－1)＋eq\f(1,2)(a>0，且a≠1)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2xx≥0，,x2＋2xx＜0.))题型二奇偶性的应用【例2】(1)函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为__________________________．(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1)时f(x)为增函数，那么不等式f(x)＋f(x－eq\f(1,2))＜0的解集为__________．(3)函数f(x＋1)为偶函数，那么函数f(x)的图像的对称轴方程为__________．【探究2】奇偶函数的性质主要表达在：(1)假设f(x)为奇函数，那么f(－x)＝－f(x)；假设f(x)为偶函数，那么f(－x)＝f(x)．(2)奇偶函数的对称性．(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．【变式2】(1)假设函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f(π)<f(a)的实数a的取值范围是________．(2)函数y＝f(x－2)为奇函数，那么函数y＝f(x)的图像的对称中心为__________．题型三函数的周期性【例3】设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论．【探究3】(1)证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义．假设函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(x＋b)，那么f(x)为周期函数，假设函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(b－x)，那么函数图像为轴对称图形．【变式3】(1)f(x)是定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期性．(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R均满足f(x)＝－eq\f(1,fx＋1)，试判断函数f(x)的周期性．【例4】(2014·衡水中学调研卷)函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图像关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．【变式4】f(x)为偶函数，且f(－1－x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，求x∈[5,7]时，f(x)的解析式．四、本课总结常用结论记心中，快速解题特轻松：1．(1)假设f(x)定义域不对称，那么f(x)不具有奇偶性．(2)假设f(x)为奇函数，且在x＝0处有定义，那么f(0)＝0.(3)假设f(x)为偶函数，那么f(|x|)＝f(x)．2．(1)任意一个定义域关于零点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)和的形式，那么g(x)＝eq\f(fx－f－x,2)，h(x)＝eq\f(fx＋f－x,2).(2)假设函数y＝f(x)的定义域关于原点对称，那么f(x)＋f(－x)为偶函数，f(x)－f(－x)为奇函数，f(x)·f(－x)为偶函数．3．函数f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)⇔f(2a－x)＝f(x)．4．(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)周期T＝2a.(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，那么f(x)周期T＝2a.5．(1)假设f(x)关于x＝a，x＝b都对称，且a<b，那么f(x)是周期函数且T＝2(b－a)．(2)假设f(x)关于(a,0)，(b,0)都对称，且a<b，那么f(x)是周期函数，且T＝2(b－a)．(3)假设f(x)关于(a,0)及x＝b都对称，且a<b，那么f(x)是周期函数，且T＝4(b－a)．五、课堂作业1．(2012·天津)以下函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()A．y＝cos2x，x∈RB．y＝log2|x|，x∈R且x≠0C．y＝eq\f(ex－e－x,2)，x∈RD．y＝x3＋1，x∈R2．假设函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，那么以下坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图像上的是()A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))3．f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于()A．－x(1－x) B．x(1－x)C．－x(1＋x) D．x(1＋x)4．函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，假设f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[2,3]上是()A．增函数 B．减函数C．先增后减的函数 D．先减后增的函数5．(2013·重庆)函数f(x)＝ax3＋＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，那么f(lg(lg2))＝()A．－5 B．－1C．3 D．46．假设函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，那么实数a＝________.课题5二次函数一、课时目标1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．二、主要知识点1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；对称轴方程是；顶点为．(2)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)；对称轴方程是；与x轴的交点为．(3)顶点式：y＝a(x－k)2＋h；对称轴方程是；顶点为．2．二次函数的单调性当a>0时，上为增函数；在上为减函数；当a<0时，与之相反．3．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系(1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是方程的实根．(2)假设x1，x2为f(x)＝0的实根，那么f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1－x2|＝.(3)当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.4．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，那么二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况(1)假设－eq\f(b,2a)∈[m，n]，那么f(x)max＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(fm，fn))，f(x)min＝f(－eq\f(b,2a))．(2)假设－eq\f(b,2a)∉[m，n]，那么f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．5．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)实根的分布(1)方程有两个均小于常数k的不等实根的充要条件是.(2)方程有两个均大于常数k的不等实根的充要条件是.(3)方程有一个小于常数k和一个大于常数k的不等实根的充要条件是.(4)方程有位于区间(k1，k2)内的两个不等实根的充要条件是.(5)方程有两个不等实根x1<x2且k1<x1<k2<x2<k3的充要条件是.(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的一个充分条件是.三、经典例题题型一二次函数的解析式【例1】二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式．【探究1】根据条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式1】二次函数图像的顶点是(－2，eq\f(3,2))与x轴的两个交点之间的距离为6，那么这个二次函数的解析式为________．题型二二次函数的值域和最值【例2】求以下函数的值域：y＝x2＋4x－2，x∈R；(2)y＝x2＋4x－2，x∈[－5,0]；y＝x2＋4x－2，x∈[－6，－3]；(4)y＝x2＋4x－2，x∈[0,2]．【探究2】配方法：配方法是求“二次函数类〞值域的基本方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法．【变式2】求以下函数的值域：〔1〕y＝eq\r(－x2＋4x－1)；(2)y＝2－eq\r(4x－x2)(0≤x≤4)．【例3】f(x)＝x2＋ax＋3－a，假设x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．【探究3】(1)求二次函数f(x)在某区间[m，n]上的最值的关键是判断抛物线对称轴与区间[m，n]的位置关系，以便确定函数在该区间的单调性．此题中的对称轴为x＝－eq\f(a,2)，与区间[－2,2]的位置关系不确定，是造成分类讨论的原因．二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：①对称轴固定，区间固定；②对称轴变动，区间固定；③对称轴固定，区间变动．此类问题一般利用二次函数的图像及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论．【变式3】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．题型三一元二次根的分布情况【例4】(1)二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围．(2)方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．(3)二次方程mx2＋(2m－3)x＋4＝0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围．【探究4】一元二次方程根的分布的求法：(1)数形结合法．(2)韦达定理法．(3)求根公式法．具体问题中用哪种方法要视其过程是否复杂而定．【变式4】(1)二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．(2)关于x的方程(1－m2)x2＋2mx－1＝0有两个根，一个小于0，一个大于1，求m的范围．四、本课总结1．求二次函数的解析式常用待定系数法(如例1)．2．二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为y＝a(x＋m)2＋n的形式，得顶点(－m，n)和对称轴方程x＝－m，可分成三个类型．(1)顶点固定，区间也固定．(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外．(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数3．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的图像的顶点处取得．4．用数形结合法求根的分布问题一般需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x＝－eq\f(b,2a)与区间端点的关系．五、课堂作业1．某二次函数的图像与函数y＝2x2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，那么此函数的解析式为()A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋32．(2013·浙江)a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.假设f(0)＝f(4)>f(1)，那么()A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝03．二次函数y＝x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab的图像的顶点在x轴上，且a，b，c为△ABC的三边长，那么△ABC为________．4．设＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是()5．二次函数f(x)图像的对称轴是x＝x0，它在区间[a，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，那么()A．x0≥b B．x0≤aC．x0∈(a，b) D．x0∉(a，b)6．对一切实数x，假设不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，那么a的取值范围是()A．a≥－1 B．a≥0C．a≤3 D．a≤1课题6指数函数一、课时目标1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型．二、主要知识点1．有理数幂的运算性质(1)as·as＝.(2)(as)s＝.(3)(ab)r＝(其中a>0，b>0，r、s∈Q)．2．根式的运算性质(1)当n为奇数时，有eq\r(n,an)＝；当n为偶数时，有eq\r(n,an)＝.(2)负数的偶次方根．(3)零的任何次方根．3．指数函数的概念、图像和性质(1)形如(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数．(2)定义域为R，值域为．(3)当0<a<1时，y＝ax在定义域内是；当a>1时，y＝ax在定义域内是(单调性)；y＝ax的图像恒过定点．(4)当0<a<1时，假设x>0，那么ax∈；假设x<0，那么ax∈；当a>1时，假设x>0，那么ax∈；假设x<0，那么ax∈．三、经典例题题型一指数式的运算例1计算：【探究1】化简或计算指数式，要注意以下几点：(1)化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时要注意运算顺序问题．(2)计算结果的形式：假设题目以根式形式给出，那么结果用根式的形式表示；假设题目以分数指数幂形式给出，那么结果用分数指数幂的形式给出．(3)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(4)在条件求值问题中，一般先化简变形，创造条件简化运算而后再代入求值．【变式1】题型二指数函数的图像及应用【例2】(1)函数y＝(eq\f(1,3))|x＋1|.①作出图像；②由图像指出其单调区间；③由图像指出当x取什么值时有最值．、【探究2】利用指数函数的图像判断单调性、求最值、判断方程的解的个数等问题是学生应熟练掌握的基本功．【变式2】(1)(2012·四川)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图像可能是()(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解有一解有两解题型三指数函数的性质及运用【探究3】(1)研究函数的值域、单调区间应先求定义域．(2)求复合函数y＝f[g(x)]的值域应先求内层u＝g(x)的取值范围，再根据u的取值范围去求y＝f(u)的取值范围，即为所求．(3)求复合函数的单调区间应首先分清该复合函数是由哪几个基本函数复合而得．【变式3】求以下函数的定义域与值域．【例4】函数f(x)＝(eq\f(1,2x－1)＋eq\f(1,2))x.(1)求函数的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)求证：f(x)>0.【变式4】函数f(x)＝lgeq\f(1＋2x＋4xa,3)在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．四、本课总结1．在进展指数运算时要遵守运算法那么，防止“跟着感觉走〞．2．合理运用图像解决单调、方程、不等式问题．3．对f(x)＝ax的单调性要注意a>1和0<a<1两种情况.五、课堂作业1．以下等式eq\r(3,6a3)＝2a；eq\r(3,－2)＝eq\r(6,－22)；－3eq\r(4,2)＝eq\r(4,－34×2)中一定成立的有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个2．函数y＝eq\r(4－2x)的定义域是()A．(0,2] B．(－∞，2]C．(2，＋∞) D．[1，＋∞)3．以下函数中值域为正实数的是()A．y＝－5x B．y＝(eq\f(1,3))1－xC．y＝eq\r(\f(1,2)x－1) D．y＝eq\r(1－2x)4．f(x)＝2x＋2－x，假设f(a)＝3，那么f(2a)等于()A．5 B．7C．9 D．115．实数a，b满足等式(eq\f(1,2))a＝(eq\f(1,3))b，以下五个关系式①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b，哪些不可能成立课题7对数函数一、课时目标1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．2．理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性．二、主要知识点1．对数(1)对数的定义.(2)对数恒等式①＝(a>0且a≠1，N>0)．②＝(a>0且a≠1，b∈R)．(3)对数运算法那么(a>0且a≠1，M>0，N>0)①(M·N)＝.②eq\f(M,N)＝.③Mn＝.(4)换底公式N＝eq\f(logaN,logab)(a>0且a≠1，b>0且b≠1，N>0)．推论：①b·a＝.②b·c＝.③＝.④＝.2．对数函数(1)对数函数的概念函数y＝x(a>0且a≠1)叫做对数函数．(2)对数函数的图像(3)对数函数的性质①定义域为，值域为.②恒过定点(1,0)．③a>1时，y＝x在(0，＋∞)上为；0<a<1时，y＝x在(0，＋∞)上为．④当a>1，x>1时，x0；当a>1,0<x<1时，x0；当0<a<1,0<x<1时，x0；当0<a<1，x>1时，lx0.三、经典例题题型一对数式的运算【例1】(1)lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2；【探究1】在对数运算中，要注意以下几个问题：(1)在化简与运算中，一般先用幂的运算把底数或真数进展变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法那么化简合并．(2)ab＝N⇔b＝N(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化．【变式1】(1)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________.题型二对数大小的比较例2比较以下各组数的大小：log23.4，log28.5；(2)log67，log76；m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1；假设0<a<b<1，试确定b，a，logeq\f(1,b)a，logeq\f(1,a)b的大小关系．【探究2】(1)比较两个指数幂或对数值大小的方法：①分清是底数一样还是指数(真数)一样；②利用指数、对数函数的单调性或图像比较大小；③当底数、指数(真数)均不一样时，可通过中间量过渡处理．(2)多个指数幂或对数值比较大小时，可对它们先进展0,1分类，然后在每一类中比较大小．【变式2】(1)设a＝log3π，b＝log2eq\r(3)，c＝log3eq\r(2)，那么()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a(2)假设(π－3)<(π－3)<0，a、b是不等于1的正数，那么以下不等式中正确的选项是()A．b>a>1 B．a<b<1C．a>b>1 D．b<a<1题型三对数函数的图像【例3】(1)作出函数y＝log2|x＋1|的图像，由图像指出函数的单调区间，并说明它的图像可由函数y＝log2x的图像经过怎样的变换而得到．(2)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<x恒成立，那么a的取值范围是()A．(0,1) B．(1,2)C．(1,2] D．(0，eq\f(1,2))【探究3】(1)作一些复杂函数的图像，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图像变换过来．一般是先作出基本函数的图像，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图像．(2)对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可借助函数图像解决，具体做法是：对不等式变形，不等号两边对应两函数．在同一坐标系下作出两函数图像，比较当x在某一范围内取值时图像的上下位置及交点的个数，来确定参数的取值或解的情况．【变式3】(1)图中曲线C1，C2，C3，C4是函数y＝x的图像，那么曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次为()A．3,2，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)B．2,3，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．2,3，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)D．3,2，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)(2)函数f(x)＝(eq\f(1,3))x－log2x，假设实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，那么f(x1)()A．恒为负值 B．等于0C．恒为正值 D．不大于0题型四对数函数的性质及应用【例4】(1)求f(x)＝logeq\f(1,2)(3－2x－x2)的单调区间．函数f(x)＝x(a>0且a≠1)，如果对于任意x∈[3，＋∞)都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围．【探究4】关于形如f(x)的函数的单调性，有以下结论：函数y＝f(x)的单调性与函数u＝f(x)[f(x)>0]的单调性，当a>1时一样，当0<a<1时相反．【变式4】是否存在实数a，使得f(x)＝(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数假设存在，求出a的范围；假设不存在，说明理由．四、本课总结指数函数、对数函数在高中数学中占有重要位置，搞清这局部根基知识相当重要．〔1〕搞清指数函数与对数函数的关系：即二者互为反函数，因此，图像关于直线y＝x对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的．即a＞1时都为增函数，0＜a＜1时都为减函数．(2)比较指数函数、对数函数类型的数值间的大小关系是高考中常见题型．具体做法是：①底数一样指数不同时，要考虑指数函数的单调性；②底、指数都不同时要借助于中间值(如0或1)再不行可考虑商值(或差值)比较法；③对数函数型数值间的大小关系，底一样者考虑对数函数的单调性，底不同时可考虑中间值(如0或1)，或用换底公式化为同底．最后可考虑比较法．五、课堂作业1．(课本习题改编)对于a>0且a≠1，以下结论正确的选项是()①假设M＝N，那么M＝N；②假设M＝N，那么M＝N；③假设logaM2＝logaN2，那么M＝N；④假设M＝N，那么logaM2＝logaN2.A．①③ B．②④C．② D．①②④2．(1)假设loga3<π，那么a的范围是________．(2)假设log3a<a，那么a的范围是________．3．假设x∈(e－1,1)，a＝x，b＝2lnx，c＝ln3x，那么()A．a<b<c B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a4．(2011·安徽)假设点(a，b)在y＝x图像上，a≠1，那么以下点也在此图像上的是()A．(eq\f(1,a)，b) B．(10a,1－b)C．(eq\f(10,a)，b＋1) D．(a2,2b)5．(2013·浙江)x，y均为正实数，那么()A．＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．＝2lgx＋2lgy D．＝2lgx·2lgy课题8幂函数及其基本初等函数的应用一、课时目标1．幂函数的定义函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图像(如以以下列图)3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)有定义，并且图像都通过点．(2)如果α>0，那么幂函数的图像过原点，并且在区间[0，＋∞)上为．(3)如果α<0，那么幂函数图像在区间(0，＋∞)上是．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，图像在x轴上方无限地逼近x轴．(4)当α为奇数时，幂函数为，当α为偶数时，幂函数为．三、经典例题【例1】如图，为幂函数y＝在第一象限的图像，那么C1，C2，C3，C4的大小关系为()A．C1>C2>C3>C4B．C2>C1>C4>C3C．C1>C2>C4>C3D．C1>C4>C3>C2【探究1】幂函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否在第二、三象限内出现，要看奇偶性；在(0,1)上幂函数中指数愈大，函数图像愈靠近x轴(简记“指大图低〞)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴．【变式1】如图是幂函数y＝和y＝在第一象限内的图像，那么()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1题型二幂函数的性质【例2】比较以下各组数的大小．【探究2】利用幂函数的单调性比较大小要注意以下几点：(1)将要比较的两个数都写成同一个函数的函数值的形式．(2)构造的幂函数，要分析其单调性．(3)注意两个函数值要在同一个单调区间上取到．(4)假设直接不易比较大小，可构造中间值，间接比较其大小．【变式2】比较以下各组数的大小．【变式3】幂函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a＝________.题型三对数指数幂函数的应用【例4】将以下各数按从大到小的顺序排列：log89，log79，logeq\f(1,2)3，log2eq\f(1,2)9，(eq\f(1,2))3，(eq\f(1,2))π.【变式4】(1)以下大小关系正确的选项是()A．0.43<30.4<log40.3 B．0.43<log40.3<30.4C．log40.3<0.43<30.4 D．log40.3<30.4<0.43(2)假设loga2<logb2<0，那么以下结论正确的选项是()A．0<a<b<1 B．0<b<a<1C．a>b>1 D．b>a>1四、本课总结幂函数y＝的性质和图像，由于α的取值不同而比较复杂，一般可以从三方面考察：(1)α的正负：α>0时图像经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的局部“上升〞；α<0时图像不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的局部“下降〞．五、课堂作业1．当0<a<b<1时，以下不等式中正确的选项是()2．设a＝logeq\f(1,3)2，b＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，c＝(eq\f(1,2))0.3，那么()A．a<b<c B．a<c<bC．b<c<a D．b<a<c3．(2014·衡水调研)方程(eq\f(1,3))x＝|log3x|解的个数是()A．0 B．1C．2 D．34．实数a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，M＝2a＋2b，那么M的整数局部是()A．1 B．2C．3 D．45．容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg()来记录A菌个数的资料，其中为A菌的个数，那么以下判断中正确的选项是________．①PA≥1；②假设今天的PA值比昨天的PA值增加1，那么今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个；③假设科学家将B菌的个数控制在5万个，那么此时5<PA<5.5.课题9函数的图像一、课时目标1．掌握作函数图像的两种基本方法：描点法和图像变换法．2．了解图像的平移变换、伸缩变换、对称变换，能利用函数的图像研究函数的性质，以到达识图、作图、用图的目的．二、主要知识点1．函数图像的三种变换(1)平移变换y＝f(x)的图像向左平移a(a>0)个单位，得到的图像；y＝f(x－b)(b>0)的图像可由y＝f(x)的图像而得到；y＝f(x)的图像向下平移b(b>0)个单位，得到的图像；y＝f(x)＋b(b>0)的图像可由y＝f(x)的图像而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．(2)对称变换y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于对称；y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于对称；y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于对称；y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的局部，其余局部不变而得到；y＝f(|x|)的图像可先作出y＝f(x)当x≥0时的图像，再作关于y轴的对称．〔3)伸缩变换y＝f(ax)(a>0)的图像，可将y＝f(x)的图像上所有点的坐标变为原来的倍，坐标而得到．y＝的图像，可将y＝f(x)的图像上所有点的坐标不变，坐标变为原来的倍．2．几个重要结论(1)假设f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，那么y＝f(x)的图像关于直线对称．(2)设函数y＝f(x)定义在实数集上，那么函数y＝f(x－m)与y＝f(m－x)(m>0)的图像关于直线对称．(3)假设f(a＋x)＝f(b－x)，对任意x∈R恒成立，那么y＝f(x)的图像关于x＝eq\f(a＋b,2)对称．(4)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图像关于x＝eq\f(b－a,2)对称．三、经典例题题型一利用变换作图【例1】作出以下函数的图像．(1)f(x)＝eq\f(x,1＋|x|)；(2)f(x)＝|lg|x－1||.【探究1】(1)一些函数的图像可由基本初等函数的图像通过变换而得，常见图像变换有平移变换，对称变换，伸缩变换，用x＋m替换x，图像发生左、右平移．用y＋n替换y，图像发生上、下平移，用替换x，图像发生伸缩变化，用－x，－y替换x，y图像分别关于y轴、x轴对称．(2)作函数图像时应结合函数的性质，如f(x)＝eq\f(x,1＋|x|)为奇函数，f(x)＝lg|x|为偶函数等．(3)多步变换时，应确定好变换顺序．【变式1】作出以下函数的图像．y＝2x＋2；(2)y＝eq\f(x＋2,x－1)；y＝(eq\f(1,2))|x|；(4)y＝|log2x－1|.题型二知图选图或知图选式问题【例2】(1)(2013·四川)函数y＝eq\f(x3,3x－1)的图像大致是()(2)函数f(x)的局部图像如以下列图，那么函数f(x)的解析式是〔〕A．f(x)＝x＋B．f(x)＝eq\f(cosx,x)C．f(x)＝D.f(x)＝x·(x－eq\f(π,2))·(x－eq\f(3π,2))【探究2】对于给定函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：(1)定性分析法：通过对问题进展定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．【变式2】函数y＝x＋的大致图像是()题型三函数图像的对称性【例3】(1)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，那么函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于()A．直线y＝0对称B．直线x＝0对称C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称(2)f(x)＝(1－x)，函数g(x)的图像与f(x)的图像关于点(1,0)对称，那么g(x)的解析式为______．【探究3】(1)求一曲线关于一点或一直线对称曲线方程．一般运用相关点求轨迹的方法．(2)以下结论需记住：①y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称；②y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于x轴对称；③y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点对称；④y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于y＝x对称；⑤y＝f(x)与y＝f(2m－x)的图像关于直线x＝m对称．【变式3】(1)函数f(2x＋1)是奇函数，那么函数y＝f(2x)的图像关于以下哪个点成中心对称．()A．(1,0)B．(－1,0)C．(eq\f(1,2)，0)D．(－eq\f(1,2)，0)(2)求证：函数f(x)满足对任意x，都有f(a－x)＝f(a＋x)，那么函数f(x)的图像关于直线x＝a对称．题型四函数图像的应用【例4】(1)假设直线y＝x＋m和曲线y＝eq\r(1－x2)有两个不同的交点，那么m的取值范围是________．(2)不等式log2(－x)＜x＋1的解集为__________．【探究4】函数、方程、不等式三者之间有着密切的联系，它们之间的相互转化有时能使问题迎刃而解，此题利用函数的图像来解决方程根的个数问题及不等式求解问题．【变式4】直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，那么a的取值范围是________．四、本课总结1．作图的基本方法是描点法，某些函数的图像也可通过图像进展变换而得．2．识图问题的关键是通过函数的性质进展排除确定．3．函数图像能直观反映函数的性质，通过图像可以解决许多问题，如不等式问题、方程问题、函数的值域等．五、课堂作业1．函数f(x)＝eq\f(1,1＋|x|)的图像是()2．函数y＝(1－x)的大致图像为()3．函数y＝eq\f(x,2)－2sinx的图像大致是()4．假设函数y＝(eq\f(1,2))|1－x|＋m的图像与x轴有公共点，那么m的取值范围是________．5．＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－x的图像可能是()6．函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图像如以以下列图所示，那么函数f(|x|)的图像大致是()课题10函数与方程一、课时目标1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．二、主要知识点1．函数零点的概念零点不是点！(1)从“数〞的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；(2)从“形〞的角度看：即是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标．2．函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与有交点⇔函数y＝f(x)有．3．函数零点的判断如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有.那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．4．二分法的定义对于在[a，b]上连续不断，且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的所在的区间，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．5．用二分法求函数f(x)零点近似值(1)确定区间[a，b]，验证，给定准确度ε；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；①假设，那么x1就是函数的零点；②假设，那么令b＝x1，(此时零点x0∈(a，x1))；③假设，那么令a＝x1，(此时零点x0∈(x1，b))．〔4〕判断是否到达准确度ε：即假设|a－b|<ε，那么得到零点近似值a(或b)；否那么重复(2)－(4)．三、经典例题题型一零点的个数及求法例1(1)求以下函数的零点．①f(x)＝x3＋1；②f(x)＝eq\f(x2＋2x＋1,x－1).(2)判断以下函数在给定区间是否存在零点．①f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；②f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．【探究1】函数零点个数的判定有以下几种方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)画两个函数图像，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【变式1】(1)函数f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)，(a>1)那么函数f(x)零点的个数为________．(2)函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－2的零点依次为a，b，c，那么()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c题型二零点性质的应用【例2】假设函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．【探究2】函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间存在着密切的联系，方程f(x)＝0的根就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0.然后通过方程进展研究，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决．反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决．【变式2】(1)(2012·大纲全国)函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，那么c＝()A．－2或2 B．－9或3C．－1或1 D．－3或1(2)(2014·朝阳区)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(3,4)，x≥2，,log2x，0<x<2.))假设函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，那么实数k的取值范围是________．【例3】假设二次函数f(x)＝x2－2ax＋4在(1，＋∞)内有两个零点，求实数a的取值范围．【探究3】对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决，结合二次函数的图像从判别式，韦达定理、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件，这里涉及到三个“二次问题〞的全面考虑和“数形结合思想〞的灵活运用．【变式3】函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，当x∈[－2,2]时，函数至少有一个零点，求a的取值范围．题型三用二分法求方程的近似解【例4】求方程x＋2x－6＝0在[2,3]内的近似解(准确到0.01)．【探究4】用二分法求函数零点近似值的步骤，借助于计算器一步步求解即可．我们可以借助于表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点所在区间的过程，而运算终止的时候在区间长度小于准确度ε的时候．【变式4】(1)为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的局部对应值(准确到0.01)如下表所示：(2)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．四、本课总结1．函数零点的性质：(1)假设函数f(x)的图像在x＝x0处与x轴相切，那么零点x0通常称为不变号零点；(2)假设函数f(x)的图像在x＝x0处与x轴相交，那么零点x0通常称为变号零点．2．函数零点的求法：求函数y＝f(x)的零点：(1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解、直接求解等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)二分法(主要用于求函数零点的近似值，所求零点都是指变号零点)．3．有关函数零点的重要结论：(1)假设连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，那么f(x)至多有一个零点；(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不断的函数图像通过一重零点时(不是二重零点)，函数值变号；通过二重零点时，函数值可能不变号.五、课堂作业1．(2014·衡水调研)假设函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，那么a的取值范围是()A．(－1,1)B．[1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)2．(2013·天津)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．43．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2xx>0，,2x＋1x≤0))的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．34．函数f(x)＝(eq\f(1,3))x－log2x，假设实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，那么f(x1)()A．恒为负值 B．等于0C．恒为正值 D．不大于05．(2014·辽宁五校联考)函数f(x)＝x3－bx2＋1有且仅有两个不同零点，那么b的值为()A.eq\f(\r(3,4),2) B.eq\f(\r(3,2),2)C.eq\f(3,2)eq\r(3,2) D．不确定6．假设函数f(x)＝(m－2)x2＋＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，那么m的取值范围是________．课题11两角和与差的三角函数一、课时目标1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦．二、主要知识点1．两角和的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α＋β)＝.(2)cos(α＋β)＝.(3)tan(α＋β)＝.2．两角差的正弦、余弦、正切公式(1－＝．(2)＋＝．(3)＝．3．常用公式的变化形式(1)a＋b＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中φ＝，φ＝或a＋b＝eq\r(a2＋b2)cos(x－θ)，其中θ＝，θ＝.(2)α＋β＝tan(α＋β)(1－αβ)．(3)eq