3参数方程化成普通方程

§3参数方程化成普通方程二自主预习金课前预习区 .代数法消去参数⑴这种方法是从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.⑵通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算.消去参数..利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，这是参数方程转化为普通方程的基本方法之一.【思维导图】【知能要点】.代数法消去参数把参数方程化为普通方程..利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程.讲练互动 课宣讲练区 题型一代数法消去参数这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程，解出参数，然后代入另一个参数方程中得普通方程，这种方法思路简单，可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变形，然后把两参数方程进行代数运算消去参数，这种方法运算量小，但往往需要提前进行适当的变形.【例1】把参数方程化为普通方程.(1一k2)rX=1+k'2kry=1+2。解⑴由x=1+21得t=2X—2代入y=5+gt中得y=5+率(2x-2),即：＜3X—y+5—回=0就是它的普通方程.(1一k2)rX=(1一k2)rX=1+k2X2=(1+k)2，_2kr

y_2kr

y=1+k24k2r2y2=(1+k)2，(1—2k2+k4)r+4k2r (1+2k2+k4)r(1+k2)2・・・X2+y2=r就是它的普通方程.【反思感悟】用代数法消去参数有时用一个参数方程解析出参数太复杂，如第⑵小题，这时为了减少运算量，就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两边取平方.然后相加消去参数.犷变式迁移1.将下列参数方程化成普通方程.t+1t+1X=t—1,21⑵

y=t3―1；x=212一t一3,y=12-t—1；p,x=t2+pt2,t乙t+1 x+1 21 (x+1)(x—1)2解(1)由X==1,得t=—1.代入y=7_1化间得y= 32+1 (X/D.t1 X1 t31 3X2I1(2)由x—2y=t—1得t=x—2y+1,代入y=12—t—1化简得x2—4xy+4y2+x一3y—1=0.⑶将y=p—pt的两边平方得y2=p+p2t2—2p2=pg+pt2j—2p2，以x=p+pt2代入上式，得y2=p(x—2p).题型二利用三角恒等式消去参数利用这种方法消去参数必须是x,y都表示成参数的三角函数，然后利用三角函数的恒等变形式消去参数，这种方法大部分都要对两个参数方程先进行适当的变

形，然后进行代数运算消去参数，化为普通方程.【例2】将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型.Ix=acos3,(1)1 7.八(3为参数，a，b为常数，且a>b>0);[y=bsin3L—x，（2）1cos夕3为参数，a，b为正常数）;[y=btan夕x—2x—2pt2,y—2pt（t为参数，p为正常数）.解⑴由cos23+sm23—1得a+b2—1这是一个长轴长为2a，短轴长为2b，中心在原点的椭圆.⑵由已知日—a，tan中—b，由于息■，）—tan2夕—1，・♦•有x2—y—1这是一条双曲线.a2b2（3）由已知t―2p代入x―2pt2中得自？p―x，即y2=2px，这是一条抛物线.【反思感悟】用三角恒等式法把参数方程转化为普通方程时，要特别注意保证等价性.冷变式迁移2.化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图.r1一x—zsin23，（1）1 2 （3为参数）；[y=sin3+cos3I-：，t⑵11 （t为参数）.[y=t2—1解(1)由y2=(sin3+cos3)2=1+sin23=1+2x得y2=2x+1，1JJ2W2sin23W2，,.,一\；2Wsin6+cos6W\;'2,・'・一\；2WyW.0.故所求普通方程为y2=2(x+2，图形为抛物线的一部分.；，图形为抛物线的一部分.；WxW；,一j,2Wy<、；,2(2)由x2+y2=［，+(^12-1j=1及x=；=0,xy=3tm三0知，所求轨迹为两部分圆弧x2+y2=1(0<xW1,0Wy<1或一1Wx<0,—1<yW0).r课堂达标金当空达标区x=1+cos2仇.若曲线r.八 (6为参数)，则点(x,y)的轨迹是()[y=sm26A.直线x+2y—2=0B.以(2,0)为端点的射线仁圆(x—1)2+y2=1D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析x=1+cos26=1+1—2sin26=2—2y，故普通方程为x+2y—2=0,但f0<sin26W1,L-- …即0WyW1,0WxW2,故为一条线段.〔0W1+cos6W2,答案DIx=cos26,.参数方程彳,八(6为参数)表示的曲线是()[y=sin26A.直线 B.圆 C.线段 D.射线解析:”=cos26,y=sin26,，x£[0,1],y£[0,1],y=1—cos26=1—x,・•・x+y=1,是一条线段，故选C.

答案CIX=t+1,.将参数方程1 1(t为参数)化为普通方程为.J=t2+五t乙1一1.1 /,D2一一.一解析y=12+益=12+2.t•t+益-2=(t+tJ—2=x2—2(x=0).答案y=x2—2(x/0)fx=t+3,4.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：。 (参数t£R)，圆C[y=3—tfx=2cos仇的参数方程为彳c.八।式参数B£[0,2n]),则圆C的圆心坐标为 ,[y=2smB+2圆心到直线l的距离为.解析消参数得圆方程为X2+(y—2)2=4,得圆心坐标为(0,2).消参数后直线方程为x+y=6,那么圆心到直线的距离为10+2—1=2%2答案(0,2)2-..12二教材链接、就疑斛惑区[P42练习]fx=at+丸cosB,已知参数方程1 一一八(a，b"均不为0，0WBW2n)分别取：(1)t为参数，[y=bt+丸sinB(2况为参数，(3)B为参数.则下列结论中成立的是()A.(1),(2),(3)均是直线B.只有⑵是直线C.(1),(2)是直线，(3)是圆D.⑵是直线，(1),(3)是圆锥曲线x——丸cosB x——丸cosB解析(1)t为参数，t= 代入y=bt+丸sinB中得，y=b +2sinB.a a

整理得：bx—ay—XbcosB+XasinB=0,其中a、b、入B为常数，故为直线.y=tan夕x-a？tan0+bt为直线.(2况为参数x=(2况为参数x=at+XcosB,y=bt+XsinBx—at=XcosB,y—bt=XsinB.消去参数九言t=tanB,整理得,（3）0为参数用三角恒等式消去参数0.x=at+丸cos0,y=bt+丸sin（3）0为参数用三角恒等式消去参数0.得（x—at）2+（y—bt）2=A2为以（a,bt）为圆心，A为半径的圆.由以上解答，应选C.答案C【规律方法总结】由参数方程化为普通方程时，有两种基本方法.代数法和三角恒等法.这两种方法中都有可能先对参数方程进行变形然后经过代数运算进行消去参数，但在变形中特别注意取等价性，有时要进行必要的讨论，有时要利用三角函数写出x，y的取值范围.F课时作业鼻课后巩固区 一、选择题fx=rcosa,.参数方程｛ . （r为参数）表示的曲线为（）[y=rsinaA.直线 B.圆C.椭圆 口.双曲线解析消去参数y=tana,即y=tana•x为直线.x答案Afx=a+rcos0,.直线y=ax+b通过第一、二、四象限，则圆彳一.八（0为参数）的圆心[y=b十rsin0位于（ ）A.第一象限 8.第二象限仁第三象限 D.第四象限解析由题意知，a<0,b>0,又由于圆心坐标为（a,b）,故在第二象限.选B.答案Bf1x=1--,.曲线的参数方程是《 t（t是参数，t=0）,它的普通方程是（）

A.(%—1)2(y—1)=1x(%x(%—2)B^=(1—X)2解析,・•%=1—1,--1=1-X，t=T^X，解析,・•%=1—1,--1=1-X，t=T^X，代入y=1—t2得，_ 1 _(1—%)2—1_%(%—2)y1 (1—%)2 (1—%)2 (1—%)2.答案B.由方程%2+y2—4t%—2ty+5t2—4=0(t为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是()A.一个定点 B.一个椭圆一条抛物线 D.一条直线解析将方程%2+y2—4t%—2ty+5t2—4=0化为标准方程为(%—2t)2+(y—t)2=4,f%=2t,圆心坐标为(2t,t)，故圆心轨迹为J 消去参数t为%=2y，为直线，故选[y=t答案D二、填空题f%=1+2cos仇5.将参数方程J 0.八 2为参数)化为普通方程是 .[y=2sm夕f%=1+2cos& f%—1=2cos仇解析参数方程J c.八Jc.八 平方相加，得(%—1)2+y2=4.[y=2sm3 [y=2sm3.答案(%—1)2+y2=4.若%2+y2=4,则%—y的最大值是.f%=2cos3,解析%2+y2=4的参数方程为Jc.八(3为参数)，%—y=2cos3—2sin3=[y=2sin32\；12cos13+京，，最大值为2<2.答案2-,.12

Ix=1+t，.设直线11的参数方程为jy=1+3t（t为参数），直线12的方程为y=3x+4,则11与12间的距离为Ix=1+t，解析11的参数方程jy=1+3t化为普通方程为y=3x—2,则11与12平行再利用两平行线间的距离公式可求得d=^510.答案¥Ix=3＋2cos6，.若点(x,y)在圆; 一「. (6为参数)上，则x2+y2+3x的最小值是jy=－4＋2sin6解析 •・•x2+y2+3x=(3+2cos6)2+(2sin6—4)2+3(3+2cos6)=9+12cos6+4cos2。+4sin2。T6sin6+16+9+6cos6=38+18cos6—16sin6=38+2\j诟cos(6+s)..., 18 1 .—其中coss=27森5.，最小值为38—2\；145.答案38-2%1'M5三、解答题卜了2=卜了2=1上的一个动点，求s=x3为参数），故可设动点尸的.在平面直角坐标系xOy中，设P（x,y）是椭圆y+y的最大值.x2 Ix=、，3coss,解因椭圆X2+y2=1的参数方程为jy=：nsW坐标为（"：3cos夕,sin夕）,其中0W夕＜2n,因此，s=因此，s=x+y=43coss+sinS=2，［坐coss+2sins=2sin(s+nj,所以，当s=6时，s取最大值2..求方程4x2+y2=16的参数方程：⑴设y=4sin6,6为参数；⑵以过点A（0,4）的直线的斜率k为参数.

解(1)把y=4sin3代入方程，得到4x2+16sin2。=16,于是4x2=16—16sin23=16cos2仇x=±2cos3.由于参数3的任意性，可取x=2cos3,因此4x2+y2=16的参数方fx=2cos3,程是彳”.八(3为参数).[y=4sin3y—4 一(2)设M(x,y)是方程4x2+y2=16上异于A点的任一点.则七一=k(x=0),将y=xkx+4代入方程，得x[(4+k2)x+8k]=0.f 8k4+k2' fx=0,/7I1^(k=0)，另有一点J/—4k2+16 〔y=4.[y=4+kTOC\o"1-5"\h\zf 8kJ 4+kf fx=0,・•・所求的参数方程为J / k=0)和J ,—4k2+16 〔y=4.[y= 4+kr习题解答规范对照区习题2—3第42页A组.解(1)2x—y—7=0,直线.(2)x6+y2=1,椭圆.1—下，4—下'所以(3)a—b1—下，4—下'所以x=1⑷原参数方程变形为‘,y=2所以4x—y—2=0,直线.⑸(y—21=x+5,抛物线..圆的普通方程为x2+y2=25,半径为5.(x4)2 (y1)2.椭圆的普通方程为-4一+T5—=1,焦距为2421.I- 乙。

.椭圆的普通方程为T6L2+y2=