均值与方差例题

第三章随机变量的数字特征的例题例测量某个圆的直径，其结果为一连续型随机变量X.若已知6],求圆面积的数学期望.设圆面积为rT则因为x〜吟小则仪仪W工K台其它所以所以=需6*+妨+b”Ji£■【例1】一汽车沿一街道行驶,需要通过三个设有红绿信号灯的路口.每个信号灯为红或绿当其它信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过路口的个数.（D求X的概率分布；（2）求e（8天）.解（i）x的可能值为仇入2、3,以a表示事件“汽车在第i个路口首次遇到红灯”.则p（A）=p（A”品=123,且A、A，A?相互独立＞例3某种产品表面上的疵点数服从泊松分布，平均一件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元,4个以上者为废品，求产品为废品的概率以及产品的平均价值.解（1）设X表示该种产品表面上的疵点数,A表示产品为废品.已知£（黑）=0.8,又义服从泊松分布，故a二后（乂）=0.8,=磔=0,1,2广・而「（人）=P（x>4）=1-F（二=1-F（二W4）=1-2371=0e~0^0.001411m!例4游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上服从均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.解已知X~U[0,60],其密度为/⑴=的，05<附（0,其它设随机变量丫是游客等候电梯的时间（单位分），则例5设一辆汽车经过m个车站，车上有依位乘客.如果每位乘客等可能在任一站下车且他们的行动相互独立，汽车只在有I人下车时才停站，记X为停站次数，求X的期望E（X）.解汽车停站次数工二0、1、2、…、皿，引进新的RI机变量百=II,第£站有人下车（至少有1人下车）%=h第3站无人下车根据题意有mx』£今r=I，例6把数字1、2、一、也任意地排成一列，如果数字归恰好出现在第出个位置上，则称有一个巧合.求巧合数X的数学期望E(X)，方差D(X)并乘X的分布.本题先求X的分布律有困难，引进新的随机变量1；数字无出现在第4个位置上0,数字A未出现在第4个位置上则'=七/，而与一(0—1)分布.k-t第t堆占据排列中的第(2£-1)和第方号位置上，第(2£-1)导位置可以从2k只手套中任取一只有2制种取法，当它定了以后,为使恰成一副，第2£号位置就只有一种取法了，当它也取好后,剩下的(2刃「2)只则可任意排，共有(2m-2)!种排法.因此尸(第£堆恰成一副)=2.1乂2n-2)!/(2n)!=寻彳故E(再J=1,2t…，*因而E(X)=Ze(以)=尸匕.由l»TI1!==11D(X)=E(X2)—E?(x),需求出E(x2)=E((2产)2)二幺£(马与)=(可尸+工E(qr).由于苍~(0-1)分布，故野TOC\o"1-5"\h\zf,jJi=I岸/'=j因此Tt-2^(4)二,E(hJ=2^\i辛3时,E(支加〃=P(i*=1,丐=1)=尸(第i,j堆都恰成一副)=P(%=1)•p(芍=11肛=1)=y如-(2网-2〉1・(2鞭—4)!二1(2n-2)!(2鞭~1)(2打一3)故D(X)=E(X2)-EMX)_♦ri_/n2n—1(2n—1)(2W—3).\2n一14晖5-I)。一(2n-l)(2n-3)例g从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律।分布函数和数学期望.解X服从二项分布市A),X的可能取值为0J23,从PQ=0)=(1一盯=磊F(1=1)=CA5.(一打=馨一="需『・(一小需

一=3=C眠曲一叶二卷X的分布函数为27F(X)P(X<x)=<125F(X)P(X<x)=<125181125"117l^x<2125卜」，e(x)三却.提e例9间设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,且一旦发生故障就全天停止工作,按一周5个工作日计算，如果不发生故障，可获利涧10万元，如果只发生1次故障仍可获利润5万元，如果发生2次故障不获利润也不亏损，如果发生3次或3次以上故障就要亏损2万元,求一周内利润的期望值.解此题与例3有些类似,利润与故障次数相关，但故障次数与利润是两个不同的随机变量，设X表示一周内发生故障的次数,Y表示一周内的利润，则X〜8(5,0.2),即姓二5,F=0.2的二项分布，F(1二4)二以(0.2)气1-0.2)5-31=0/2,…,5,具体的:p(x=0)=0,85^03277P(x=1)=Cb(ON)X0.8,〜0.4096P(z=2)=Ci-(0.2)zXO,85^0.2048尸立>3)=I-PG=0)-PU=D-P(x=2)-0.0579y取值10、5、。、-2,且P(Y=0)=P(x=0)P(Y=5)-F(h=1)P(Y=0)=P(工二2)P(Y=-2)=P(h23)于是E(Y)=10xP(y=10)+5XP(Y=5)+oxp(r=0)+[-2)xp(r=-2)=10x0.3277+5x0,4096+0-2x0,0579=5.2®2(万元)例10假设由自动线加工的某种零件的内径X(mm)服从正态分布NJJ),内径小于1。或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T(单位：元)与朝售零件内径工有如下关系？一人若工<10

T="0,若10**〈12

「5,若出》12问平均内径〃取何值时，销售一个零件的平均利润最大？解平均利润£(T)=20xP(10^x<12)+(-1)xF(工<10)+(-5)xP(x>12)=20[@(12—p)—0(10--0(10—pt)-5[1—4*(12—产)].=25*(12-*)-210(10—M)一5^E(T)--25y(12—fit)+21-(10—fit)其中和中(工)分别为标准正态分布函数和标准正态密度函数.令上式为0得_4-5+工-小一0TOC\o"1-5"\h\z即•25e2=21e2.175解此方程得M=ll-*ln竞509由此知当丛=10.9mm时，平均利润最大.例11某保险公司规定，如果在一年内顾客的投保事件A发生，该公司就赔偿顾客。元.若一年内事件A发生的概率为九为使公司收益的期望值等于仪的10%,该公司应该要求顾客交多少保险费?解设顾客应交保险费£元，公司收益为y元,则工是普通变量,y是随机变量,)的取值与事件人的发生有关.由题意工，若事件A不发生V—H一-若事件A发生且已知例12设随机变量X的概率分布密度为了(工)=去一—一8〈工＜十叽(1)求X的数学期望E(X)和方差D(X)；⑵8V（XjX|）二E（X|X|HE（X）,E（|X|）二x\x\"4-e-Ej|dx=0J—wL故有Px」xl=。，因此X与IX|不相关.（3）独立性不能由不相关性来判定，要从独立性的定义来判断.X与|X|相互独立的充要条件是对任意的。力,P（.[X|<<=P£<「）•>（|七|<6）取口=方>0,显然事件（I石I<a）U（工〈以）]且P{x<a）-4-e-lxidx<[日—汉中工=1J—GOLJ—gZP（ixI>a）>0因此P（x<a,lxl<a）—P[jx<a|*IIxI<aH=P（I工I<a）而P（①<。）•尸（|]|<口）<「（卜|<值）,故乂与|/|不独立.注:此例说明不相关性与独立性是不等价的.例13设两个随机变量X、Y相互独立，且都服从均值为0,方差为伴的正态分布，求随机变量IX-YI的方差.E(X'=D(x)=-D(Y)-4因而D(lX-YI)=D(Z)-1--7T

翻法二按二维随机变量处理.因X与丫相互独立，且都服从NO升，故(X,Y)的联合密度函数为f(1d)=翻法二按二维随机变量处理.因X与丫相互独立，且都服从NO升，故(X,Y)的联合密度函数为f(1d)=春日工eJTt-00<x<+0°,-00<y<+00E{\X-Y\)—coJC2nf41,22、I工-3I"+Jd#djyp