不定方程及答案

2010年2月希望杯数学冬令营上课材料初二不定方程一、赛点分析1、两个变量的不定方程，其中为整数，且都不为0，则有以下性质：（1）不定方程有整数解的充要条件是；（2）设不定方程有整数解，则所有整数解有：（为整数）。2、解不定方程（组）需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用一下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、整系数分离法、因式分解、配方利用非负数性质、乘法公式、不等分析等。二、例题精讲例1、求方程的整数解。解：设、是已知方程的整数解，由x,y之中较小的系数4去除各项得，把和中的整数分离出来，得，因为和都是整数，则也是整数，设，为整数，则，把代入已知方程得。所以（为整数）是方程的整数解，并且当取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。变式1、求方程的正整数解。解：通过观察得方程的一个特解：，∴方程的通解是（为整数），∵、为正整数，∴，∴，∵为整数，∴，或，将它们分别代入通解，得原方程的正整数解为：，，。变式2：求方程的所有正整数解。，方程的特解是，∴解：方程的一个特解：∵、为正整数，∴∴（为整数），，或0，∴原方程的正整数解为，。例2、（2005年希望杯）小纪念册每本5元，大纪念册每本7元。小明买这两种纪念册共花了142元，问两种纪念册最少共买了多少本解：设小明买了本小纪念册，本大纪念册，则有，再设，∴，∵是正整数，的值越大，的值越小，，∴依次取=20，19，18，17代入试算，都不是正整数。当时，，所以两种纪念册最少共买了22本。变式1：小燕付出了元买了A、B两种卡片，A卡片的单价是元，B卡片的单价是元。问小燕共买了多少张卡片解：设小燕买了A、B两种卡片的张数分别为、，则，∴，可知：是奇数，是3的倍数；∴当时，；当时，显然不合题意；∴小燕共买了4张卡片.例3、（中国百鸡问题）鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何解：设鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别为、、，则有：，消去得：，显然，是方程的一个特解，∴通解为（为整数），于是有，由，即（，且为整数可得，，，，将的值代入通解得：）=（0，25，75），（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）。变式1：旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅行团共住满了20间客房，问三种客房各住几间怎样消费最低解：三人间、二人间、单人间分别为、、间，则有，得，这里、、都是非负数，由于，∴，∴只能取0，1，2，3，4，5.）=（10，10，0），（11，8，1），（12，6，2），∴（（13，4，3），（14，2，4），（15，0，5）。∵50人住宿的总消费为，∴当时，即（）=（15，0，5），总消费最低。变式2、（2003年全国初中数学竞赛题）若，（），则代数式的值等于（）A、B、C、D、解：∵，∴，代入得：原式=，选D。例4、求方程的正整数解。解：∵，∴，∵、都是正整数，，∴，∴，，，，∴，，，。变式1、方程的整数解的个数是（）A、0B、1C、8D、无穷C∵，∴，，，，，，，，这8个方程组的解均为整数，∴原方程的整数解的个数为8。变式2、设是大于2的质数且，求方程的正整数解。解：∵，∴，∴，∴∴，∵是大于2的质数且，∴，，∴，。变式3、有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数末尾添一个0，然后加上前、后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字是5，求这个四位数。解：设四位数分成的前后两位数分别为、，则，∵，∴，∴，∵是两位数，且个位数字是5，∴，则，∴。故所求的四位数是1995.变式4、（2009年全国初中数学竞赛试题）关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（）．A、2组B、3组C、4组D、无穷多组解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为．由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．由≥，解得≤．于是01491611610988534显然，只有时，是完全平方数，符合要求．当时，原方程为，此时，此时；当y＝－4时，原方程为．所以，原方程的整数解为例5、（2004年全国初中数学竞赛试题）已知是实数，关于的方程组有整数解（），求满足的关系式。解：∵，，∴，即，易知，∴，∵都是整数，∴，∴或，从而，。当当时，代入得：；时，代入得：。综上所述，满足的关系式是或（为任意实数）。变式1、方程的整数解有（）A、1组B、2组C、3组D、4组D为整数，∴，解得，故有4组。变式2、求方程解：∵的正整数解。，∴，，∵、都是正整数，∴，，，∴，4，6，∴原方程的正整数解为例6、求方程，，。的质数解。解：首先必须是偶数。否则，由能被整除，且，可知可以分解，即不等于质数，但又是质数，得；∴，∴为奇质数，于是为偶数，∴，，故原方程的质数解是，，。变式1、方程的质数解是。∵1为奇数，为偶数，∴必为奇数，令，由（为正整数），可得：。，∴，∴为偶数，又∵为质数，∴变式2、求证对于任意自然数，方程，从而无整数解。证明：设，时，原方程化为时，，（为自然数），即当当当，这是不可能的；，这是不可能的；时，，这也是不可能的；所以，方程无整数解。三、能力训练：1、（2000希望杯）若均为正整数，且，，则的