公因式的提取方法及常见题型

因式分解概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：m(a+b+c)整整乘积ma+mb+mc因式分解式中m可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式、十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.考前须知：①假设不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数围不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④一样的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式一样的因式写成幂的形式.例题：判断以下各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.(1)(x+y)(x-y)=x2—y2； (2)x3+x2-x=x(x2+x)(3)x2+3x一2=x(x+3)-2；(4)xy+x+y+1=(x+1)(y+1)（1）提取公因式：提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数一取多项式各项系数的最大公约数；字母（或多项式因式）一一取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂.1>ad-bd+d；2、-6abc—141>ad-bd+d；3、—6a3+3、—6a3+15a2-12a44、—26xy3z2+13%y2z2+52x5y2z45、4x(a2+x2)—a2—x26、 6(m—n)3+12(n—m)47、8、7、8、(2a+3b)(a—2b)—(3a+2b)(2b—a)(x-y)2n+1-(x—z)(x—y)2n+2(y—x)2n(y—z)n为正整数.

(2)公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号一样且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项为哪一项这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.需要了解的公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc1、a4一b4 2、(a+b+c+d)2一(a-b+c-d)23、y4一815、(a+x)4一(a一x)46、64x8—-47、9%2—24xy+16y2=8、(X2+y2)2-4X2y29、(m+5n)2-2(5n+m)(n-3m)+(n-3m)2；10、在实数围分解因式：a4-5a2-1411、在实数围分解因式：73a2-6a+3v312、a6—b613、(2+1)(22+1)Q+1)…Q2+1)13、14、(1—f(1一()(1一()…J102(3)十字穿插法：一个二次三项式ax2+bx+c,假设可以分解，那么一定可以写成(ax+c)(ax+c)的形式，它的系数可以写成4X1，十字相乘法就是用试验的方112 2 ac法找出十字线两端的数，其实就是分解系数£b2，c，使得：aia广a，［c广c，ac+ac=b，x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)假设b22-4ac不是一个平方数，那么二次三项式ax2+bx+c就不能在有理数围分解1、x2+5x+6 2、x2-5x+63、x2-x-6 4、6x2-7x+25、12x2-11x-15 6、x2+12x+207、-x2+x+568、6x2-13x+69、-20xy+64y2+x210、27x2-33x-2011、x2+144y2-25xy12、12x2-19xy+7y213、x6-19x3y3-216y614、x4+7x2—3015、abcx2+(a2b2+c2)x+abc16、x2+(a+b+c)x+(a+b)c〔4〕分组分解法将原式子进展分组，在利用提取公因式、公式和十字穿插法进展因式的分解。1、a2+4ab+4b2一2a一4b+1 2、(2%—3y)3+(3%—2y)2一125(%—y)34a2—b2+c2—9d2+4ac+6bd〔5〕换元分解将某些局部看成一个整体，利用三个根本方法进展分解。1、(1、(％+y)2一4(%+y)-12；2、(%2+%)2一14(%2+%)+243、2(%2+6%+1)2+5(%2+6%+1)(%2+1)+2(%2+1)2 4、(%2+y2)2一4%2y25、(5、(%2+%+4)2+8%(%2+%+4)+15%26、12(%+y)2+11(%+y)(%一y)+2(%一y)27、(7、(m+n)2一4(m2一n2)+4(m一n)2；8、(m+5n)2-2(5n+m)(n-3m)+(n-3m)2；9、(％2+9、(％2+%)2-4(%2+%)+4；10、+8%Q2+4)+16%211、(a2+9b2-1)2-36a2b212、9(a+b)11、(a2+9b2-1)2-36a2b2其他题型：1、如果(a+b)2-(a-b)2=4，那么一定成立的是( )A.a是b的相反数B.a是-b的相反数C.a是b的倒数D.a是-b的倒数2、296-1有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数.3、如果a,b,c是△ABC三边的长，且a2+b2-ab=c(a+b-c)，那么△ABC是()A.等边三角形.B.直角三角形.C.钝角三角形.D.形状不确定.4、如果4%2+a%y+9y2是完全平方式，试求a的值.5、(%+y)2-2%-2y+1