初三上学期数学预习知识点总结

初三数学知识点总结二次函数知识点：.定义：一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a丰0），那么y叫做x的二次函数..二次函数y=ax2的性质（1）抛物线y=ax2（a丰0）的顶点是坐标原点，对称轴曷轴.⑵函数y=ax2的图像与a的符号关系①a>0时O抛物线开口向金顶点为其最低点；②当a<0时O抛物线开口向产顶点为其最高点.二次函数y=ax2+bx+c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线..二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=aQ-h卜+k的形式，其中,b4 4ac-b2.h—— ，k—2a 4a.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y—ax2；②y—ax2+k；③y―a（x—h）2；④y—a（x—h%+k；⑤y—ax2+bx+c..抛物线的五要素：开口方向、对称轴、顶点、与x轴交点、与y轴交点.①a决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当2<0时，开口向下；|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同；|a|越大，开口越小。②平行于y轴（或重合）的直线记作x―h.特别地，y轴记作直线x―0.③求抛物线的顶点、对称轴的方法、八_txY_L 7 b24ac—b2 .1村上日/b4ac—b2、（1）公式法：y―ax2+bx+c—ax+一+ ,.•顶点是（一一， ）,I2a） 4a 2a4a第1页共19页

对称轴是直线X二对称轴是直线X二(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化赳4-点+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴&=h.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.④抛物线与x轴有无交点的判定情况⑴”-4…二与::轴有两个不同的交点⑵ :。、：=二 与::轴只有一个交点⑶ ■:"一…:与::轴没有交点⑤抛物线与y轴的交点(0,C)★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线y=ax2+bx+c中，a,b,c的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.⑵b和a共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=_旦,故：2a①b=0时，对称轴为y轴；②b>0(即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；a③b<0(即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧 (左同右异)a(3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.当x=0时，y=c，，抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c)：①c=0，抛物线经过原点；②c>0,与y轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b<0.a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y=ax2当a>0时开口向上当a<0时x=0(y轴)(0,0)y=ax2+kx=0(y轴)(0,k)y=a(x-h)2x=h(h,0)第2页共19页

y=ax一h)2+k开口向下x=h(h,k)y=ax2+bx+cbx=2a(b4ac一b2、(一, )2a 4a11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：y=ax2+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.⑵顶点式：y=a(x-h)2+k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.⑶交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x「通常选用交点式：y=a(x-x^^x-x).12.直线与抛物线的交点(1)与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点(h,ah2+bh+c).⑵平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根.⑶一次函数y=kx+n(k丰0)的图像l与二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的图像G的交点，由方程组』y=kx+n 的解的数目来确定：y=ax2+bx+c①方程组有两组不同的解时ol与G有两个交点；②方程组只有一组解时ol与G只有一个交点;③方程组无解时ol与G没有交点.(4)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A(x，0)B(x，0)，由于x、x是方程ax2+bx+c=0的两个根，故bcx+x=--,x•x=-2a12aAB=|x-xI=«&-x)2=、；&-x)2-4xx13.二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程y=ax2+bx+c就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.第3页共19页⑵二次函数y="x2+Zu；+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=am+Z?x+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量X的值，即一元二次方程0X2+/?%+c=0的根.⑶当二次函数y=〃x2+Zu：+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax+Z?x+c有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax^+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程以2+法+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax^+bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=Q没有实数根14、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达.关于％轴对称y=q%2+/?%+c关于％轴对称后，得至U的解析式是y=-ax?-bx-c；y=a(x-h)2+k关于％轴对称后，得到的解析式是y=-a{x-h)2-k；.关于y轴对称y=q%2+/?%+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=q%2-bx+c;y=a^x-h)2+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(.x+h)2+k；.关于原点对称y=q%2+/?%+c关于原点对称后，得到的解析式是丁=一4%2+bx-C；y=q(%-丸»+左关于原点对称后，得至U的解析式是y=—〃(%+仆—左；.关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180°)y=q%2+/?%+c关于顶点对称后，得到的解析式是y二-ax2-bx+c--;2ay=q(%_丸»+左关于顶点对称后，得至U的解析式是y=—q(%—丸»+女..关于点(加，〃)对称y=a(x-h)2+k关于点(加，〃)对称后，得到的解析式是y=~ci(%+h—21Tl»+2Tl—k第4页共19页根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此周永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.15.二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值;⑵二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值.15.解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.重难点：二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，用二次函数解决实际问题。考点：二次函数在中考中占有很重要的地位，是中考中的必考内容。中考的主要命题点为：（1）求二次函数的关系式（2）抛物线的顶点、开口方向和对称轴（3）二次函数的最大（小）值（4）抛物线y=ax2+bx+c（a/0）与a,b,c的符号（5）二次函数与一元二次方程（6）二次函数的简单实际问题等。题型主要有选择题、填空题、解答题，还有探究题和开放题。有关二次函数的热点问题仍然是函数型应用题与方程、几何知识、三角函数等知识综合在一起的综合题、探究题和开放题。圆的基本性质知识点：.圆的有关概念（1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。（2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。第5页共19页

.圆周角与圆心角一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；90。圆周角所对的弦是圆的直径。（3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。.圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。（2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。（3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线，1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧；.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。.弧长及扇形的面积弧长公式：圆弧是圆的一部分，若将圆周分为360份，1°的圆心角所对的弧是圆周长的 〜…一，〜一一一…”—，因为半径为r的圆周长是2冗r，所以n°的圆心角所对的弧长l的计算360公式为1=n-•2兀丫=吧（其中，l为弧长，n为弧所对的圆心角度数，r为360 180弧所在圆的半径）扇形的面积公式:1・扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，如图，AB和半径OA、OB所组成的图形是一个扇形，读作扇形0人82・扇形的周长扇形的周长等于弧长与两半径的长之和，即l扇形=lA+2R第6页共19页

3・扇形是圆面的一部分，若将半径为r的圆分为360份，圆心角1°的扇形面积是圆面积的—，因为半径为r的圆的面积是冗r2，所以半径为匕圆心角360为十的扇形面积为s=上C3604•弧长为/，半径为「的扇形面积为S=吧2=1•把r•r=11r360 2180 25・扇形面积的应用（求圆的一部分的面积）：.圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为1,底面圆的半径为r,那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长1,扇形的弧长即为底面圆的周1长2nr,根据扇形面积公式可知S=・2nr・1=nr1.因此圆锥的侧面积为S=2 侧nrl.圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为S=nr2+nr1.全重点：.弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系。.用尺规作图法对不在同一直线上的三个点作圆。.垂径定理。（重中之重：“垂直于弦的直径平分弦和弧”经常考）.扇形弧长和面积、圆锥侧面积和体积的计算。难点：1..对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中的存在性和唯一性的理解.圆锥侧面积计算公式的推导过程需要较强的空间想像能力.类似蚂蚁爬圆锥的计算问题。.有关圆的无图多解问题。考点：:：1垂直于弦的直径2圆周角定理及其推论3圆内接四边形4圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系5圆的性质综合题第7页共19页相似三角形知识点：相似图形形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是a=m，或写成a:b=m:n.bn注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位.在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.注意：当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式.(2)比例线段是有顺序的，如果说a是b,C,d的第四比例项，那么应得比例式dbd为：一二一.ca比例的性质基本性质：a:b=c:doad=bc；(2)a:c=c:b=c2=a-b.注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad=bc，除了可化为a:b=c:d，还可化为a:c=b:d,c:d=a:b,b:d=a:c,b:a=d:ccc:a=d:b,d:c=b:a,d:b=c:a.更比性质(交换比例的内项或外项)：第8页共19页

a=b,（交换内项）cda=-n,-=二（交换外项）bdba-=b.（同时交换内外项）、ca反比性质（把比的前项、后项交换）：a=-n-=-bdacaca±bc±d合比性质：一=—n = .bdbd注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间b—ad—c

— 发生同样和差变化比例仍成立.如：a=-n,\c,等等.bda—bc—d = 、a+bc+d等比性质：a c e .m a+c+e+A+m a如果—=-=—=A=—（b+d+f+A+n中0），那么b d fn b+d+f+A+n b注意：（1） 此性质的证明运用了〃设k法〃，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法.⑵应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.cea—2cea—2c 3e a—2c+3e a=—n—= =—n =—；bdfb —2d 3f b—2d+3f b其中b—2d+3f牛0.比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：（1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.（2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比第9页共19页例,那么这条直线平行于三角形第三边.黄金分割把线段AB分成两条线段AC,BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中55-1AC=^――AB'0.618AB.2相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”.相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数).相似三角形对应角相等，对应边成比例.注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的.③两个三角形形状一样，但大小不一定一样.④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.定理的基本图形：用数学语言表述是：0DE//BC,:2DEsAABC.相似三角形的等价关系反身性：对于任一AABC有AABC~AABC.第10页共19页⑵ 对称性：若处BC〜AA'B'C',则AA'B'C〜AABC.传递性：若AABC〜AA'B'C',且AA'B'Cf〜AA〃B"C〃，贝AABC〜AA〃B"C"9 三角形相似的判定方法定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似.4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似.6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用.⑵ 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.⑶直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.第11页共19页A直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式如图，Rt^ABC中，NBAC=90°,AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)(AD)2=BD-DC，(2)(AB)2=BD•BC,(3)(AC)2=CD-BC。证明：在ABAD与AACD中，NB+NC=90°,NDAC+NC=90°,・・・NB=NDAC,又•・•NBDA=NADC=90°,.•・△BADs△ACD相似，.•・AD/BD=CD/AD,即(AD)2=BD-DC。其余类似可证。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式(2)+(3)得：(AB)2+(AC)2=BD-BC+CD-BC=(BD+CD)-BC=(BC)2,即(AB)2+(AC)2=(BC)2。这就是勾股定理的结论。相似三角形性质相似三角形对应角相等，对应边成比例.⑵ 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等.第12页共19页相似多边形如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比(相似系数).相似多边形的性质(1)相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比.(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比.(3)相似多边形面积比等于相似比的平方.注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键.与位似图形有关的概念.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形..这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.拓展：(1)位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.(2)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.(3)位似图形的对应边互相平行或共线.位似图形的性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.拓展：位似图形有许多性质，它具有相似图形的所有性质.画位似图形.画位似图形的一般步骤：(1)确定位似中心(2)分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长(或截取).(3)根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.(4)顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形..位似中心的选取：(1)位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外.(2)位似中心可取在多边形的一条边上.第13页共19页

(3)位似中心可取在多边形的某一顶点上.说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.16相似三角形常见的图形(1)若DEHBC(A型和X型)则△ADEs^ABC(2)射影定理若CD为RfABC斜边上的高(双直角图形)贝URtAABC^RtAACD^RtACBD且AC2=AD•AB,CD2=AD•BD,BC2=BD・AB；(3)满足1、AC2=AD-ADC^AACB.(3)满足1、AC2=AD-ADC^AACB.NACB=NADC,都可判定4(4)当(4)(3)(4)重点：相似三角形的判定方法及相似三角形的有关性质难点：相似三角形性质的应用考点：:：图形的相似是平面几何中极为重要的内容。中考的主要命题点为:(1)比例的性质和黄金分割(2)相似三角形的定义及相似三角形的判定第14页共19页

(3)相似三角形的性质及其应用(4)相似多边形的定义和性质(5)位似图形及其作图等。题型主要为选择题、填空题、解答题等，选择题、填空题将注重“相似三角的判定与性质”等基础知识的考查，将在解答题中加大知识的横向与纵向联系及应用问题的力度。解直角三角形知识点:锐角三角函数的定义：在RTAABC中，NC=90°,a、b、c分别是知识点:锐角三角函数的定义：在RTAABC中，NC=90°,a、b、c分别是NA、NB、NC的对边，则:sin总=△A的对边斜边-COS/1=C乙A的邻边斜边-tanj=C心的对边心的邻边Ab常用变形：a=c常用变形：a=cgsinA；c=等，sinA由同学们自行归纳。一、1、2、锐角三角函数的有关性质：一、1、2、锐角三角函数的有关性质：当0°<NA<90°时，0<sinA<1；0<cosA<1；tanA>0；三、在0°:90°之间，正弦、正切(sin、tan)的值，随角度的增大而增大；余弦(cos)的值，随角度的增大而减小。同角三角函数的关系：sin2Asin2A+cos2A=1tanAgcotA=1,sinAtanA= cosA四、常用变形：sin四、常用变形：sinA=\；1—cos2A cosA="—simA(用定义证明同学自行完成)正弦与余弦，正切与余切的转换关系：a如图1,由定乂可得：sinA=—=cosB=cos(90°—A) 同理可得：c易得，五、sinA=cos（90°一A）cosA=五、sinA=cos（90°一A）cosA=sin（90。一A）tanA=cot（90°一A）特殊角的三角函数值:三角函数sinacosatana第15页共1930°1叵同45°交把160°叵16六、 解直角三角形的基本类型及其解法总结:类型已知条件解法两边两直角边a、bc=Ja2+b 互余两角的三角函数关系：sin(90°-a)=cosa;… 三角函数值随角度变化的关系二、解直角三角形1.定义：已知边和角(两个，其中必有一边)一所有未知的边和角。2.依据：①边的关系：a2+ 互余两角的三角函数关系：sin(90°-a)=cosa;… 三角函数值随角度变化的关系二、解直角三角形1.定义：已知边和角(两个，其中必有一边)一所有未知的边和角。2.依据：①边的关系：a2+b2=c2②角的关系：A+B=90°③边角关系：三角函数的定义。注意：尽量避免使用中间数据和除法。三、对实际问题的处理1.直角边a，斜边cb=Jc2-a2,sinA=a,/B=90。-/Ac一边一锐角直角边a，锐角A/B=90。-/A,b=acotA,c=sinA斜边c，锐角人/B=90。—/A,a=cgsinA,b=cgcosA重点:一、三角函数1. 特殊角的三角函数值:0°30°0°30°sinacosatga45°60°90°/4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。难点：1、锐角三角函数的概念2、直角三角形的解法3、三角函数在解直角三角形中的灵活运用考点：.中考重点考查正弦、余弦的基本概念和求特殊角的三角函数值，及利用正弦和余弦解决一些比较简单的直角三角形问题..中考侧重考查求特殊角的正切值、余切值，利用正切求线段的长.以及综合应用三角函数解决测量问题..考查三角形的边角关系是中考常见题型，解决此类问题的方法是将一般图形转化为解直角三角形的知识来解决。有时需要添加辅助线..中考中的三角函数与圆的综合题是热点题型.解决这类问题的方法是利用勾股定理、锐角三角函数关系式..中考解直角三角形应用问题大多是以计算题的形式出现.也是中考的热点题型.直线与圆，圆与圆的位置关系知识点：.直线与圆有三种位置关系(1)相交直线与圆有两个公共点时，我们说直线与圆相交。(2)相切直线与圆有唯一的公共点时，我们说直线与圆相切。这条直线叫圆的切线，公共点叫切点。(3)相离直线与圆没有公共点时，我们说直线与圆相离。一