2008年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（山东卷）（含解析）

PAGEPAGE192008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学全解全析第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。（1）满足且的集合的个数是2．设的共轭复数是，若，，则等于【标准答案】:D。【试题分析】可设，由得【高考考点】:共轭复数的概念、复数的运算。【易错提醒】:可能在以下两个方面出错：一是不能依据共轭复数条件设简化运算；二是由只求得【学科网备考提示】:理解复数基本概念并进行复数代数形式的四则运算是复数内容的基本要求，另外待定系数法、分母实数化等解题技巧也要引起足够重视。3函数的图象是5.已知，则的值是【标准答案】:C。【试题分析】：，，【高考考点】:三角函数变换与求值。【易错提醒】:不能由得到是思考受阻的重要体现。【学科网备考提示】:三角变换与求值主要考查诱导公式、和差公式的熟练应用，其间会涉及一些计算技巧，如本题中的为需而变。6．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是【标准答案】:D。【试题分析】：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为【高考考点】:三视图与几何体的表面积。【易错提醒】:在计算圆柱的表面积时往往漏掉上底的面积误选C。【学科网备考提示】:课标在要求“会判断简单物体的三视图”的同时也提出“能根据三视图描述基本几何体或实物图形”，当然要注意这些基本的几何体所包括的范围，要围绕直棱柱、圆柱、圆锥、球来组合。7．在某地的奥运火炬手传递活动中，有编号为的名火炬手。若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为【标准答案】:B。【试题分析】：属于古典概型问题，基本事件总数为。选出火炬手编号为，时，由可得4种选法；时，由可得4种选法；时，由可得4种选法。【高考考点】:古典概型【易错提醒】:寻求目标事件时会出现分类标准不明确导致事件的重复计数，如令则所得编号就与时的情形部分重复。【学科网备考提示】:概率的计算与排列组合知识有着密切的联系，情景设置极易生活化，需要构建数学模型。对阅读理解能力要求较高，具有理解新事物处理新信息的能力。8．如图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年到2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图，图中左边的数字从左到右分别表示镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年到2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为【标准答案】:B。【试题分析】：【高考考点】:茎叶图、用样本数字特征估计总体特征。【易错提醒】:也可以这样处理数据：，由于数据过大可能结果算错，或对茎叶图的特点不熟悉致错。【学科网备考提示】:会画茎叶图，能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、众数、中位数），并给出合理的解释．9．展开式中的常数项为【标准答案】:C。【试题分析】：【高考考点】:二项式定理及其应用【易错提醒】:在求通项时对计算可能出现失误。【学科网备考提示】:二项式定理的考查主要集中于通项公式的应用，热点是常数项和某一项的系数，并且要把它与二项式系数区别开来。10．设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为【标准答案】:A。【试题分析】：对于椭圆，曲线为双曲线，，标准方程为：【高考考点】:椭圆、双曲线标准方程【易错提醒】:混淆两类曲线方程中的的关系。【学科网备考提示】:双曲线内容在新课标中作了淡化处理，2008年山东考试说明中明确提出了“了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质”，要从原来的繁难中解脱出来：定义应用为主，辅以简单性质，结合图形特点，适度强化运算，解答题在试卷中已经很难见到踪影。11．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为，则四边形的面积为【标准答案】:B。【试题分析】：，过点的最长弦为最短弦为【高考考点】:直线与圆的位置关系【易错提醒】:不能发现最长弦最短弦与已知点和圆心的位置关系，对角线互相垂直的四边形面积公式用错误选D。【学科网备考提示】:把圆的一般方程化为标准方程有时是解决圆问题的必经之路，当确定了直线与圆的位置关系后，必须关注弦心距、半径、半弦构成的直角三角形。12设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是【标准答案】:C。【试题分析】如图阴影部分为平面区域M，显然，只需要研究过、两种情形。且即【高考考点】:线性规划与指数函数【易错提醒】:对可行域中的三个关键点不能与指数函数的图像的走向相联系而在点上作过多“纠缠”。【学科网备考提示】:本题考查不等式所表示平面区域的作图、识图与目标函数的确定。以往研究的函数多为线性问题，这里巧妙地与指数函数结合在一起，使问题新颖别致。在解决相关问题时要注意多方面联系，多角度思考，使问题更呈现交汇性。第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，共16分13．执行程序框图，若，则输出的【标准答案】:4。【试题分析】：，因此输出【高考考点】:程序框图【易错提醒】:没有注意到控制变量在之后误填3。【学科网备考提示】:理解程序框图的顺序、条件、循环三种基本逻辑结构，尤其要注意循环结构中的循环体和控制变量的作用。14．设函数，若，，则的值为【试题分析】：，，，【高考考点】:解三角形【易错提醒】:的坐标运算与的坐标表示混淆，利用正弦定理时右边忘记转化为，求出这一错误结果使解题陷入困境。【学科网备考提示】:解三角形中经常出现求角的三角函数值问题，由于新课标中淡化了三角和差化积、积化和差公式的应用，且公式不要求记忆就很难及时想到利用它，自然形成了思维障碍.因此把三角函数的求值问题转化为从边入手，能够带来意想不到的效果。当然正、余弦定理“功不可没”。可作如下转化：，16．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共74分。17（本题满分12分）已知为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为（I）求的值；（II）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间。【标准答案】:（I）。因为为偶函数，所以对恒成立，因此，即。由题意得，（II）将的图象向右平移个单位后得到的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当即单调递减。因此的单调递减区间为【试题分析】：通过三角变换将含有正、余弦差的函数化为正弦型函数，然后借助函数的奇偶性定义确定参数得到具体函数，代入求得函数值；第二问可依下面的顺序作变换：【高考考点】:的图像、性质及变换。【易错提醒】:由奇函数定义得到这个等式后不能有效转化成，“逼出”的取值。对于求单调递减区间时出现计算错误或审题不细求了单调递增区间、漏写等情形。【学科网备考提示】:设置三角函数单调性奇偶性对称性问题来考查三角恒等变换能力和三角函数性质应用是高考的常考点，求解时应先化为正弦形函数，在处理函数图象变换时还要注意两种不同的变换途径：1）先周期变换再相位变换；2）先相位变换再周期变换。18（本小题满分12分）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为乙队中3人答对的概率分别为且个人回答正确与否相互之间没有影响。用表示甲队的总得分。（I）求随机变量的分布列和数学期望；（II）用表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求【标准答案】（I）由题意知，的可能取值为且所以的分布列为的数学期望为（II）用表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用表示“甲得3分乙得0分”这一事件，互斥。【试题分析】：本题考查概率统计的主干知识：分布列、数学期望和分布类型的识别。除上述方法外还可以通过简化运算过程。【高考考点】:概率、分布例与数学期望【易错提醒】:在求时不能对目标事件分成两个互斥事件的和，容易出现交叉。【学科网备考提示】:处理复杂的概率问题的基本思想是先分清事件的构成及概率的转化，利用事件的内在联系，促成复杂事件的概率问题向简单概率问题转化，期间要涉及到分类讨论、正难则反、转化等数学思想。19．（本小题满分12分）将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成下表：……记表中的第一列数、、、……构成的数列为，，为数列的前项和，且满足（I）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；（II）上表中，若从第三行起，每一行中的数从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当时，求上表中第行所有项的和。【标准答案】:（I）证明：当时，又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列。所以时因此（II）设上表中从第三行起，每行的公比都为，且表中到12行尾共含数列的前78项，是表中第13行第三列，，记表中第行所有项的和为，则【试题分析】：由于证明是等差数列，必为常数，通过变形实现。确定的准确位置是关键利用该项可以求出等比数列的公比，也为求第行所有项的和提供了依据。【高考考点】:等差数列的证明、等比数列的前项和。【易错提醒】:忽视的前提条件，在求时对的情形不讨论。【学科网备考提示】:陌生的问题情景、大量的信息可能使思路拥塞，要能够从所给的大量信息中分拣提炼最先需要的关键信息，使解决数列问题更有层次感。20（本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点。（I）证明：；（II）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。【标准答案】:（I）证明：为菱形且，可知为正三角形，因为平面，平面，所以平面（II）设连结平面为与平面所成的角，当时，最大，由（I）知两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，则设平面的一个法向量为则，，可取平面，为平面的一个法向量，且因为为锐角，所以所求二面角的余弦值为【试题分析】：确定点的位置是关键，当时，最大。求二面角时可以利用二面角的概念正确作出平面角进行论证求解，也可以利用向量方法将“形”转化为“数”。为了便于计算可设菱形边长为2。【高考考点】:垂直关系的证明与二面角的求解。【易错提醒】:点的位置判断错误，误选为坐标轴，不能准确表述二面角是两个法向量所成的角或其补角。【学科网备考提示】:底面是菱形提供了垂直关系的相关信息，这一点还是比较明显的，但也有一些几何体的底面在发掘有用信息方面就很困难，尤其建立空间坐标系时找不到“落脚”的地方，底面上一些点的坐标难以迅速求得。另外从探索解题思路的策略上来看,垂直往往是关键的“题眼”,需要我们将其放在优先考虑的地位.1)面对多个条件,不妨优先选择使用垂直的条件;2)构造辅助线,不妨优先作出垂直的辅助线(或面);3)对于位置关系的转化,不妨优先使用垂直关系来转化.21（本题满分12分）已知函数其中为常数。（I）当时，求函数的极值；（II）当时，证明：对任意的正整数，当时，有【标准答案】:（I）的定义域为，当时1）当时，由得当时，单调递减；当时，单调递增。2）当时恒成立，无极值。纵上可知时，当时在处取得极小值为当时无极值。（II）当时，当时，对任意恒有，故只需证。令，，故在上单调递增，即在上恒成立，而恒成立，因此，当时，恒有【试题分析】：第一问对讨论时要注意一些显而易见的结果，当时恒成立，无极值。第二问需要对构造的新函数进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值，最后作出判断。【高考考点】:导数及其应用、构造函数证明不等式【易错提醒】:没有注意该函数定义域对问题的影响，分类讨论无目标，判断的正负漏掉符号。【学科网备考提示】:函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用。此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性。22（本小题满分14分）如图，设抛物线方程为为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为（I）求证：三点的横坐标成等差数列；（II）已知当点的坐标为时，求此时抛物线的方程；（III）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中点满足（为坐标原点）。若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由。【标准答案】:（I）证明：由题意设，，，所以三点的横坐标成等差数列。（II）解：由（I）知，所以是方程的两根，或因此所求抛物线方程为或（III）解：设由题意得，则中点坐标为（2）对于，，则与轴平行，而直线不垂直矛盾。综上可知，仅存在一点适合题意。【试题分析】：（I）设要“千方百计”求得；（II）利用弦长公式求的关于的关系式，