广东省江门市2023年高考第一次模拟考试数学理

广东省江门市2023届高三第一次模拟测试数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．用最小二乘法求线性回归方程系数公式，．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知集合，，则集合的元素的个数是A．个B．个C．个D．个⒉已知复数的共轭复数（其中是虚数单位），则A．B．C．D．⒊已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则当时，A．B．C．D．⒋数列的前项和为，已知，则A．B．C．D．⒌给定下列四个命题：①、是两异面直线，那么经过直线可以作无数个与直线平行的平面。②、是任意两个平面，那么一定存在平面，满足且。③、是长方体互相平行的两条棱，将长方体展开，那么在展开图中，、对应的线段所在直线互相平行。④已知任意直线和平面，那么一定存在平面，满足且。其中，为真命题的是A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④⒍在平面直角坐标系中，点，，则A．B．C．D．⒎防疫站有A、B、C、D四名内科医生和E、F两名儿科医生，现将他们分成两个3人小组分别派往甲、乙两地指导疾病防控。两地都需要既有内科医生又有儿科医生，而且A只能去乙地。则不同的选派方案共有A．种B．种C．种D．种⒏在平面直角坐标系中，不等式组确定的平面区域为，在中任取一点，则点满足的概率为A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．开始是否①开始是否①②输出结束输入、、…、图1⒐平面向量、中，，，则向量．⒑在阳光体育活动中，全校学生积极参加室外跑步。高三⑴班每个学生上一个月跑步的路程从大到小排列依次是、、、…、（任意、、…、，），图1是统计该班上一个月跑步长度前10名学生平均跑步路程的程序框图。则图中判断框①应填，处理框（执行框）②应填．⒒从圆外一点作这个圆的切线，设两条切线之间所夹的角为，则．⒓对于具有线性相关关系的一组数据：用最小二乘法求得关于的线性回归方程经过一点（样本中心点）是．⒔不等式的解集是．㈡选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）·图2⒕（坐标系与参数方程选做题）在以为极点的极坐标系中，直线的极坐标方程是，直线与极轴相交于点，以·图2为直径的圆的极坐标方程是。⒖（几何证明选讲选做题）如图2，是圆的内接三角形，圆的半径，，，是圆的切线，则．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．⒗（本小题满分12分）已知（是常数，），的图象经过点．⑴求的值；⑵在等腰中，，，求．⒘（本小题满分12分）某个猜答案游戏，组织者将提出相互独立的三个选择题，每题有四个选项，其中只有一个是正确的，游戏规定前两个选择题至少答对一个才有资格答第三题。甲将回答的(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三题的分值分别是10、15、15，根据自己的知识经验，甲可以排除(Ⅰ)题的2个错误选项、排除(Ⅱ)题的1个错误选项，不能排除(Ⅲ)题的错误选项。假设甲在每题剩下选项中随机选择，三题所得总分为。⑴若组织者按(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)的顺序出题，求的分布列和数学期望；⑵若组织者不按(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)的顺序出题，的数学期望是否都相等？（第⑵问共1分，直接写出“是”或“否”即可，不必具体计算）⒙（本小题满分14分）如图3，是边长为的等边三角形，、分别是、边上一点，。将沿折成直二面角，连接、，得到四棱锥（如图4），其中平面与平面相交于直线．⑴求证：；⑵若，求二面角的大小；图4图3⑶若，求四棱锥的体积．图4图3⒚（本小题满分14分）已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，．⑴求、的值；⑵若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围．⒛（本小题满分14分）已知函数，是常数．⑴若，曲线上点处的切线与直线平行，求点的坐标；⑵试证明，对任意常数，函数在区间存在零点．21（本小题满分14分）已知数列，，对任意，．⑴求数列的通项公式；⑵设数列的前项和为，试证明：时，．理科数学评分参考一、选择题BCADDCAB二、填空题⒐；⒑，；⒒；⒓；⒔；⒕；⒖．三、解答题⒗⑴依题意……2分，，因为，，所以……3分，，……4分．⑵，即……6分，，，所以，……8分，是等腰三角形，……9分，由正弦定理……11分，得…12分．⒘⑴甲答对(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三题的概率分别是、、……1分，的取值为、、、、、……2分，，，，，，……8分，所以的分布列为……9分所以的数学期望……10分，……11分⑵否……12分．⒙⑴，，，所以……2分，因为，，所以……3分，所以……4分．⑵取、的中点、，连接、、……5分，因为是边长为的等边三角形，，所以，，，从而，……6分，所以，，二面角的平面角……8分，在中，因为是直二面角，，所以，……9分，又因为，所以，即二面角的大小为……10分．⑶，……11分，四棱锥的底面积……12分，四棱锥的体积……14分．⒚⑴依题意，：……1分，不妨设设、（）……2分，由得，……3分，所以……5分，解得，……6分．⑵由消去得……7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当或……9分，解得或……10分。动圆与直线没有公共点当且仅当，即……12分。解或……13分，得的取值范围为……14分．⒛⑴设，时，……1分，直线的斜率……2分，依题意，即……3分，解得或……4分，所求点为或……6分．⑵，在区间上的图象是连续不断的一条曲线，，……7分，……8分，解得，……9分，，。若，则，是在区间上的一个零点……10分。若，则，