恒成立：高中数学恒成立专题解法总结

、曲线恒过定点问题有关含有参数的曲线方程的恒成立问题是学生普遍感到困难的问题.参数与主变元交错在一起，目标不明确，将参数分离出来，可使问题明朗化.例1已知20-31)=「证明直线s+加=5恒过定点.证明.”由2l-3h-1,得q=~(3fi+1入代入直线方程后分离参数A得(X-10J+

由方程(X-10J+

由方程M\x-10,解彳黑\x-10,解彳黑lr=-15.3x+2)=0/■方程晨-10>+b(3x+2y)=0表示经过两直线力-10=0与3工+2y=0的交点(10,-15)的直线系方程.故直线侬+by=5?E2a-3h=1时恒过定点(10,-15).直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是D(1，2)A(-2,1)B(2,1)C(1,-2)D(1，2)7?例2已知动圆C{:x¥r―43十2ay¥20a-20=0,qCR定圆⑸J+y2=4.11)证明不论口取任何实数值,动圆却恒过一个定点”2J求应使圆C\与圆(1相切.证明将圆a中的参数门分离出来,得22丁方程组(x^y-2O>+a(2y-4x+20；=0.p)L+y2-20=0,有―/=4;丁方程组2y-4天+20=0[y=-2.二厅)式表示过直线2y-4犬+20二0与圆者2+厂二20的交点(4-2)的圆系方程.故动圆Ci不论〃取任何实数值恒过定点(4-2).二、方程恒有解问题-3=。恒3-2『"其例4关于H的方程疝18-奴X）-3=。恒3-2『"其解:原方程等价于J14/sin（9+4j=中里勺二-a）.分离参数&得3~2a=加/9+9人J1+Q，丁十年）1<153-2(i三、不等式恒成立1、一次函数一，一次函数型给定一次函数=ax+b(rt/(1),若y=/'G)在皿川内恒有/G)>0,则根据函数的图象｛直线)可得上述结论等价于/(m)>0a<0［f\ni)>0或・，亦可合并成」>0〔/(Q>0同理，若在［%r］内恒有/(X)<0,则有jXm)<0\f(n)<0-例1.对于满足加芸2的所有实数p,求使不等式/+炉什1>2/)+,恒成立的x的取值范围.2、二次函数型

类型1设/(r)=dz2+^z+r—WO).在工ER上恒成立口>0且i<0(门了)<。在h£R上恒成立=^式<0且A<0.类型2设/［e)一口+8龙4人心工0)一(1)当a>0时.义工)>0在］£［口、田上恒成立一厂为，，《如%「△》?.l/Q)>0(A<0义工)<。在%、团上恒成立<=>［I：；：：'(Jip，(2)当以<0时.八1)八1)〉0在工£［讨、闺上恒成立U>户)〉0.伉£)〉0;/(z)<0在［明田上恒成立一「慨。或产“为甸—］〃g〉oU<°l/(p<o.3、变量分离法(构造为参数和X的函数，转化为最值处理)f(x)>a对一*切xg/恒成立of(x)>a,f(x)<a对一*切xg/恒成立of(x)<aminmaxf(x)>g(x)对一切xg/恒成立of(x)的图像在g(x)的图像上方或f(x)-g(x)>0三、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已如，另一个变量的范围为所求.且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边.则叮将桓成立问题转化成函数的最值问题求解才例3.已知当工£R时卜不等式立十m缶y5-4^in3+V5n-4恒成立，求实数口的取,值范围.4、数形结合5、转化为恒成立处理(1)若函数y=X3.ax+6在区间(1,+8)为增函数，求a的取值范围y'=3x2-a>0在区间(1，+8)恒成立，即a<3x2在在区间(1，+8)恒成立，显然a<3四、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数是奇(偶)函数,则对一切定义域中的h/(-必=-fCx)iyc-x)=^g)］恒成立;若函数y才出的周期为「则对一切定义域中的Xj/tx)=f(JC+T)恒成立c例4.若/(%)=siiiGc+oD+cds(x—a)为偶函数，求a的值.分析.告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题0解：由题得:，〔-工)=f(x)对一切;TER恒成立，四、举例方法二（限值法）原不等式可化为F-2冽1+3制+2>0,在£2[0，1]上恒成立[其中f=s砧）.设代用=（3一如加+F+2+要使/Gn）〉Q恒成立.即求Am）„n>0时斌的取值范围.V函数〃加）是斜率46口，3].截距方WL2.3]之间的一系列直线,易证函数八加）为增函数.二在｛[0,1]上.当E=0时,/（初）取到最小值,即」（艰）.13皿十2,2由题意得3瓶+2>0,解得用>—t-,即印的取值葩围为（得，+2卜SB）本髭也可分离参数用和变量1