专题训练(三) 平行四边形中的动态问题

专题训练（三）平行四边形中的动态问题班别 姓名 （教材P68习题第13题的变式与应用）【原题】（人教版八年级下册教材第68页第13题）如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.

点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速针对训练如图，在四边形ABCD中，AD〃BC，AD=6,BC=16，点E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形.DABDAB如图，A,B,C,D为矩形ABCD的四个顶点，AB=25cm,AD=8cm,动点P,Q分别从点AC同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.P,Q两点从出发开始到第几秒时,PQ〃AD?试问：P,Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米.如图，平行四边形ABCD中，AC=6,BD=8,点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动.经过几秒，以P,Q,B,D为顶点的四边形为矩形？⑵若BC丄AC垂足为C,求⑴中矩形边BQ的长.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒.⑴作DE丄BC于E,则CD边的长度为10cm；从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由.APfDB—APfDB—QC5.如图，已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．求证：四边形PMEN是平行四边形；请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；(3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的.4 PB长；若不可■能，请说明理由.X0DEC参考答案【例】（人教版八年级下册教材第68页第13题）参考答案【例】（人教版八年级下册教材第68页第13题）如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速14y.D为顶点的四边形是平行四边形.【解答】①设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形,TAP=t，CQ=31，DP=24—t，・°・DP=CQ.・°・24—t=3t.・・・t=6,即经过6s时，四边形PQCD是平行四边形，此时PQ〃CD，且PQ=CD.②设经过ts时，PQ=CD，即四边形PQCD是等腰梯形，VAP=t,BQ=26—31,・・t=26—31+2,t=7.综上所述当t=6s或7s时，PQ=CD.【方法归纳】根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解针对训练如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,AD=6,BC=16，点E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形.解：由题意可知，AP=t,CQ=21,CE=|bc=8.TAD〃BC,・・・当PD=EQ时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形.当2tV8,即tV4时，点Q在C、E之间，如图甲.此时，PD=AD—AP=6—t,EQ=CE—CQ=8—21,由6—t=8—2t得t=2.当8<21<16，且t<6,即4<t<6时，点Q在B、E之间，如图乙.此时，PD=AD—AP=6—t,EQ=CQ—CE=2t—8,由6—t=2t—8得七=14・•・当运动时间为2s或可s时，以点P、Q、E、3Z_D

图甲图乙如图，A,B,C,D为矩形ABCD的四个顶点，AB=25cm,AD=8cm,动点P,Q分别从点AC同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.P,Q两点从出发开始到第几秒时，PQ〃AD?试问：P,Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米.解：⑴设P,Q两点从出发开始到第x秒时，PQ〃AD,•・•四边形ABCD是平行四边形，・・・AB〃CD，即AP〃DQ.•PQ〃AD,・•・四边形APQD是平行四边形.・・・AP=DQ.・・・3x=25—2x.解得x=5.答:P,Q两点从出发开始到第5秒时，PQ〃AD.(2)设P,Q两点从出发开始到第a秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米,•BP=25—3a,CQ=2a,・••根据梯形面积公式得:2(25—3a+2a)・8=84.解得a=4.答：P,Q两点从出发开始到第4秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米.如图，平行四边形ABCD中，AC=6,BD=8,点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动.经过几秒，以P,Q,B,D为顶点的四边形为矩形?⑵若BC丄AC垂足为C,求⑴中矩形边BQ的长.解：(1)当t=7秒时，四边形BPDQ为矩形.理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7,AC=6,・・・CP=AQ=1.・・・PQ=BD=8.BD=8,AC=6,••四边形ABCD为平行四边形,BD=8,AC=6,A0=C0=3.・・・B0=D0=4.・・・0Q=0P=4.・•・四边形BPDQ为平形四边形.PQ=BD=8,・•・四边形BPDQ为矩形.由(1)得B0=4,CQ=7,BC丄AC,・・・ZBCA=90°.BC2+CQ2=BQ2.

如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒.作DE丄BC于E,则CD边的长度为更cm；从运动开始，当t取何值时，四边形PQRA是矩形？在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由.APfDB—APfDB—QC解：⑵如图1,由题意得：AP=t,DP=12—t,CQ=21,BQ=18—21.要使四边形PQBA是矩形，已有ZB=90°,AD〃BC即AP〃BP，只需满足AP=BQ即t=18—21,解得t=6,因此，当t=6秒时，四边形PQBA是矩形.不存在，理由：如图2,要使四边形PQCD是平行四边形，已有AD〃BC即DP〃CQ,只需满足DP=CQ即12—t=2t,.•・t=4时，四边形PQCD是平行四边形，但DP=12—t=8H10，即DPHDC,・•・按已经速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，但不可能是菱形.D4ADQ0BIS如图，已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．(1)求证：四边形PMEN是平行四边形;请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形;四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能求出AP的长；若不可能，请说明理由.解：(1)・・・M、N、E分别是PD、PC、CD的中点,・・・ME是PC的中位线，NE是PD的中位线.・・・ME〃PC，EN〃PD.・•・四边形PMEN是平行四边形.⑵当AP=5时，AP=BP，在RtAPAD和RtAPBC中，|ZA=ZB,Iad=bc，•••△PAD竺△PBC(SAS).・・・PD=PC.•・・M、N、E分别是PD、PC、CD的中点,・・.ne=pm=2pd，me=pn=£pc.・・・PM=ME=EN=PN.・•・四边形PMEN是菱形