圆锥曲线第三定义及扩展(汇编)

精品文档圆锥曲线第三定义x2y21(ab0)中，A，B两点关于原点对称，P是椭圆上异于A，B两在椭圆b2a2点的任意一点，若kPA,kPB存在，则kPAkPBb2。（反之亦成立）a2在双曲线x2y21(a0,b0)中，A，B两点关于原点对称，P是椭圆上异于A，Ba2b2两点的任意一点，若kPA,kPB存在，则kPAkPBb2。（反之亦成立）a2★焦点在Y轴上时，椭圆满足kPAkPBa2a2b2，双曲线满足kPAkPBb222例、已知椭圆x2y21(ab0)的长轴长为4，若点P是椭圆上任意一点，过原点的ab直线l与椭圆相交与M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为k1、k2。若k11k2=，4则椭圆的方程为。变式：1、设点A，B的坐标为（-2，0），（2，0），点P是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为1，则曲线C的方程为。42、设点P是曲线C上任意一点，坐标原点是 O，曲线C与X轴相交于两点 M（-2，0），N（2，0），直线PM，PN的斜率之积为3。，则OP的最小值是4精品文档精品文档3、已知ABC的两个顶点坐标分别是（-8，0），（8，0），且AC，BC所在直线斜率之积为m（m0），求顶点C的轨迹。4、P是双曲线x2y21(a0,b0)上一点，M，N分别是双曲线的左右顶点，直线PM，a2b2PN的斜率之积为1，则双曲线离心率为。5x2y2A、B，M是椭圆上异于A、B的动点，求证：5、已知椭圆1的左右顶点分别是2kMAkMB为定值。6、平面内与两定点A1(a,0)，A2(a,0)(a0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；精品文档精品文档第三定义的应用例、椭圆x2y21的左右顶点分别是A，B，点S是椭圆上位于X轴上方的动点，直线AS，4BS与直线l:x10分别交于点M、N，求线段MN长度的最小值。3变式：已知A,B分别为曲线C：x2+y2=1（y20,a>0）与x轴的左、右两个交点，直线l过a点B,且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点 T为圆弧AB的三等分点，试求出点 S的坐标；精品文档精品文档II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。第三定义的变形b2kOAkOB2a框架一：已知椭圆x2y2，A，B是椭圆上的两动点，M为平面上一动点且a21(ab0)b2满足OMOAuOB。则有如图框架。（已知任意两个，可以推导第三个）。精品文档精品文档相应的双曲线中有kOAk0Bb2Y轴上时，椭圆满足kOAk0Ba2a2，当焦点在b2，双曲2线满足kOAk0Ba2。b例、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线AB两点，OAOB与a(3,1)共线交椭圆于、（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且OMOAOB(,R)，证明22为定值变式：已知在椭圆x2y2M为椭圆上一动点满a2b1(ab0)，A，B是椭圆上的两动点，2足OMOAuOB且22=1，证明：kOAk0Bb2a2精品文档精品文档框架二：已知椭圆x2y2，A，B是椭圆上的两动点，M为平面上一动点且a21(ab0)b2满足OMOAuOB。则有如下框架：kOAk0Bb2x2y22u2。a2a2b2例、设动点P满足OP OM 2ON，其中，M，N是椭圆x2 y2 1上的点，直线OM、4 21ON的斜率之积为 ，求动点 P的轨迹方程。2变式：设动点M满足OMOAuOB，其中A、B是椭圆x2y21(ab0)上的a2b2点，且kOAk0Bb2x2y22u2a2。证明：P的轨迹方程为2b2。a精品文档精品文档框架三：已知动直线l与椭圆x2y21(ab0)交于P(x1,x2),Q(x2,y2)两个不同的两a2b2点，且OPQ的面积为SOPQ，其中O为坐标原点。有如下框图。kOPb2abk0Q2SOPQa2y12 y22 b2 x12 x22 a2x2y2OPQ的例、已知直线l与椭圆C:1交于Px1,y1,Qx2y2两不同点，且32面积S=6,其中O为坐标原点。2（Ⅰ）证明 x12 x22和y12 y22均为定值（Ⅱ）设线段 PQ的中点为M，求OM PQ的最大值；精品文档精品文档（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得SODESODGSOEG6？若存在，2判断DEG的形状；若不存在，请说明理由.变式：已知l与椭圆x2y21(ab0)交于A(x1,x2),B(x2,y2)两个不同的两点，已知a2b2m(ax1,by1),n