2020高考数学选修4-5 不等式选讲

高考数学选修4-5不等式选讲考点不等式选讲1.【2016高考新课标1文数】(本小题满分10分)：不等式选讲已知函数f(x)=lx+1]—]2%-3.(i)在答题卡第(24)题图中画出y=f(x)的图像；(II)求不等式|f(x)|>1的解集.解析】解析】x—4,xW—1试题分析：(I试题分析：(I)取绝对值得分段函数f(x)=<3x-2，-1<x<-，然后作图；（II）用零点分4—x,x刁一I233区间法分xW—1,—1<x<-,x三-，分类求解，然后取并集试题解析：⑴如图所示:

x—4，xw—1⑵f⑵f(x)=<3x—2,—1<x<—2TOC\o"1-5"\h\z/、34—x,x三一2If(x)|〉i，当xw—i,|x-4〉i，解得x>5或x<3•:xw—i3i当—1<x<」3x—2>i，解得x〉1或x<-13・・—1<x<或1<x<—3或233当x三」4一x|>1，解得x>5或x<3・Wx<3或x>52,21]u(l'3)U(5，+g)1/综上,x<-或1<x<3或x〉1]u(l'3)U(5，+g)2.【2016高考新课标2文数】已知函数f(x)=1x—1|+Ix+*,M为不等式f(x)<2的解集．(I)求M(II)证明：当a,beM时，Ia+bI<I1+abI2.【答案】(I)M={xI—1<x<1}；(II)详见解析.【解析】1111试题分析：d)分x<—,-<x<和x〉三种情况去掉绝对值，再解不等式f(x)<2即可得集合M；(II)采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a,beM时，确定a2-1和1-b2的符号，从而证明不等式|a+b<1+ab|成立.—2x,x<——,2试题解析：(I试题解析：(I)f(x)二彳222x,x>丄.21当x<—-时，由f(x)<2得—2x<2,解得x>—111当—2<x<2时，f(x)<21当x>-时，由f(x)<2得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集M二{x1—1<x<1}.(II)由(I)知，当a,beM时，—1<a<1,—1<b<1,从而(a+b)2—(1+ab)2二a2+b2—a2b2—1二(a2—1)(1—b2)<0因此Ia+b1<11+abI.【名师点睛】形如|x—a|+|x—b|>c(或<c)型的不等式主要有三种解法：分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(-a,a],(a,b],(b,+8)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．几何法：利用Ix—aI+1x—bI>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x二a和x二b的距12离之和大于c的全体，Ix—aI+1x—bI>Ix—a—(x—b)I=Ia—bI.图象法：作出函数ymx—aI+1x—bI和y二c的图象，结合图象求解.123.[2016高考新课标III文数]已知函数f(x)=I2x-aI+a当a=2时，求不等式f(x)<6的解集；设函数g(x)=I2x—1I.当xeR时，f(x)+g(x)>3，求a的取值范围.3.【答案】(I){xI—1<x<3}；(II)[2,+a)【解析】试题分析：(I)利用等价不等式Ih(x)I<ao-a<h(x)<a，进而通过解不等式可求得;(II)根据条件可首先将问题转化求解f(x)+g(x)的最小值，此最值可利用三角形不等

式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于a的不等式求解即可.试题解析：(I)当a=2时，f(x)=l2x—21+2解不等式12x—21+2<6,得—1<x<3因此，f(x)<6的解集为{xl—1<x<3}(II)当xgR时，f(x)+g(x)=l2x—al+a+11—2xl>12x—a+1—2xl+a=11—al+a1当x=-时等号成立，所以当xgr时，f(x)+g(x)>3等价于l1—al+a>3.①当a<1时，①等价于1—a+a>3，无解；当a>1时，①等价于a—1+a>3，解得a>2所以a的取值范围是［2,+8)4．4．[2014・江西卷4．4．[2014・江西卷]x，yWR,若lxl+lyl+lx—11+ly—1IW2,则x+y的取值范围为[0，2]［解析］lxl+lx—1l^1，lyl+ly—1l^1lxl+lx—1l=1，[0WxW1,lyl+ly—1l=1[0WyW13lxl+lyl+lx—1l+ly—1l^2^lxl+lyl+lx—1l+ly—1l=2Wx+yW2.5・[2014・辽宁卷]设函数fx)=2lx—1l+x—1，g(x)=16x2—8x+1•记fx)W1的解集为M,g(x)W4的解集为N.⑴求M；(2)当xGMHN时，证明：x2fx)+x[f(x)]2<4.+b),°°,1).3x—3，+b),°°,1).5・解：(1fx)斗1—x,xt(—4当x±1时，由fx)=3x—3W1得xW§,4故1WxW§；当x<1时，由fx)=1—xW1得x±0,故0WxV1.2W4,所以fx)W1的解集M={x0<x<2W4,(2)由g(x)=16x2—8x+1W4得16’一413解得一4<x<3,因此N=故MHN=Sx|06．6．当xWMCN时，fx)=1—x,于是xfx)+x.f(x)]2=fx)[x+fx)]=xfx)=坦-对=4-(x-2)码[2014・新课标全国卷II]设函数f(x)=x+a+lx—al(a>0).a(1)证明：fx)22；⑵若f(3)V5,求a的取值范围.-一..1解：⑴证明：由a>0，有f(x)=x+~+lx—al三x+~—(x—a)=~+a^2,aaa所以fx)22.(2)f(3)=3+++13—al.当a>3时，f(3)=a+1,由f(3)<5得3<a<5+?'21.a2当OvaW3时，f(3)=6—a+£由f(3)<5得:"vaW3.a2综上，a的取值范围是7．[2014・全国新课标卷I]若a>0,b>0,且1+b=<Ob7．⑴求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?请说明理由.112解：(1)由冷ab=-+^M，得ab22，当且仅当a=b=、迂时等号成立.ab讨ab故a3+b3三2冷a3b3三4\'2,当且仅当a=b=2时等号成立.所以a3+b3的最小值为4\'2.(2)由⑴知，2a+3b22-J6、/0b24习弓.由于4\：3>6，从而不存在a,b,使2a+3b=6.［2014・陕西卷］A.(不等式)设a,b,m,n^R，且a2+b2=5,ma+nb=5，则叮怎+2的最小值为8.冷'5［解析］由柯西不等式可知(a2+b2)(m2+n2)三(ma+nb)2,艮卩5(m2+n2)^25，当且仅当an=bm时，等号成立，所以'm2+n2三\/5.9.(15年新课标2文科)设a,b,c,d均为正数，且a+b=c+d.证明:(I)若ab>cd，则亦+亦>4c+4d；

(II)ja+Jb>4c+Jd是\a-b<\c-d\的充要条件.9.解：(I)因为a+b)=a+b+2+\d)=c+d+2\cd,由题设应+b=£；crbcz/；得［+乔|>-\-y［d|；因此：>托+J?.(JI)①若肚一耳u|c■—川贝ll(cj—疔<(c—i/y:即(ci十疔一斗讥u(c■十肝)，一斗泌因为口十方二匚十/所以<7占》曲由(I)得亦+屈=罷+眼、(iiO若爲十丽n屁十巫•贝］(爲十丽)在十:即(I+由十2筋石:>c■十H+=O问£?+&—c+d:所以ab>cd:于是(门一由『=(口十&)*—4trb-4cz/=(c—r/y=因此a—b<亡一川|：综上需十丽>Jc十血是\^-b\<\c-^\的充要条件.10.(15年陕西文科)已知关于x的不等式|x+<b的解集为{x12<x<4}求实数a,b的值；求、：at+12+\bt的最大值.10.【答案】(I)a=-3,b=1；(II)4.得-b―a<x<b―a，由题意得<，解得a—-3,b—1；(II)柯西不等式得"-3t+12+弋t—\：'3\/4-1+\:t<[(3)2+12][(4-t)2+(t)31min试题解析：(I)由Ix+<b，得-b-a<x<b-a-b-a—