2021年上海卷数学高考真题

PF|=8,2a=4,.・・PF又b又b=J5FF12在ApFiF2在ApFiF2中由余弦定理可得:PF12+PF22—FF1222-PF・1PF-2cosZFPF=12=11=16方法二：•・•b=75，可得<x2y2————=1>—45，解得P(4J15),(x+3)2+y2=64b2+4b2+4-=Jb2+4b2+4所以直线1是圆的切线，切点为M,TOC\o"1-5"\h\z224所以k=，并设1:y=x，与圆x2+y2=4+b2联立可得x2+x2=4+b2，OMbOMbb2所以得x=b,y=2，即M(b,2),注意到直线l与双曲线得斜率为负得渐近线平行,所以只有当yA〉2时，直线1才能与曲线r有两个交点,x2y2——一——=1b44b2，得y2=———，.7Aa+b2x2+y2=4+b2A所以有4〈着，解得b2〉2+“，或b2〈2—舍）又因为由上的投影可知：所以八”「门21.有限数列｛a｝，若满足Ia—a1<1a—a1<...<1a—aI，m是项数，则称｛a｝满足性n12131mn1)判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性质p，请说明理由.若a二1，公比为q的等比数列，项数为10,具有性质p，求q的取值范围.1若a是l,2,...，m的一个排列(m>4),b二a(k二1,2...m-l),{a},{b}都具有性nkk+1nn质P，求所有满足条件的{a}.n分值】【答案】(1)对于第一个数列有12-31二1,15-31二2,11-31二2，满足题意，该数列满足性质p对于第二个数列有13—4|=1,12—4|=2,15—4|=1不满足题意，该数列不满足性质p.(2)由题意可得，qn—1三|qn-1—1,nw{2,3,...,9}两边平方得：qn—2qn+12q2n-2-2qn-1+1整理得：(q—1)qn-1qn-1(q+1)-220当q21时，得qn-1(q+1)—220，此时关于n恒成立，所以等价于n=2时q(q+1)—220，所以(q+2)(q—1)20，所以qW-2或者q>,l所以取q21.当0VqWl时，得qn-1(q+1)—2W0,此时关于n恒成立，所以等价于n=2时q(q+1)—2W0，所以(q+2)(q—l)W0，所以-2WqW1，所以取0VqW1。当—lWqV0时，得qn-1qnt(q+1)—2W0。当n为奇数的时候，得qn-1(q+1)-2W0,很明显成立，当n为偶数的时候，得qn-1(q+1)-220，很明显不成立，故当TWqV0时，矛盾，舍去。当qV—1时，得qn-1qnt(q+1)—2W0。

当n为奇数的时候，得qn-i(q+1)-2W0,很明显成立,当n为偶数的时候，要使qn-1(q+1)-220恒成立,所以等价于n=2时q(q+1)-220，所以(q+2)(q-1)20,所以qW-2或者q21，所以取qW-2。综上可得，qg(—8,—2】U(0,+8)。(3)设a=ppw｛3,4,…，m-3,m-2)1因为a=p，a可以取p-1或者p+1，a可以取p—2或者p+2123如果a或者a取了p—3或者p+3，将使｛a｝不满足性质p23=p，a=p-1，a=p+1，a=p-2，a=p+2，2345=p，a=p-1，a=p+1，a=p+2，a=p-2，2345=p，a=p+1，a=p-1a=p-2，a=p+2，23，45=p，a=p+1，a=p-1，23a=p+2，4a=p-2，5|b-b|=2,二P-1，①a1②a1③a1④a1所以，｛a｝的前五项有以下组合：n对于①，b1对于②，b=p-1，1b-b|=2,|b-b|=1，与｛b｝满足性质p矛盾，舍去。31n|b-b|=3，|b-b|=2与｛b｝满足性质p矛盾,131141n舍去。对于③，b=p+1，对于③，b=p+1，1b-b|=2,lb-b131=3，=1与｛b｝满足性质p矛盾,n舍去。lb-b121=lb-b121=2，lb-b131=1，与｛b｝满足性质p矛盾，舍去。n对于④，b=p+1，1所以pw｛3,4,…,m-3,m-2｝均不能同时使｛a｝,｛b｝都具有性质p。nn当p=1时，有数列｛a｝：1,2,3,…，m-1,m满足题意。n当p=m时，时有数列｛a｝：m,m-1,・：3,2