数列的放缩问题

放缩法证明数列不等式常见的数列不等式大多与数列的求和或求积有关，基本结构形式有如下四种：n①形如aik（k为常数）i1n②形如aifni1n③形如aifni1nk（k为常数）④形如ai1放缩目标型——可求和n（一）形如aik（k为常数）i1例1.求证：11111nN222232n变式1.求证123n2nN222232n变式2.求证11111nN12212312n12变式3.求证123n2nN12212312n12【分析】例1：求和公式可证变式1：错位相减法.变式2：放缩11.2n12n变式3：放缩nn1nn，然后错位相减法.22例2.求证：11111335572n12n1nN12变式1.求证11112nN2232n2变式2.求证11117nN222243n变式3.求证11115nN2232n23【分析】例2：裂项后求和公式可证变式1：放缩111n2，然后裂项求和.n2nn变式2：放缩111n3，然后保留前两项，从第三项开始放缩.n2nn或者放缩1111n1n1n2，然后裂项求和.n2n2211变式3：1111n1n1n3，然后保留前两项，从第三项开始放缩.n2n2211小试牛刀（变式练习）求证：1111125nN32522n4111112【分析】2n24n24n4n1n1n（08辽宁卷）已知：annn1,bnn+121115.，求证：b2a1b1a2anbn12【分析】1111112anbnn12n1n2nn12nn1nn练习：已知数列an中an2，求证：aiai13.n21i1【分析】aiai12i2i2i111i212i12i12i22i12i112i112i2i1常见的裂项放缩技巧：1.11111n2n212n1n12.14412111n24n24n22n12n3.1111111nn1nn1n2nn1n1n4.∵2n1111Cn0Cn1Cnn1Cn1Cn2nn1n2∴12121n1n32n1nnn15.2n1n22222nn1n1nn2nnn16.2n2n2n2n1112n22n12n12n12n22n12n112n112n11例4.2012广东卷19.求证：【分析】放缩为等比模型求和

113313n13nN323222232n2n1因为3n2n3n123n123n133所以113n2n3n1左边111131133323n123n2变式：求证：111117nN323223323n214【分析】放缩为等比模型求和，保留第一项，从第二项开始放缩。nn12n2n2n2因为323n3127333所以111273n2n23n111131317左边113n21n11147314314【总结】一般地，形如ananbn或ananb（这里ab1）的数列，在证明111k（k为常数）时都可以提取出an利用指数函数的单调性将其放所谓等a1a2an比模型.n（二）形如aifni1例5.求证：nn11223nn1nn2nN22n【分析】不等式形如gnaifn，左右两边的式子都是某等差数列的和，因此考i1虑将通项nn1放缩为等差模型后求和.思路：Tnnn1,Sn1223nn1,Rnnn222要证TnSnRn，则只需要证明bnancn故只需证明nnn11n2nnn1nn112n2nn1nn1nn2所以k1223nn1k222k1k1n【总结】形如aifn的数列不等式证明的思路：设Sn和Tn分别为数列an和bn的i1前n项和，显然若 an bn，利用不等式的“同向可加性”这一基本性质，则有 Sn Tn.放缩目标型——可求积放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和类似，只不过放缩后的bn是cn1（分式型），累乘后化简为ncn1.可求积的模型，能求积的常见数列模型是bnbicni1cnn（三）形如aifni1例6.求证：1352n111nN2462n2n【思路分析】1352n111Bnb1b2b3bn2462n2n利用bnBnn2，易得bn2n1Bn2n11因此，问题转化为只要证2n12n12n2n12n12n12n12n4n212n1所以左边1352n113572n+12