2021年全国高中数学联赛湖南省预赛B卷

2021年全国高中数学联赛湖南省预赛B卷学校:姓名：班级：考号：填空题设集合A={x|x2-3x-10<0}^={x|m+l<x<若A^B=B.则实数m的取值范围为・2.如果函数），=3cos（2x+e）的图彖关于点（¥，0）中心对称，那么|例的最小值为3・如图，A与P分别是单位圆O上的定点与动点，角x的始边为射线OA,终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数/（对，则/（Q=4・己知二面角a-1-p为60。,动点P、0分别在面a.0内，P到0的距离为0到a的距离为2JI，则P、0两点之间距离的最小值为.5.如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩卞的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设A”是第n次挖去的小三角形面枳之和（如人是第1次挖去的中间小三角形面枳，人是第2次挖去的三个小三角形面枳之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为・6・若3sin'x+cos3x=3，则siii2018x+cos'"8x的值为・7•如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转,

当E落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，设顶点C滚动时的轨迹方程为y=f（x）,则门X）在[2017,2018]±的表达式为.8.四个半径都为1的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）・有一个正方体，其下底与桌面重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方体的棱长为・9.设9.设d+b=l,b>0,QH0,则设cigRgb,函数g（x）=ma利x+/|（xwR）（其中max表示对于xeR,当tg[a,b]时表达式|x+1|的最人值），则g（x）的最小值为•二、解答题（本小题满分12分）（注意：在上作答无敛）如图，四棱锥S-ABCD中，SD丄底面ABCD,ABHDC,AD丄DC,AB=AD=1,DC=SD=2,£为棱S3上的一点，平面EDC丄平面SBC.（I）证明：SE=2EB；（II）求二面角A-DE-C的人小.12.棋盘上标有第0,1,2,…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏•若掷出正面，棋子向前跳出一站：若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站（胜利犬本营）或第100站（失败集中营）是，游戏结束•设棋子跳到第n站的概率为代.（1）求厶的值；⑵证明：即-丘=-*（乙-即）（2K99）；（3）求P99、心0的值.（1）已知P是矩形ABCD所在平面上的一点，则有PA2+PC2=PB~+PD2•试证明该命题.（2）将上述命题推广到P为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明.（3）将矩形ABCD进一步推广到长方体ABCD-A^Cfi^并利用（2）得到的命题建立并证明一个新命题.设曲线C:|x2-16y|=256-16|y|所围成的封闭区域为D.（1）求区域D的面积：（2）设过点M（0,—16）的直线与曲线C交于两点P、Q,求IPQI的最人值.参考答案【解析】【详解】由=3知，3匸人，而A={x\x2-3x-10<0}={x\-2<x<5}.当B=0时，/w+1>2/h—1,即in<2,此时B(z.A成立.f-2<m+1,当B^0时，m+1<2777-E即tn>2由B^A9得彳小<-2/n-l<5.解得一3<m<3-又〃?22,故得2<//?<3•综上，有m<3.故答案为：〃?<371-6【解析】【详解】4/T'由y=3cos(2x+0)得图象关于点—.0中心对称知，\/昇4龙\a”8龙.hr、f——=0,即——+0=£龙+—(RwZ),J3丿32即0=炽一罟+#(“z).因此，岡的最小值为WLn=伙一2)龙一彳=£.min故答案为：-6/(x)=|siiixcosx|【解析】【详解】对角度X进行简单的分类XW对角度X进行简单的分类XW然后根据三角函数的定义得到sinxcosx.xey=f(x)=^-sinxcosx,xg利用函数的周期性得到/(X)=|sULVCOS,V故答案为：f(x)=\sinxcosx4・2第【详解】如图分别作Q.4丄a于a,ACU于C,阳丄0于b,PD丄I于D,连CQ,BD则上ACQ=乙PDB=60°,4Q=2爸・HP=辺,:.AC=PD=2又•••PQ=y/AQ1-FAP2=\/12+^2>2\/3当且仅当AP=Of即点A与点P重合时取最小值.故答案选C.5週•4【解析】【详解】

Jl-1•因此，可一至TIL一迺416J41-3'Jl-1•因此，可一至TIL一迺416J41-3'4>故答案为：乎6.1【解析】【详解】首先由3sin'x+cos'x=3可知，必有sni¥>0,否则cos3x=3-3sin3x>3，矛盾.又由sin3%<sin*cos3x<cos2%,因此有3=3siii3x+cos3x<3siii2x+cos'x=1+2siii2x»解得siii2x>1-因此有sinx=l以及cosv=0,故有sin2018x+cos2018x=l.7./(x)=宀比一2016)"*"2016)^【解析】【详解】y=/(X)=<yJ^X-X2y=/(X)=<yJ^X-X2-3,XG[2,3],\]Sx-x2-15,xe[3,4].由于/(x)是以4为周期的周期函数，所以当xe[2017,2018]时x—504-4=X—2016w[1，2],此时由周期性及①式的结果得到

f(x)=/(X-504-4)=Jl+2(x-2016)-(x-2016)1故答案为：/(x)=^1+2(^--2016)-(^--2016)2【解析】【详解】设正方体的棱长为a,上底为正方形AECD,中心为O,则04=血。•由对称性知，球心Q在面ABCD上的射影M应在直线AC或ED上，且球Q与邻球的切点P在面ABCD上的射影N在过点O且平行AB的直线上.于是忑MN=OM=OA+AM.又=1-67,则AM=yjo^2-0{M-=,从而后孚+J1-(1-7整理得3a'—8a+4=0,解得a=—，或a=2(舍去)•故a.32故答案为：d=亍2>/2-1【解析】【详解】12。a+b2aa(b2aa12。a+b2aa(b2aaIba_?近+aa\bb=近a=2-^2时达到最小值・故答案为：2JI-1b_ci2【解析】【详解】对于每一个xeR.函数/(0=x+r是线性函数•因此，在任意有限闭区间上，函数|/(r)|的最人值与最小值均在区间端点处达到，从而有g(x)=nmx\x+(KKh'max{|x+6f|,|x+g(x)=nmx\x+(KKh'max{|x+6f|,|x+b|}・由于函数y=\x+a\.y=\x+b\图像交点的横坐标c满足/八a+b一(c+Z?)=c+d=>c=得到g(x)=\x+b\,x>c.得到g(x)=\x+b\,x>c.其图像为两条折线组成，且mmg(x)=g(c)=^t故答案为：—11・(I)证明见解析(II)120°【解析】本题主要考查直线与平面垂直的判断与性质定理、平面与平面垂直的性质，二面角的求解，以及考查逻辑思维能力、空间想象力与简单运算能力、同时考查转化与化归的思想.解法一：(1)连接刃人取DC的中点G,连接BG,由此知DG=GC=BG=X即ADBC为直角三角形，故BC丄BD.

又SD丄平面ABCD,故BC丄SD,所以，BC丄平fiiBDS,BC丄DE.作BK丄EC,K为垂足，因平面EDC丄平面SBC,故BK丄平面EDC,BK丄DEDE与平面SBC内的两条相交直线BK、都垂直.DE丄平面SBC,DE丄EC、DE丄SBSB=dSD，+DB，=丘,DE=右……SD・DB2DE=右所以，SE=2EB.(II)由SA=JsDhAD，=4^,AB=\、SE=2EB、AB丄SA,知AE=J(-SA)+[-Ab\=1,又AD=1.VU丿(3丿故AzSE为等腰三角形.取ED中点F,连接AF,则4F丄DE、AF=JaD'—DF'=£连接FG,则FG//EC,FG丄DE.所以，ZAFG是二面角A-DE-C的平面角.2.AF.FG22.AF.FG2所以，二面角A-DE-C的人小为120。.解法二:以D为坐标原点，射线04为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xy^,设4(1,0,0),则3(1丄0),C(0,2,0),S(0,0,2).(I)SC=(0,2厂2),BC=(-151,O)设平面SBC的法向量为”=仏bQ,由n丄SC.n丄BCWn<5C=Oj^BC=0,故2b—2c=0,—a+b=0.令o=贝肪十=1/=(1丄1),又设SE=AEB（A>0）,则』△丄)、+门+*1+2八M=(—,—,—),DC=(0,2,0)1+21+21+2V7设平面CDE的法向量加=（兀儿z），由m丄DEjn丄DC，得nuDE=0,nuDC=0加空+互=0,2加空+互=0,2尸0.敏1+I+1+Z1+兄令x=2,则加=（2,0、一兄）.由平面DEC丄平面SBC得m1仏则加/=0,即2-2=0.2=2.故SE=2EB.

(2221(H)由⑴叫亍胡，取^中点F,则故FA.DE=0.由此得朋丄DE・——242又EC=(-^---),^EC.DE=O,由此得EC丄DE,向量币与EC的夹角等于二面角A-DE-C的平面角.于是所以，二面角A-DE-C的大小为120。・点评：对立体几何的考查是一直解答题中比较常规、变化不人的题。但今年(I)的问题的设置由证明空间位置关系变为证明西安段之间的相等关系，在力求创新考查，但实际还是考查空间直线、平面之间的位置的关系的证明及应用.12.(1)訂2)^+1-^=|(^-^)(2<n<99)⑶心。=扣+扫【详解】棋子跳到第3站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率在丄；第一次掷出反面，8第二次掷出正面，其概率为第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为;，因此乙=458易知棋子先跳到第n-2站，再掷出反面，其概率为丄£宀；棋子先跳到第舁-1站，2再掷出正面，其概率为*弓日，因此有即鬥一h=—*(%+你)由(2)知数列｛e-P^n^l)是首项为｛乙一£_｝⑺21)£_厶=扌_1=_*,公比为-扌的等比数列.因此有P公比为-扌的等比数列.因此有Pn-Pn_｛=I心)=上三L.由此得到111\由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有^oo=-^s=-^+p-|-13.(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】【详解】如图①，设在直角坐标平面中，矩形ABCD的顶点坐标分别为A(-a,-b),B(a,-b),C(a,b),D(-a,b)f点P(x,y)是直角坐标平面上的任意一点,则PA2+PC2=(a+<7)~+(y+Z?)~+(x-<7)"+(y-Z?)~=2^x2+y2+a2+，)，PB2+PD2=(a-«)~+(y+b)-+(x+a)'+b_b)‘=2{x2+y2+a2+b2\故PA2+PC2=PB2+PD2.推广命题：若棱锥P-ABCD的底面AECD是矩形，则有PA2+PC2=PB2+PD2■证明：如图②，设棱锥P-ABCD的底面ABCD在空间直角坐标系的xOy平面上，矩形ABCD的顶点坐标为A(—d,—b,0),B(d,—b,0),C(d,b,0),£>(—d,b,0)，设P点坐标为P(x,y,z),贝ijPA2+PC2=(x+d)~+(y+b)-+(2-0)_+(x-t7)"+(y-Z?)"+(^-0)"=2(x24-y2+a2+b2+z2)PB~4-PD1=(%-«)"+(y+Z?)-+(乙一0)-+(jv+q)-+(y-b)~(z-O)~=2(牙'+y2+a2+b2+z2)故PA2+PC2=PB2+PD2.再推广命题：设ABCD-A^C^是长方体，P是空间上任意一点，则PA2+PC2+PB：+PD；=PB-+PD2+PA[+PCj.

图①图②图①图②图③证明：如图③，由(2)中定理可得PA2+PC2=PB2+PD2,PA[+PC：=PE：+PD[,所以戶吿+PC：=PB：+PD：=PB2+PD~+PA：+PC：.14.(1)512(2)16720-10^【解析】【详解】(1)由题设，由256-16|y|>0,因此一16<yW16.若x2-16y|=x2-16y,则当0<yW16时，x2-16y=x2-16y=256-16y,x2=256,此时x=±16(0<y<16),图彖时两条直线段.当一16<y50时,

亍-16y|=xz-16y=256+16y,）‘，一厂8（y>8）,对应于一段二次函数的图彖.32若卜‘―16y|=16y—x2,则当0分516时，类似于前面的推导得y’IT8'对应于二次函数图彖的一段：y=—+8（y>8）.当一16<yv0时，x2-16y|=16y-x2=256+16y,得到干=_256，无解.综上所述，区域D的集合为：D={（x,y）|-16<A<16,|^-8<y<^+8},由区域D上函数图象性质，知区域D的面积为S=32x16=512.（2）设过点M（0,-16）的直线为1,为了求|B2|的最人值，由区域D的对称性，只需考虑直线1与D在y轴右侧图像相交部分即可.设过点M（0-16）的直线1方程为y=也-16,易知此时1与D相交时有l§k<s.1.当2£k<s时，1与D分别相交于二次函数y=—-8以及y=—+8,两个交点分别P16P160（16