结构力学 08 位移法

第8章位移法教学目标了解位移法的概念，理解等截面直杆的转角位移方程理解位移法求解超静定结构的基本思路掌握位移法求解连续梁和无线位移刚架的杆端弯矩并作弯矩图Contents目录位移法的基本概念1位移法原理与位移法方程3等截面直杆的转角位移方程2位移法的基本概念§8.1力法是19世纪末出现的用于解决超静定结构的方法，随着钢筋混凝土结构的问世和使用，高次超静定结构大量出现，如果仍使用力法就十分繁琐。于是，20世纪初在力法的基础上又建立了位移法。在分析超静定结构时，先设法求出内力，然后计算相应的位移，这就是力法；反过来，先确定某些位移，然后求出内力，这便是位移法。力学是以多余未知力作为基本未知量，位移法则是以某些结点位移作为基本未知量。对于高次超静定结构，运用位移法计算通常比力法简便。位移法的基本概念§8.1以图8-1所示刚架的位移来分析。它在荷载F作用下将发生虚线所示的变形，在刚节点1处两杆的杆端均发生相同的转角Z1。此外，若略去轴向变形，则可认为两杆长度不变，因而结点1没有线位移。那么如何据此确定杆的内力呢？对于12杆，其计算条件是两端固定，固定支座1发生转角Z1，并承受已知荷载F的作用（图8-1b），这种情况下的内力可以由力学算出（见第七章）。同理，13杆可以看作是一端固定另一端胶支的梁，而固定端1处发生转角Z1，其内力同样可以用力法算出（图8-1c）。可见，如果能设法把转角Z1求出，那么整个刚架的计算问题就分解成杆件的计算问题。(a)两端固定(b)一端固定一端铰支(c)一端固定一端定向支承位移法的基本单元所谓等截面直杆的转角位移方程，是指表述基本单元的杆端力，同作用于其上的杆端位移（等效为支座移动）、荷载以及温度变化之间关系的函数式。等截面直杆的转角位移方程§8.2如图(a)所示的基本单元，截断为杆件和支座隔离体后，得到如图(b)所示的受力图，则对杆件隔离体，规定杆端弯矩以顺时针转动为正，否则为负。而对支座隔离体，因为其上弯矩是杆端弯矩的反作用力，所以以逆时针转动为正。杆端剪力和杆端轴力仍与前面各章的符号规定一致。例如，图(b)中所绘各力均为正。此外，对结点隔离体上的弯矩，也与支座隔离体的弯矩符号规定相同。杆端位移和结点角位移均以顺时针为正，否则为负。例如，图8-2中的qA和qB都是正值。杆端相对线位移以使杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动的线位移为正，否则为负。例如，图8-2中的DAB为正。结点线位移一般以水平向右或竖直向下为正。杆端力的正负号规定等截面直杆的转角位移方程§8.2等截面直杆的形常数和载常数位移法分析等截面直杆时，关键是用杆端位移表示杆端力。当杆端位移是单位位移时，所得杆端力通常称为等截面直杆的刚度系数。因只与杆件材料、尺寸及截面几何形状有关，也称为形常数，见表8-1。单跨超静定梁由于荷载引起的杆端弯矩和杆端剪力分别称为固端弯矩和固端剪力。由于固端弯矩和固端剪力与等截面直杆所受荷载的作用形式和大小有关，因此又称为载常数。见表8-2等截面直杆的转角位移方程§8.2等截面直杆的转角位移方程§8.2转角位移方程

（1）两端固定的单跨超静定梁等截面直杆的转角位移方程§8.2

（2）一端固定一端铰支的单跨超静定梁等截面直杆的转角位移方程§8.2

（3）一端固定一端定向支承的单跨超静定梁位移法的基本未知量和基本结构§8.3如果结构上每根杆件两端的角位移和线位移都已求得，则全部杆件的内力均可确定出。因此，在位移法中，基本未知量应是各结点的角位移和线位移。在计算时，应首先确定独立的结点角位移和线位移的数目。确定独立的结点角位移数目比较容易。由于在同一结点处，各杆端的转角是相等的，因此每一个刚结点的角位移未知量。在固定支座处，其转角等于零或是已知的支座位移值。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由于它们不独立，确定杆件内力时可以不需要它们的数值，故不作为基本未知量。这样，确定结构独立的结点角位移数目时，只要数出刚结点的数目即可。例如图8-3a所示刚架，其独立的结点角位移数目为2。位移法的基本未知量和基本结构§8.3用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都可以看成是一根单跨超静定梁，因此位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变成两端固定的或一端固定一端铰支的单跨超静定梁。为此，可以在每个刚结点上假想的加上一个附加刚臂，以阻止刚结点的转动（但不能阻止结点的移动），同时加上附加支座链杆以阻止结点的线位移。例如图8-3a所示刚架，在两刚结点1、3处分别加上刚臂，并在结点3处加上一根水平支座链杆，则原结构的每根杆件就都成为两端固定或一端固定一端铰支的梁。原结构的基本结构如图8-3所示，它是单跨超静定梁的组合体。又如图8-4a所示刚架，其结点角位移数目为4（注意其中结点2也是刚结点，即杆件62与32在该处刚结），结点线位移数目为2，一共有6个基本未知量。加上4个刚臂和两根支座链杆后，可得到基本结构如图8-4b位移法的基本未知量和基本结构§8.3需要注意的是，上述确定独立的结点线位移数目的方法，是以受弯直杆变形后两端距离不变的假设为依据的。对于需要考虑轴向变形的杆件或对于受弯的曲杆，则其两端距离不能看作不变。因此，图8-5a、b所示结构，其独立的结点线位移数目应为2而不是1。位移法原理和基本方程§8.4位移法是以各结点的位移为基本未知量；根据相应的结点力矩方程或截面平衡条件列出位移法方程并解出结点位移；最后按照有关表格和静力平衡条件求得各杆端力。一般来说，建立位移法方程可以通过以下两种不同的途径。一种是将杆端力视作各影响因素单独作用效果的叠加，由此借助平衡条件建立位移法方程，称典型方程法；另一种是直接利用转角位移方程，按结点和截面平衡条件建立位移法方程称为转角方程法。位移法原理和基本方程§8.48.4.1典型方程法先以图8-6a所示连续梁（EI为常数）为例，来说明如何用典型方程法计算超静定结构的内力。位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.4有侧移刚架

位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.4例8-1

试用位移法求图8-12a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。

位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.48.4.2转角方程法用位移法计算超静定刚架时，需加入附加刚臂和链杆以取得基本结构，又由附加刚臂和链杆上的总反力或反力矩等于零（这相当于又取消刚臂和链杆）的条件建立位移法的基本方程（即典型方程），而基本方程的实质就是反映原结构的平衡条件。因此，我们也可以不通过基本结构，而直接借助于杆件的转角方程来进行计算，这种方法称为转角方程法。位移法原理和基本方程§8.4现仍以图示刚架为例

小结位移法以节点位移作为基本未知量，根据静力平衡条件求解基本未知量。计算时将整个结构拆成单杆，分别计算各个杆件的杆端弯矩。杆件的杆端弯矩由固端弯矩和位移弯矩两部分组成，固端弯矩和位移弯矩均可查表8.1和表8.2获得，根据查表结果写出含有基本未知量的转角位移方程，接着根据静力平衡条件求解基本未知量，将解得的基本未知量代